第02讲 整式（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

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考点一
代数式
代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的值
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
【题型1 实际问题中的代数式】
【例1】（2024中考·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元B．10(100−x)元C．8(100−x)元D．(100−8x)元
【变式1-1】（2024中考·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米a+1.2元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．20a元B．20a+24元C．17a+3.6元D．20a+3.6元
【变式1-2】（2024中考·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H= ．
①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．
【变式1-3】（2024中考·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【题型2 求代数式的值】
【例2】（2024中考·广西·中考真题）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
【变式2-1】（2024中考·四川泸州·中考真题）已知点A(a，−1)与点B(−4，b)关于原点对称，则a−b的值为（ ）
A．−5B．5C．3D．−3
【变式2-2】（2024中考·四川达州·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为 ．
【变式2-3】（2024中考·山东济宁·中考真题）已知a2−2b+1=0，则4ba2+1的值是 ．
【题型3 与代数式有关的规律探究】
【例3】（2024中考·重庆·中考真题）下列图形都是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cm2，……，由第（10）个图形的面积为【 】
A．196cm2B．200cm2C．216cm2D．256cm2
【变式3-1】（2024中考·山东·中考真题）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，⋯，an满足如下关系：a2=1+a11−a1，a3=1+a21−a2，a4=1+a31−a3，⋯，an+1=1+an1−an，若a1=2，则a2023的值是（ ）
A．−12B．13C．−3D．2
【变式3-2】（2024中考·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 根.
【变式3-3】（2024中考·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
考点二
整式及其运算
1.单项式
用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式
2.多项式
几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
3.同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
4.合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
5.整式的运算
(1)整式的加减
几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
(2)整式的乘除运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
【题型4 整式的相关概念】
【例4】（2024中考·山东泰安·中考真题）单项式−3ab2的次数是 ．
【变式4-1】（2024中考·上海·中考真题）计算：4x23= ．
【变式4-2】（2024中考·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（ ）
A．x+1B．1x+1C．x2+1D．x+1x
【变式4-3】（2024中考·重庆·中考真题）已知整式M:anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0，其中n,an−1,⋯,a0为自然数，an为正整数，且n+an+an−1+⋯+a1+a0=5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型5 整式的加减与幂的运算】
【例5】（2024中考·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5abB．a+ba−b=a2−b2
C．2a2⋅3b=6abD．a32=a5
【变式5-1】（2024中考·广东广州·中考真题）若a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5B．a3⋅a2=a5
C．2a⋅3a=5aD．a3÷a2=1
【变式5-2】（2024中考·吉林·中考真题）下列各式运算结果为a5的是（ ）
A．a2+a3B．a2⋅a3C．a23D．a10÷a2
【变式5-3】（2024中考·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2a23=6a6B．a3−a2=aC．a3⋅a4=a12D．a4÷a3=a
【题型6 整式的乘除】
【例6】（2024中考·甘肃兰州·中考真题）计算：2a(a−1)−2a2=（ ）
A．aB．−aC．2aD．−2a
【变式6-1】（2024中考·山东青岛·中考真题）若x+4x−2=x2+px+q，则p、q的值是（ ）
A．2，−8B．−2，−8C．−2，8D．2，8
【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（m>n）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的32．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
【变式6-3】（2022·江苏无锡·一模）已知计算5−3x+mx2−6x3⋅−2x2−x−3x3+nx−1的结果中不含x4和x2的项，求m，n的值．
【题型7 乘法公式的应用】
【例7】（2024中考·内蒙古赤峰·中考真题）已知2a2−a−3=0，则(2a+3)(2a−3)+(2a−1)2的值是（ ）
A．6B．−5C．−3D．4
【变式7-1】（2024中考·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ．
【变式7-2】（2024中考·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
【变式7-3】（2024中考·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．

【题型8 化简求值】
【例8】（2024中考·吉林·中考真题）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：
原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步）
=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）
=2ab﹣b2 （第三步）
（1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；
（2）写出此题正确的解答过程．
【变式8-1】（2024中考·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：2m−mm−2+m+3m−3，其中m=52．
【变式8-2】（2024中考·北京·中考真题）已知x2−4x−1=0，求代数式(2x−3)2−(x+y)(x−y)−y2的值．
【变式8-3】（2024中考·湖北随州·中考真题）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab=−12．
【题型9 用图形面积验证乘法公式】
【例9】（2024中考·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：a+b+cd=ad+bd+cd
公式②：a+bc+d=ac+ad+bc+bd
公式③：a−b2=a2−2ab+b2
公式④：a+b2=a2+2ab+b2
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式a+ba−b=a2−b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则S1S2的值为_______；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【变式9-1】（2024中考·浙江衢州·中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【变式9-2】（2024中考·浙江金华·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【变式9-3】（2024中考·江苏常州·中考真题）【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】：（1）如图，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=________；
【运用】：（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n=3，m=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．
①当n=4，m=2时，如图，y= ；当n=5，m= 时，y=9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y= （用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
考点三
因式分解
1.因式分解的定义
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
2.因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解
【题型10 提公因式法因式分解】
【例10】（2024中考·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
【变式10-1】（2024中考·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ．
【变式10-2】（2024中考·湖北黄石·中考真题）因式分解：xy−1+41−y= ．
【变式10-3】（2024中考·青海西宁·中考真题）长和宽分别为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
【题型11 直接运用公式法因式分解】
【例11】（2024中考·四川眉山·中考真题）已知a2+14b2=2a−b−2，则3a−12b的值为（ ）
A．4B．2C．−2D．−4
【变式11-1】（2024中考·山东威海·中考真题）因式分解：x+2x+4+1= ．
【变式11-2】（2024中考·四川自贡·中考真题）把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1)B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1)D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
【变式11-3】（2024中考·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
【题型12 提公因式后应用公式法因式分解】
【例12】（2024中考·四川绵阳·中考真题）把代数式mx2−6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是( )
A．m(x+3)2B．m(x+3)(x−3)
C．m(x−4)2D．m(x−3)2
【变式12-1】（2024中考·江西南昌·中考真题）分解因式：2a2−4a+2= ．
【变式12-2】（2024中考·湖南·中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ．
【变式12-3】（2024中考·广西百色·中考真题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2−x−3的方法.
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项 −3=−1×3=1×(−3)验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×(−1)=1；1×(−1)+2×3=5；1×(−3)+2×1=−1；1×1+2×(−3)=−5
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(−3)+2×1=−1，等于一次项系数-1，即(x+1)(2x−3)=2x2−3x+2x−3=2x2−x−3，则2x2−x−3=(x+1)(2x−3).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：3x2+5x−12= ．
【题型13 因式分解的实际应用】
【例13】（2024·四川成都·模拟预测）定义：若4n3−3n−2（n正整数，且0