数学第18章 矩形、菱形与正方形18.1 矩形1. 矩形的性质课前预习课件ppt

这是一份数学第18章 矩形、菱形与正方形18.1 矩形1. 矩形的性质课前预习课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了平行四边形的相关性质，矩形的定义，观察猜想，验证猜想，几何语言，条对称轴等内容，欢迎下载使用。
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的两组对边分别平行.
性质定理 1 平行四边形的对边分别相等.
性质定理 2 平行四边形的对角相等.
性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形是中心对称图形.
【动手操作】如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，并轻轻推动，你会发现什么？
角的大小改变了，但仍然保持平行四边形的形状.
当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.
有一个角为直角的平行四边形是矩形（长方形）.
矩形在生活中无处不在.
★矩形是特殊的平行四边形.
★平行四边形不一定是矩形.
作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等.
活动 1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果.
根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.求证：∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形.
∴∠B = ∠D，∠C = ∠A，AB // DC.
∴∠B + ∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，∴∠C = 90°.
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O.求证：AC = DB.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°.在△ABC和△DCB中∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB，∴△ABC ≌ △DCB（SAS），∴AC = DB.
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB.
解 ∵△AOB、△BOC、△COD 和△AOD 这四个小三角形周长的和为 86 cm，∴AB + BC + CD + DA + 2(OA + OB + OC + OD) = AB + BC + CD + DA + 2(AC + BD) = 86.又∵AC = BD = 13 (矩形的对角线相等)，∴AB + BC + CD + DA = 86－2(AC + BD) = 86－4×13 = 34 (cm).即该矩形的周长是 34 cm.
1. 如图，四边形 ABCD 是一个矩形，其中 AD ＝ 5， AB ＝ 12，则 AC 的长为______.
2. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， ∠AOD ＝ 70°，则 ∠BAC 的度数为 ( ) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与 BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD
活动 2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线.
【选自教材第114页 练习 第1题】
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，试找出图中相等的线段和相等的角.
AB＝CD，BC＝AD，BD＝AC，OA＝OC＝OB＝OD.
相等的角: ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA ＝ ∠DAB ＝ 90°，∠OBA ＝∠OAB ＝∠ODC ＝∠OCD，∠OAD ＝∠ODA ＝∠OBC ＝∠OCB，∠BOC ＝∠AOD，∠AOB ＝∠COD.
【选自教材第114页 练习 第2题】
2. 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°. 求证：AC = 2AB.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∵ ∠AOD ＝120°，∴ ∠AOB ＝180°－∠AOD ＝60°.∴ △AOB 是等边三角形.∴ AB ＝OA.∴ AC ＝2OA＝2AB.
3. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上. 将该矩形沿 AE 折叠，恰好使点 D 落在边 BC 上的点 F 处. 如果∠BAF = 60°， 求∠DAE 的大小.
【选自教材第114页 练习 第3题】
定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形
矩形具有平行四边形的一般性质
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角
矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等
对称轴为通过对边中点的直线
第2课时 矩形性质的运用
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形具有平行四边形的一切性质
△ABC 为直角三角形
它的面积既可以用底和高来求.
也可以用两条直角边来求.
列出等式，从而求出 BE 的长.
解 在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°，
解 ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）.
∵AE 垂直平分 BO，
∴AB = AO = 7.5 .
即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm .
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 若 AB ＝ 3，AC＝ 6，则 ∠AOD 的度数为( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
3. 如图，P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 AB、CD 于点 E、F，连结 PB、PD . 若 AE＝2，PF＝5，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
S△ADC = S△ABC
S△AMP = S△AEP
S△PBE = S△PBN
S△PFD = S△PDM
S△PFC = S△PCN
S△DFP = S△PBE
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE ⊥ AC 于点 E，且 ∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，求 ∠BDE 的度数．
解: ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC ＝ 90°，OA ＝ OD．
∵∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，
∵DE ⊥ AC，∴∠DEA＝ 90°
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝36°
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝36°．
∴∠BDE＝∠ADE－∠ODA＝54°－36°＝18°．
【选自教材第115页 练习 第1题】
如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上的一点. 试说明△BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系.
解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形，∴ AD∥BC，AB ⊥ BC，∴ △BCE 的边 BC 上的高长等于 AB 的长，
即△BCE 的面积等于矩形 ABCD 面积的一半.
【选自教材第115页 练习 第2题】
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠AOB = 60°，AB = 3.6. 求 AC、AD 的长.（精确到 0.1）
解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∵ ∠AOB ＝60°， ∴ △AOB为等边三角形.∴ OA ＝AB = 3.6.∴ AC ＝ BD = 2OA＝7.2.在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AB2 + AD2 = BD2，即 3.62 + AD2 = 7.22，∴ AD ≈ 6.2.
3. 如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两条 边长 AB、BC 分别为 8 和 15. 求点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和.（提示：记对角线 AC 与 BD 的交点为点 O， 连结 OP）
【选自教材第115页 练习 第3题】
解: 如图，过点 P 作 PE ⊥ AC 于点 E，PF ⊥ BD 于点 F，连结 OP .
∵ 在矩形 ABCD 中，∠ABC ＝ 90°，AB ＝8，BC ＝15，
又∵ S△AOD ＝ S△AOP + S△POD ，
通过这节课的学习，你能熟练运用矩形的性质来解题吗？