初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）17.1 平行四边形的性质完整版ppt课件

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）17.1 平行四边形的性质完整版ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了平行四边形周长的计算，平行四边形面积的计算，根据勾股定理得，又∵OAOC，典例精析，还可结合全等来证哟，答案D等内容，欢迎下载使用。
例1 如图，□ ABCD 的的对角线 AC 与 BD 相交于点O，其周长为 16，△AOB 的周长比△BOC 的周长小 2. 求边AB 和 BC 的长.
∴ AB = 3，BC = 5.
又∵△AOB 的周长+2 = △BOC的周长，
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分).
又∵□ ABCD 的周长等于 16，
∴AB+OA+OB+2 = BC+OB+OC，即 AB+2 = BC.
∴2(AB+BC) = 16，即 4AB + 4 = 16.
【变式题】如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点 O，平行四边形 ABCD 的周长是100 cm，△AOB 与△BOC 的周长的和是 122 cm，且AC : DB = 2 : 1，求 AC 和 BD 的长．
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD = BC，AB = CD，OB = OD，∴AB+BC = 50.∵△AOB 与△BOC 的周长的和是 122 cm，∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，即AC+BD=122-50=72.又∵AC:DB = 2:1，∴AC = 48 cm，BD = 24 cm．
练一练 1.如图，在□ABCD 中，AB = cm，AD = 4 cm，AC⊥BC，求△DBC 比△ABC 的周长长多少．
解：在□ABCD 中，∵AB = CD = cm，AD = BC = 4 cm，AO = CO，BO = DO，又∵AC⊥BC，∴AC = = 6 cm，∴OC = 3 cm，∴BO = = 5 cm，∴BD = 10 cm，∴△DBC 的周长-△ABC的周长 = BC+CD+BD-（AB+BC+AC）= BD-AC = 10-6 = 4(cm).
【思考与反思】1. 四边形 AEFD 与四边形 BEFC 的周长有何关系?
证明：易得△DOF≌△BOE，∴DF＝BE.又∵ 在 □ ABCD 中，AB＝DC，∴AB－BE＝DC－DF.∴ AE＝CF.又∵在□ ABCD中，AD＝BC，四边形 AEFD 的周长＝AE＋EF＋DF＋AD，四边形 BEFC 的周长＝CF＋EF＋BE＋BC，∴四边形 AEFB 与四边形 DEFC 的周长相等．
例2 如图，在□ ABCD 中，AC = 21，BE⊥AC，垂足为点E，且BE = 5 cm，AD = 7 cm. 求 AD 和 BC 之间的距离.
解 设 AD 和 BC 之间的距离为 x，则□ ABCD 的面积等于 AD • x.
∵S □ABCD = 2S△ABC = AC • BE
∴AD • x = AC • BE， 即 7x = 21×5. ∴ x = 15 (cm)
即 AD 和 BC 之间的距离为 15 cm.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC = AD = 8，CD = AB = 10.
例3　如图，在□ABCD中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积．
解：设 AB = x，则 BC = 24 - x.根据平行四边形的面积公式可得5x = 10 ( 24 - x )，解得 x = 16．则平行四边形 ABCD 的面积为 5×16 = 80．
例4 如图，平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，若平行四边形 ABCD 的周长为 48，DE = 5，DF = 10，求平行四边形 ABCD 的面积.
归纳 已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
问题 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等.理由如下：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵△ADO 与△ODC 等底同高，∴S△ADO=S△ODC.同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
归纳 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
∵AD∥BC，∴∠NAO = ∠MCO，∠ANO = ∠CMO.
例5 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
解：设直线 EF 交 AD，BC 于点 N，M.
又∵AO = CO∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB =S△AOB+S△COB= .∴S四边形ANMB=S四边形CMND.即平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
思考 如图，AC，BD交于点O，EF 过点O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
归纳 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
同例 5 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，连结PC，PF．下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CEB＝∠EBF.∴∠CBE＝∠EBF.∴BE平分∠CBF.故①正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF.∴CF平分∠DCB.故②正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB.∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF.∴BF＝BC.故③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴点B一定在线段FC的垂直平分线上，又∵点P是EB延长线上一点，∴PE垂直平分线段FC.∴PF＝PC.故④正确．
12．已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连结AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．(1)如图①，求证：△AED≌△EFB；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠ADE＝∠EBF.∵BC＝BE，∴AD＝BE.又∵DE＝BF，∴△AED≌△EFB.
(2)如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与∠BAE相等的四个角(∠BAE除外)．
【解】与∠BAE相等的四个角是∠BEA，∠DHC，∠DCH，∠EFC.
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB∥CD.∵AB＝AD，∴AB＝BC.又∵BE＝BC，∴AB＝BE.∴∠BEA＝∠BAE.∵CH∥AE，∴∠DHC＝∠BEA. ∴∠DHC＝∠BAE.∵AB∥CD，∴∠CDH＝∠ABE，∴∠DCH＝∠BAE.同(1)可得△AED≌△EFB，∴∠AED＝∠EFB，∴∠EFC＝∠AEB.∴∠EFC＝∠BAE.
13．分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF．(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连结GF，EF．请判断GF与EF的关系．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴易知DG＝AE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠DAF＝∠BAE＝45°，∠AFD＝90°.∴∠GDF＝∠GDC＋∠ADC＋∠ADF＝90°＋∠ADC，∠EAF＝360°－∠BAE－∠DAF－∠DAB＝270°－(180°－∠ADC)＝90°＋∠ADC. ∴∠GDF＝∠EAF.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解】GF⊥EF，GF＝EF仍然成立．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴易知DG＝AE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠DAF＝∠BAE＝45°，∠AFD＝90°.又∵∠BAE＋∠EAF＋∠DAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，∴∠EAF＋∠CDF＝45°.