通用版【中考数学】精品【二轮复习】第05讲 一次方程（组）及其应用（讲义）（原卷版）

这是一份通用版【中考数学】精品【二轮复习】第05讲 一次方程（组）及其应用（讲义）（原卷版），共30页。试卷主要包含了考情分析，知识建构，小器一容三斛；大器一等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc151815361" 考点一 等式的基本性质
\l "_Tc151815362" 题型01 利用等式的性质判断变形正误
\l "_Tc151815363" 题型02 利用等式的性质求解
\l "_Tc151815364" 考点二 一元一次方程
\l "_Tc151815365" 题型01 判断一元一次方程
\l "_Tc151815366" 题型02 解一元一次方程
\l "_Tc151815367" 题型03 一元一次方程的特殊解题技巧
\l "_Tc151815368" 【类型一】分母含小数的一元一次方程
\l "_Tc151815369" 技巧1 巧化分母为1
\l "_Tc151815370" 技巧2 巧化同分母
\l "_Tc151815371" 技巧3 巧约分去分母
\l "_Tc151815372" 【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程
\l "_Tc151815373" 技巧1 巧用拆分法
\l "_Tc151815374" 技巧2 巧用对消法
\l "_Tc151815375" 技巧3 巧通分
\l "_Tc151815376" 【类型三】含括号的一元一次方程
\l "_Tc151815377" 技巧1 利用倒数关系去括号
\l "_Tc151815378" 技巧2 整体合并去括号
\l "_Tc151815379" 技巧3 整体合并去分母
\l "_Tc151815380" 技巧4 由外向内去括号
\l "_Tc151815381" 技巧5 由内向外去括号
\l "_Tc151815382" 题型04 错看或错解一元一次方程问题
\l "_Tc151815383" 考点三 二元一次方程（组）
\l "_Tc151815384" 题型01 二元一次方程（组）的概念
\l "_Tc151815385" 题型02 解二元一次方程组
\l "_Tc151815386" 题型03 二元一次方程组特殊解法
\l "_Tc151815387" 类型一 引入参数法
\l "_Tc151815388" 类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
\l "_Tc151815389" 类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
\l "_Tc151815390" 类型四 换元法
\l "_Tc151815391" 类型五 同解交换法
\l "_Tc151815392" 类型六 主元法
\l "_Tc151815393" 题型04 错看或错解二元一次方程组问题
\l "_Tc151815394" 题型05 构造二元一次方程组求解
\l "_Tc151815395" 题型06 解三元一次方程组
\l "_Tc151815396" 考点四 一次方程（组）的应用
\l "_Tc151815397" 题型01 利用一元一次方程解决实际问题
\l "_Tc151815398" 类型一 配套问题
\l "_Tc151815399" 类型二 工程问题
\l "_Tc151815400" 类型三 增长率问题
\l "_Tc151815401" 类型四 销售利润问题
\l "_Tc151815402" 类型五 比赛积分问题
\l "_Tc151815403" 类型六 方案选择问题
\l "_Tc151815404" 类型七 数字问题
\l "_Tc151815405" 类型八 日历问题
\l "_Tc151815406" 类型九 几何问题
\l "_Tc151815407" 类型十 和差倍分问题
\l "_Tc151815408" 类型十一 行程问题
\l "_Tc151815409" 题型02 利用二元一次方程解决实际问题
\l "_Tc151815410" 类型一 配套问题
\l "_Tc151815411" 类型二 方案选择问题
\l "_Tc151815412" 类型三 年龄问题
\l "_Tc151815413" 类型四 几何问题
\l "_Tc151815414" 类型五 行程问题
\l "_Tc151815415" 类型六 古代问题
\l "_Tc151815416" 类型七 图表问题
\l "_Tc151815417" 类型八 工程问题
考点一 等式的基本性质
1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.
题型01 利用等式的性质判断变形正误
【例1】（2022青海省中考）下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=bB．若a2=b2，则a=b
C．若ac=bc，则a=bD．若-13x=6，则x=2
【变式1-1】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（ ）
A．若x=y，则xz=yzB．若ac=bc，则a=b
C．若x2=4x，则x=4D．若ac=bc，则a=b
【变式1-2】（2023沧州市二模）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ）
A．x＋y＝0B．x5=5yC．x﹣2＝y﹣2D．x＋7＝y﹣7

利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2.
题型02 利用等式的性质求解
【例2】（2023·河北唐山·一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）
B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a-c=b-c，那么a=b（a，b，c均不为0）
D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不为0）
【变式2-2】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2
C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【变式2-3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知20212022-20222021+x=0，则x的值是( )
A．20222021+20212022B．-20222021+20212022
C．20222021-20212022D．-20222021-20212022
【变式2-4】（2023 衡水市中考模拟）若等式m+a=n-b根据等式的性质变形得到m=n，则a、b满足的条件是（ ）
A．相等B．互为倒数C．互为相反数D．无法确定
考点二 一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0）
解一元一次方程的基本步骤：
1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.
2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.
3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用．
4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数．
题型01 判断一元一次方程
【例1】（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2021·贵州·一模）已知关于x的方程k2-4x2+k-2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．-2B．2C．-6D．-1
【变式1-2】（2023 九江市一模）已知k-1xk+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为 ．
【变式1-3】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是关于x的一元一次方程，则k+2023= ．
题型02 解一元一次方程
【例2】（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【变式2-1】（2023·内蒙古包头·校考一模）若4x+12的值与x-7互为相反数，则x的值为（ ）
A．1B．1310C．3D．-3
【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·一模）如果单项式-xyb与12xay3是同类项，那么关于x的方程bx+a=0的解为（ ）
A．x=13B．x=-13C．x=3D．x=-3
【变式2-3】（2019·山东济南·中考真题）代数式2x-13与代数式3-2x的和为4，则x= ．
【变式2-4】（2023 扬州市三模）规定一种新的运算：a*b=2-a-b，求2x-13*1+x2=1的解是 ．
【变式2-5】（2023·四川成都·二模）若实数a，b，c满足a2=b3=c4=k，且a+2b+3c=40，则k= ．
【变式2-6】（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 ．
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧
【类型一】分母含小数的一元一次方程
技巧1 巧化分母为1
【例3】解方程：0.6x++
【变式3-1】解方程：0.3x-．
技巧2 巧化同分母
【例4】解方程：x0.6-0.16-．
技巧3 巧约分去分母
【例5】解方程：x-40.2-10=x-30.05
【变式5-1】解方程：0.3x-10.02-0.4x-80.5=1
【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
【例6】解方程：3x-14=5x-76
【变式6-1】解方程：x-12-2x-36=6-x3．
【变式6-2】解方程：x2+x6+x12+x20=1．
【变式6-3】解方程：x2+x6+x12+⋯+x2008×2009=2008．
技巧2 巧用对消法
【例7】解方程：x3+x-25=337-6-3x15．
技巧3 巧通分
【例8】解方程：x+37-x+25=x+16-x+44．
【类型三】含括号的一元一次方程
技巧1 利用倒数关系去括号
【例9】解方程：65[56(2x+1)+5]-1=4x
【变式9-1】解方程：解方程 3223(x4-1)-2-x=2
技巧2 整体合并去括号
【例10】解方程：x-13[x-13(x+10)]=19(x+10)；
【变式10-1】解方程：x-12x-13x-3=16x-3+1．
技巧3 整体合并去分母
【例11】解方程：13(x-5)=3-23(x-5)．
【变式11-1】解方程：14x-2-5=3-34(x-2)．
技巧4 由外向内去括号
【例12】解方程：解方程：1314(13x-1)-6+2=0．
技巧5 由内向外去括号
【例13】解方程：243x-(23x-12)=34x．
【变式13-1】解方程：412x-34(x-1)=13(5+x)．
题型04 错看或错解一元一次方程问题
【例14】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程x+12-1=x-23的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3x+1-1=2x-2①
去括号，得3x+3-1=2x-2②
移项，得3x-2x=-2-3+1③
合并同类项，得x=-4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程x-x-33=1的解答过程．
解：两边同乘以3，得3x-x-3=3，
移项，合并同类项，得2x=6，
两边同除以2，得x=3，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【变式14-2】（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；
(3)该方程正确的解为____________
【变式14-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：-6×23-■-23．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算-6×23-12-23．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【变式14-4】在做解方程练习时，有一个方程“y-15=2y+■”，题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”依据老师的提示，请你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解．
考点三 二元一次方程（组）
1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.
2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.
3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.
4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
题型01 二元一次方程（组）的概念
【例1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=0C．x=0.5y=3D．x=-2y=4
【变式1-1】（2023·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组x+y=23x-5y=4的解为x=ay=b，则a-b= ．
【变式1-2】（2023 蚌埠市二模）若方程7xm+m+1y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
题型02 解二元一次方程组
【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组3x+y=82x-y=7
【变式2-1】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：x-2y=312x+34y=134

解二元一次方程组的方法选择：
1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；
4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
题型03 二元一次方程组特殊解法
类型一 引入参数法
解题技巧：当方程组中出现x/a=y/b的形式时，常考虑先用参数分别表示出x，y的值，然后将x，y的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解.
【例3】用代入法解方程组：
x5+y6=0①3x-y-43y+x=85②
【变式3-1】用代入法解方程组：
x3+y4=0①2x+y-32y-x=62②
类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
解题技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便.
【例4】解方程组：2015x+2016y=2017①2016x+2017y=2018②．
【变式4-1】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程：19x+18y=17①17x+16y=15②
解：①-②，2x+2y=2即x+y=1③
③×16，得16x-16y=16④
②-④，得x=-1．
把x=-1，代入③，得-1+y=1．解得y=2．
所以原方程组的解为：x=-1y=2
(1)请仿照上面的方法解方程组：2022x+2021y=20202020x+2019y=2018；
(2)请猜想关于x，y的方程组(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b的解，并利用方程组的解加以验证
类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
解题技巧：当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=a;当两式相减时，x和y的系数互为相反数，化简即可得到-x+y=b.由此达到化简方程组的目的.
【例5】解方程组：13x+14y=40①14x+13y=41②．
【变式5-1】感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得x-4y=-2①+②×2可得7x+5y=19．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x-y=______，x+y=______．
(2)解方程组：x+y=5x+z=3y+z=4
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
类型四 换元法
【例6】解方程组：1x+1x+y=33x-1x+y=1．
【变式6-1】阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m+5-2n+3=-13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，n+3=y，原方程组可化为3x-2y=-13x+2y=7
解得：x=1y=2．∴m+5=1n+3=2，∴原方程组的解为m=-4n=-1．
(1)若方程组2x-3y=45x-3y=1的解是x=-1y=-2，则方程组2a+b-3a-b=45a+b-3a-b=1的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x+y-4x-y=4x+y2+x-y6=1．
【变式6-2】数学方法：
解方程组：32x+y-2x-2y=2622x+y+3x-2y=13，若设2x+y=m，x-2y=n，则原方程组可化为3m-2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=-1，所以2x+y=8x-2y=-1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=-2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm-n=6bm+n+am-n=3的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2-x-y3=42x+y+x-y=16．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=-3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
类型五 同解交换法
解题技巧：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b 的二元一次方程组,进而确定a、b的值.
【例7】（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103x+y=4与x-y=2x+by=15的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【变式7-1】若关于x，y的二元一次方程组2x+5y=-26ax-by=-4，和3x-5y=36bx+ay=-8有相同的解．
(1)求这两个方程组的解；
(2)求代数式2a+b2022的值．
类型六 主元法
解题技巧：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数.
【例8】已知4x-3y-3z=0x-3y-z=0（x，y，z均不为0），求xy+2yzx2+y2-z2的值．
【变式8-1】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z= ．
题型04 错看或错解二元一次方程组问题
【例9】在解方程组ax+5y=104x-by=-4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为x=-3y=-1，乙看错了方程组中的b，得到的解为x=5y=4．则原方程组的解（ ）
A．x=-2y=8B．x=15y=8C．x=-2y=6D．x=-5y=8
解“看错系数”问题的方法
看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组.
【变式9-1】（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：x-2y=1①2x+2y=5②
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5
第三步：解得y=23
第四步：将y=1代入③，解得x=73；
第五步：所以原方程组的解为x=23y=73
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【变式9-2】（2021·浙江嘉兴·二模）解方程组：3x-2y=6①x+y=5②．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得y=5+x③……（1）
把③代入①，得：3x-2x+5=6……（2）
解得：x=-1……（3）
把x=-1代入③，得y=4……（4）
∴此方程组的解为x=-1y=4……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
题型05 构造二元一次方程组求解
【例10】（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y-52+x+2y+4=0，则x-y的值是 ．
【变式10-1】（2019·江苏宿迁·中考真题）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ．
【变式10-2】（2022·湖南长沙·校考一模）如果单项式-3ax-2yb2与14b2x+ya3是同类项，那么3x-y的值为 ．
【变式10-3】请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b=ax+by．例如：3◎2=3x+2y．
(1)如果x=-5，2◎4=-18，求y的值；
(2)1◎1=8，4◎2=20，求x，y的值．
题型06 解三元一次方程组
【例11】（2023·上海长宁·二模）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），那么a+b+c的值是（ ）
A．2B．3C．4D．t
【变式11-1】已知方程组x+2y=k2x+y=1的解满足x＋y＝3，则k的值为( )．
A．10B．8C．2D．－8
【变式11-2】（2022·四川眉山·校考一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65．求代数式a＋b＋c的值．
考点四 一次方程（组）的应用
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一次方程（组）有关应用题的常见类型：
题型01 利用一元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
【例1】（2022 滨州市二模）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800xD．1000（26﹣x）=800x
【变式1-1】（2023哈尔滨市三模）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其它工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x=64(27-x)B．64x=22(27-x)
C．2×22x=64(27-x)D．2×64x=22(27-x)
【变式1-2】（2023西安尊德中学二模）制作一张方桌要用1个桌面和4条桌腿，若1m3木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求应安排多少木材用来制作桌面．
类型二 工程问题
【例2】（2022·辽宁阜新·一模）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）
A．x+1020+1025=1B．1025+x-1020=1C．x-1025+1020=1D．x+1025+1025=1
【变式2-1】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做10个就可以超额完成3个，若每小时做11个就可以提前1h完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有x个，则根据题意得到的正确方程是（ ）
A．x10-3=x11+1B．x10-103=x11-1
C．x10+310=x11-1D．x10+310=x11+1
【变式2-2】（2023·安徽合肥·二模）整理一批图书，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用2h整理，随后又增加5人和他们一起又做了3h，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么一共安排整理的人员有多少？
类型三 增长率问题
【例3】（2022·安徽合肥·模拟预测）一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是（ ）
A．2400元B．2200元C．2000元D．1800元
【变式3-1】（2023蚌埠高新区模拟）受季节影响，某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是100元，那么该商品每件的原售价可表示为（ ）
A．921-a%B．1081-a%C．921-a%D．1081-a%
类型四 销售利润问题
【例4】（2023宁波市一模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
【变式4-1】（2023巴东县模拟）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元
【变式4-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）某种商品进价为200元，标价为300元．现打折销售，要使利润率为5%．则需打几折？
类型五 比赛积分问题
【例5】（2023·湖南长沙·长沙麓山国际实验学校校考模拟预测）全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）可以进入下一轮比赛．如表是某次小组赛的积分表：
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式5-1】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）在全国足球甲级A组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-2】（2022·陕西西安·西安市西光中学校考二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
类型六 方案选择问题
【例6】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同，A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按6折票价优惠．请问当家庭的人数是多少时，两家旅行社的费用相同？
【变式6-1】（2023怀远县二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：
租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费，租用乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费，设里程为x千米．
（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用；
（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？
类型七 数字问题
【例7】（2023·山东滨州·一模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn=（ ）
A．1B．2C．3D．0
【变式7-1】（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）一个两位数的个位数字与十位数字都是x，如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数大12，则可列的方程是（ ）
A．2x+3=12
B．10x+2+3=12
C．(10x+x)-10(x+1)-(x+2)=12
D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12
类型八 日历问题
【例8】（2023增城区一模）在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )
A．4B．33C．51D．27
【变式8-1】将连续的偶数2，4，6，8，…排成下图所示，若将十字框上下左右移动，可框住五个数，这五个数的和可能等于（ ）
A．123B．115C．240D．400
【变式8-2】（2023·河北廊坊·校考三模）2023年4月的日历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为36，这三个数在日历中的排布不可能是（ ）
A． B． C． D．
类型九 几何问题
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a、b互为相反数，若AB=8，则点A表示的数为（ ）

A．8B．4C．0D．-4
【变式9-1】（2023·广西南宁·一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为30cm，宽为18cm，AD=2AB，则该纸盒的容积为（ ）
A．960cm3B．800cm3C．650cm3D．648cm3
【变式9-2】如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？
类型十 和差倍分问题
【例10】（2020·湖南张家界·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）A．x+23=x2-9B．x3+2=x-92C．x3-2=x+92D．x-23=x2+9
【变式10-1】（2022·江苏苏州·一模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（ ）
A．6x+14=8xB．6x+14=8xC．8x+14=6xD．8x-14=6x
【变式10-2】（2022·江苏宿迁·二模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（ ）
A．7x+4=9x-8B．7x-4=9x+8C．x+47=x-89D．x-47=x+89
【变式10-3】（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
类型十一 行程问题
【例11】（2023·湖北荆州·一模）野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇？设野鸭与大雁经过x天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x7+x9=1B．x7-x9=1C．7+9x=1D．9-7x=1
【变式11-1】（2023 天水市一模）船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为x千米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．36+4x+36-49-x=1B．36+4x=9
C．x36+x4=9D．x36+4+x36-4=9
【变式11-2】（20223延边州一模）我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为（ ）
A．240x=150x+12B．240x=150x+12
C．240x-12=150xD．240x=150x-12
【变式11-3】（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【变式11-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）A、B两地相距300千米，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地．已知两车同时出发，乙车的速度是甲车的1.5倍．
(1)若2小时后两车还未相遇，此时两车相距100千米，求甲车的速度；
(2)若乙车中途因故停留了75分钟，从而与甲车同时到达目的地，求甲车的速度．
题型02 利用二元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
【例12】（2023衢州市一模）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A．5x+2y=1503x+6y=100B．5x+2y=1503y+6x=100
C．5x+3y=1502y+6x=100D．5x+3y=1502x+6y=100
【变式12-1】工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A．x+y=40y=2xB．x+y=4015x=2×20yC．x+y=402×15x=20yD．x+y=402x15=y20
类型二 方案选择问题
【例13】（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式13-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【变式13-2】（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
类型三 年龄问题
【例14】（2021淮滨县一模）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）
A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁
【变式14-1】（2021·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁．
【变式14-2】（2022·安徽芜湖·校考一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
类型四 几何问题
【例15】（2023·河北保定·二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ）

A．60dm3B．72dm3C．74dm3D．94dm3
【变式15-1】（2021·广东深圳·校考一模）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．60cmB．65cmC．70cmD．75cm
【变式15-2】（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
类型五 行程问题
【例16】（2020·福建福州·校考模拟预测）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（ ）
A．{x+y=300x-y=20B．{x+y=20x-y=300
C．{20x+20y=300300x-300y=300D．{20x+300y=300300x-20y=300
【变式16-1】（2023·浙江台州·一模）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，3a=6b••••，则答案中另一个方程应为（ ）
A．3a+2b=12B．a4+b3=3C．a-b=1D．4a+3b3=3+42
【变式16-2】设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度为 （ ）

A．20米/秒B．25米/秒C．30米/秒D．35米/秒
【变式16-3】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？
类型六 古代问题
【例17】（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（ ）
A．x+5y=35x+y=2B．5x+y=3x+5y=2C．5x=y+3x=5y+2D．5x=y+2x=5y+3
【变式17-1】（2023·青海西宁·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ）
A．y-x=4.512y=x-1B．x-y=4.512y=x-1C．y-x=4.512y=x+1D．x-y=4.512y=x+1
【变式17-2】（2023龙岗区一模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．11x=9y（10y+x）-（8x+y）=13B．10y+x=8x+y9x+13=11y
C．9x=11y（8x+y）-（10y+x）=13D．9x=11y（10y+x）-（8x+y）=13
【变式17-3】（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
(2)求兽、鸟各有多少．
类型七 图表问题
【例18】（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【变式18-1】（2022宜昌市中考诊断）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？
【变式18-2】（2021·贵州贵阳·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．
类型八 工程问题
【例19】（2022定安县一模）为了打造环湖风光带，现有一段长为88米的河道清淤任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天清理10米，乙工程队每天清理8米，共用时10天，则甲乙工程队各清理了几天？
【变式19-1】（2021昭通市一模）计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米施工任务：若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成420米的施工任务．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
（2）该河道全长6000米，若两队合作工期不能超过90天，乙工程队至少施工多少天？
考点要求
新课标要求
命题预测
等式的基本性质
理解等式的基本性质
一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.
中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点.
预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．
一元一次方程
能解一元一次方程
二元一次方程（组）
掌握消元法，能解二元一次方程组
能解简单的三元一次方程组[选学]
一次方程（组）
的应用
利用一次方程求解实际问题
解方程：2x+13-5x-16=1
解：去分母，得22x+1-5x-1=1……第一步
去括号，得4x+2-5x+1=1……第二步
移项，得4x-5x=1-1-2……第三步
合并同类项，得-x=-2，……第四步
方程两边同除以－1，得x=2．……第五步
排名
球队
积分
1
甲
6
2
乙
4
3
丙
4
4
丁
起步价/元
限定里程/km
超限定里程（元/km）
甲
108
80
3
乙
180
100
2
第一次
第二次
甲种货车辆数（辆）
2
5
乙种货车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
产品
展板
宣传册
横幅
制作一件产品所需时间（小时）
1
15
12
制作一件产品所获利润（元）
20
3
10