高中物理单摆导学案

这是一份高中物理单摆导学案
1．单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ。
（3）两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋。
2．周期公式T＝的理解
（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g为当地重力加速度。
说明：在不同星球表面：g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。
3．等效摆长及等效重力加速度
有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝，其中g′和l′的意义如下：
（1）l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋Lcs α。乙图中小球（可看作质点）在半径为R的光滑圆槽中靠近A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。
（2）g′——等效重力加速度一般情况下，g′＝，F为单摆摆球相对于摆动圆弧的圆心静止时，摆线或圆弧轨道对摆球的作用力，如图丙中g′＝＝gsin α。如图丁中g′＝＝。
二．典例精讲
1．单摆问题
例题1 （2025·四川·历年真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（ ）
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D．小球丙、丁的摆长之比为1∶2
【答案】C
【解析】根据单摆周期公式T＝，可知T丁＞T丙＞T乙＞T甲，
CD．设甲的周期为T甲，根据题意可得2T甲＝＝T丙＝
可得T丙＝2T甲，T乙＝，T丁＝4T甲，
可得T甲∶T乙＝3∶4，T丙∶T丁＝1∶2
根据单摆周期公式T＝，结合T丙∶T丁＝1∶2
可得小球丙、丁的摆长之比L丙∶L丁＝1∶4，故C正确，D错误；
A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过T甲（）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，位移最大，根据a＝可知此时加速度最大，故A错误；
B．根据上述分析可得T乙＝，小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为（即）可知此时小球乙经过平衡位置，此时速度最大，动能最大，故B错误。
故选C。
例题2 （2024·甘肃·历年真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
【答案】C
【解析】由单摆的振动图像可知振动周期T＝0.8π s，由单摆的周期公式T＝得摆长l＝＝1.6 m，x－t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相等，方向不同。故C正确，A、B、D错误。
2．类单摆问题
例题3 （2024·浙江·历年真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g＝10 m/s2，则（ ）
A．摆角变小，周期变大B．小球摆动周期约为2 s
C．小球平衡时，A端拉力为 ND．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
【答案】B
【解析】A．根据单摆的周期公式T＝可知周期与摆角无关，A项错误；
CD．同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图可得2FAcs 30°＝mg，解得FA＝FB＝ N，C、D两项错误；
B．根据几何知识可知摆长为L＝＝1 m，周期为T＝≈2 s，B项正确。
故选B。
例题4 （2024·安徽·联考题）如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，关于周期大小关系的判断，正确的是（ ）
A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＜T3＜T4
C．T1＜T2＝T3＜T4 D．T1＞T2＝T3＞T4
【答案】D
【解析】根据周期公式T＝可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和等效重力加速度有关。题图甲中沿斜面的加速度为a1＝g sin θ，所以周期T1＝；题图乙中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为a2＝g，所以周期T2＝；题图丙中的周期T3＝；题图丁中的等效重力加速度为a4＝g＋a，所以周期T4＝，故T1＞T2＝T3＞T4，ABC错误，D正确。故选D。
三．跟踪训练
1．（2025·重庆模拟题）一只单摆，在第一个星球表面上的振动周期为T1，在第二个星球表面上的振动周期为T2。若这两个星球的质量之比M1∶M2＝4∶1，半径之比R1∶R2＝2∶1，则T1∶T2等于（ ）
A．1∶1B．2∶1C．4∶1D．8∶1
【答案】A
【解析】由单摆的周期公式可知T＝，故，再由＝mg，可得g＝可知＝1，A项正确。
2．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在此处将力传感器与摆线相连（图甲中未画出）。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，图乙中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的摆长为2.5 m
B．摆球的质量为0.0498 kg
C．单摆的振动周期为0.8π s
D．摆球运动过程中的最大速度为 m/s
【答案】C
【解析】根据乙图，周期为T＝0.8π s，故C正确；根据周期公式T＝，整理得l＝＝1.6 m，故A错误；由于在最低点时的拉力大小为F＝0.504 N，根据牛顿第二定律有F－mg＝，设在A点时，摆线与竖直方向夹角为θ，在最高点时的拉力为F′＝mgcs θ＝0.498 N，由最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律有mgl(1－cs θ)＝，联立可得m＝0.05 kg，v＝ m/s，故B、D错误。故选：C。
3．如图所示，“杆线摆”可以绕着固定轴OO′来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动。轻杆水平，杆和线长均为L，重力加速度为g，摆角很小时，“杆线摆”的周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于“杆线摆”中摆球绕OO′轴摆动，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，则在摆角很小时，摆球受到的力沿摆球摆动的切线方向的分力提供回复力，如图，“杆线摆”的摆长为l＝Lcs 30°＝，摆球沿虚线方向等效重力G′＝Gcs 60°＝＝mg′，“杆线摆”的周期为T＝＝，故选A。
4．（多选）如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A的距离远远小于R，若同时释放小球B、C。设小球B到A点的距离为H，则要使两小球B和C在A点相遇（小球B和C可视为质点），H的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】小球B做自由落体运动，小球C做简谐运动，根据题意得H＝，t＝（n＝0，1，2…），T＝，联立解得H＝（n＝0，1，2…）。故选AD。