单个物体的动力学问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．“等高斜面”模型的特点及应用问题
等高斜面模型的特点：倾角越小，时间越长。
由L＝，a＝gsin θ，L＝可得：t＝
可知倾角越小，时间越长，图中t1＞t2＞t3。
2．“同底斜面”模型的特点及应用问题
同底斜面模型的特点：倾角45°时，时间最短。
由L＝，a＝gsin θ，L＝可得：t＝，可见θ＝45°时时间最短，图中t1＝t3＞t2。
3．三类等时圆模型
（1）圆周内同顶端的斜面
如图1所示，在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上。由2R·sin θ＝，可推得t1＝t2＝t3。
（2）圆周内同底端的斜面
如图2所示，在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该圆周上的不同点，同理可推得t1＝t2＝t3。
（3）双圆周内斜面
如图3所示，在竖直面内的两个圆，两圆心在同一竖直线上且两圆相切，各斜面过两圆的公共切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置，可推得t1＝t2＝t3。
二．典例精讲
1．“等高斜面”模型
例题1 一物块从两个高度相同倾角不同的斜面由静止滑下，倾角分别为37°和53°，时间之比为2∶1，两个斜面的动摩擦因数相同，则动摩擦因数为（已知sin 37°＝0.6）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据受力可知，，又，解得μ＝，故选B。
2．“同底斜面”模型
例题2 （多选）建设房屋时，保持底边L不变，要设计好屋顶的倾角θ，以便下雨时落在房顶的雨滴能尽快地滑离屋顶，雨滴下滑时可视为小球做无初速度、无摩擦的运动。下列说法正确的是（ ）
A．倾角θ越大，雨滴下滑时的加速度越大
B．倾角θ越大，雨滴对屋顶压力越大
C．倾角θ越大，雨滴从顶端O下滑至屋檐M时的速度越大
D．倾角θ越大，雨滴从顶端O下滑至屋檐M时的时间越短
【答案】AC
【解析】屋檐的倾角为θ，底边为L，设屋顶的坡面长度为s，雨滴下滑时加速度为a
AB．对水滴做受力分析，只受重力mg和屋顶对水滴的支持力N，
垂直于屋顶方向mgcs θ＝N，平行于屋顶方向ma＝mgsin θ
可知，倾角θ越大，N越小，则由牛顿第三定律知雨滴对屋顶的压力N′＝N
所以倾角θ越大，雨滴对屋顶压力越小，雨滴下滑的加速度为a＝gsin θ
则倾角θ越大，雨滴下滑时的加速度越大，故A正确，B错误；
CD．设从O到M的时间为t，水滴的运动位移为
由位移时间公式得，则
故当θ＝45°时，用时最短，雨滴从顶端O下滑至屋檐M时的速度为
知倾角θ越大，雨滴从顶端O下滑至屋檐M时的速度越大，故C正确，D错误。
故选AC。
3．等时圆模型－圆周内同顶端的斜面
例题3 如图所示，斜面体ABC的倾角为60°，O点在C点的正上方且与A点等高，现从O点向AC构建光滑轨道OM、ON、OP，M、N、P分别为AC的四等分点。一小球从O点由静止开始分别沿OM、ON、OP运动到斜面上，所需时间依次为tM、tN、tP，则（ ）
A．tM＝tN＝tP B．tM＞tN＞tP C．tM＞tP＞tN D．tM＝tP＞tN
【答案】C
【解析】以OC′为直径，做一个圆与AC边相切于N点，如图所示
由图可知，圆与OM相交于M′，与OP相交于P′，根据等时圆的性质可知，从O到N、从O到M′、从O到P′的时间相同，又因为M′M＞P′P，故从O到P的时间小于从O到M的时间，而大于从O到N的时间，即tM＞tP＞tN，故选C。
4．等时圆模型－圆周内同底端的斜面
例题4 如图所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，圆周半径为R，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点。现有两个小滑环A、B分别从a、c处由静止释放，滑环A经时间t1从a点到达b点，滑环B经时间t2从c点到达d点；另有一小球C从c点静止释放做自由落体，经时间t3到达b点，不计一切阻力与摩擦，且A、B、C都可视为质点，则t1、t2、t3的大小关系为（ ）
A．t1＝t2＝t3
B．t1＞t2＞t3
C．t2＞t1＞t3
D．A、B、C三物体的质量未知，因此无法比较
【答案】A
【解析】对于环A，设ab与水平方向的夹角为θ，圆的半径为R，由牛顿第二定律可知，下滑加速度为a1＝＝gsin θ，又根据运动学公式得2Rsin θ＝，解得t1＝，对于环B，设cd与水平方向的夹角为α，由牛顿第二定律可知，下滑加速度为a2＝＝gsin α，又根据运动学公式得2Rsin α＝，解得t2＝，对自由落体的球C而言，有2R＝，解得t3＝，因此三者时间相等，且与物体的质量无关，A项正确，B、C、D三项均错误。
5．等时圆模型－双圆周内斜面
例题5 如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α＞β＞θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（ ）
A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB＞tCD＞tEF
C．tAB＜tCD＜tEF D．tAB＝tCD＜tEF
【答案】B
【解析】设圆的半径为R1，半圆的半径为R2，则可知轨道长度为s＝2R1cs α＋R2
下滑的加速度
根据运动学公式有
则可得
由于α＞β＞θ，由此可得tAB＞tCD＞tEF，
故选B。
三．跟踪训练
1．如图所示，一个物体由A点出发分别沿三条光滑轨道到达C1，C2，C3，则（ ）
A．物体到达C1点时的速度最大
B．物体分别在三条轨道上的运动时间相同
C．物体到达C3的时间最短
D．在C3上运动的加速度最大
【答案】CD
【解析】D．在沿斜面方向上，物体受重力沿斜面向下的分力，所以根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度，斜面倾角越大，加速度越大，所以C3上运动的加速度最大，故D正确；
BC．根据几何知识可得：物体发生位移为，物体的初速度为零，所以，解得，倾角越大，时间越短，物体到达C3的时间最短，故B错误，C正确；
A．根据得，知到达底端的速度大小相等，故A错误。
故选CD。
2．（多选）如图所示，光滑斜面CA、DA、EA都以AB为底边，三个斜面的倾角分别为75°、45°、30°。物体分别沿三个斜面由顶端从静止滑到底端，下面说法中正确的是（ ）
A．物体沿CA下滑，加速度最大
B．物体沿EA下滑，加速度最大
C．物体沿CA滑到底端所需时间最短
D．物体沿DA滑到底端所需时间最短
【答案】AD
【解析】AB．设斜面倾角为α，物体沿光滑斜面下滑时的加速度大小为a，由牛顿第二定律可得mgsin α＝ma，解得a＝gsin α，物物体沿CA下滑，斜面倾角最大，加速度最大，故A正确，B错误；
CD．设AB边长为x由运动学公式可得
联立可求得
当α＝45°，t有最小值，说明物体沿DA滑到底端所需时间最短，故C错误，D正确。
故选择AD选项。
3．如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点。竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则（ ）
A．a球最先到达M点B．b球最先到达M点
C．c球最先到达M点D．b球和c球都可能最先到达M点
【答案】C
【解析】由等时圆模型知，a球运动时间小于b球运动时间，a球运动时间和沿过CM的直径的自由下落时间相等，所以从C点自由下落到M点的c球运动时间最短，故C正确。
4．如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P．设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为（ ）
A．2∶1B．1∶1C．∶1D．1∶
【答案】B
【解析】对物体受力分析可知当重物从A点下落时，重物受重力mg，支持力F，在沿斜面方向的加速度大小是a1，则有mgcs 30°＝ma1，解得，由于s1＝2R×cs 30°＋2r×cs 30°＝(R＋r)，根据公式可得；当重物从C点下滑时，在沿斜面方向的加速度大小是是a2，则有mgcs 60°＝ma2，解得，由于s2＝2R×cs 60°＋2r×cs 60°＝R＋r，根据公式可得，所以t1＝t2，故选项B正确，A、C、D错误。
5．如图所示，AB是一个倾角为θ的传送带，上方离传送带表面距离为l的P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，需在P与AB传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度地从P处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从P处到达传送带的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，以P处为圆的最高点作圆O与传送带相切于C点，设圆O的半径为R，从P处建立一管道到圆周上，管道与竖直方向的夹角为α，原料下滑的加速度为a＝＝gcs α，管道长度为L＝2Rcs α，由运动学公式可得L＝，解得t＝＝＝。
可知从P处建立任一管道到圆周上，原料下滑的时间相等，故在P与AB传送带间建立一管道PC，原料从P处到传送带上所用时间最短，由图中几何关系可知，管道与竖直方向的夹角为α＝，图中PC＝，解得t＝。
故选D。