初中数学人教版（2024）九年级下册相似三角形的性质教案配套ppt课件

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相似三角形对应线段的性质相似三角形面积的性质
相似三角形对应线段的性质
1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2. 相似三角形对应线段的比等于相似比.
特别提醒在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意前提条件：1. 两个三角形必须相似；2. 抓住“对应”二字，并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比.对应高指对应边上的高，对应中线指对应边上的中线，对应角平分线指对应角的平分线.
如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1∶2. 若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH 的周长.
解题秘方：利用相似三角形对应高的比等于相似比求解.
△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是 (　　)A.54 B. 36 C. 27 D. 21
解题秘方：方法1：紧扣“相似三角形对应边成比例”列方程求解. 方法2：紧扣“相似三角形周长的比等于相似比”列方程求解.
2－1.[中考·内江]已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶ 3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)A.1∶1 B.1∶3C.1∶6 D.1∶9
特别提醒面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆.
如图27.2－33，△ABC∽△A′B′C′，BC＝6，B′C′＝4，AD⊥BC于点D，AD＝4，求△A′B′C′的面积.
解题秘方：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解.
不要误认为相似三角形面积的比等于相似比
3－1. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD 与CE 相交于点F，若△DEF的面积是3，则 △BCF的面积是________.
利用相似三角形的性质求线段长
如图27.2－34，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，DE∥AB.
解题秘方：紧扣“平行线构成的A 型图形相似”的特征，用相似比与面积比、周长比的关系进行求解.
(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求DE的长；
(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求DE的长.
解法提醒相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；反之，两个三角形相似，相似比等于周长比，相似比等于面积比的算术平方根.
方法点拨解题时，若题中涉及对应线段(中线、高线、角平分线)或面积时，利用“ 相似三角形对应线段的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”是常用的解题途径.
利用相似三角形的性质求面积
(1)若AB＝8，求线段AD的长；
(2)若△ADE的面积为1，求BFED的面积.
技巧点拨解决面积问题的常用方法：1. 直接用面积公式；2. 利用相似三角形的性质；3. 利用等底或等高；4. 割补法.
思路点拨本题第(2)问，先利用相似三角形面积的比等于相似比的平方分别求出△ABC和△EFC的面积，再利用和差关系求出□BFED的面积.
利用相似三角形的性质建立函数关系
如图27.2－36 ①，已知一张三角形纸片ABC，边BC 的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，点M为AB上一动点(点M与点A，B不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h.
(1)请你用含x的代数式表示h.
解题秘方：可以利用相似三角形对应高的比等于相似比表示h；
方法点拨利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系.
(2)将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在的平面，设点A落在平面上的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？
解题秘方：由于折叠后点A1的位置可能在四边形BCNM内部，也可能在BC边上，还可能在四边形BCNM外部，故需分类讨论.
方法点拨利用相似三角形的面积比等于相似比的平方建立等量关系.
解法提醒本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比与面积比之间的关系.
利用相似三角形的性质解决实际问题
课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC 上，AD 交PN 于点E，则加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48 mm. 小颖善于思考，她又提出了如下问题:(1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形PQMN，且此矩形由两个并排放置的正方形组成，如图27.2－37 ②所 示，此时，这个矩形零件的长和宽分别为多少毫米？
相似三角形对应高的比等于相似比
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形PQMN，如图27.2－37 ③所示，此矩形零件的长和宽都不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求达到最大面积时这个矩形零件的长和宽.
误认为相似三角形的面积比等于相似比
两个相似三角形对应边的长分别为20 cm和40 cm，且这两个相似三角形的面积差为90 cm2. 求较大三角形的面积.
诊误区：两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.本题用错了公式，误认为面积比等于相似比.
[中考· 广西]如图27.2－38，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的边GH在BC上，点E，F 分别在AB，AC上，AD 交EF 于点N，则AN的长为(　　)A.15 B. 20 C. 25 D.30
利用相似三角形对应线段的比等于相似比求线段长
试题评析：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质. 解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形对应高的比等于相似比.
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x.∵四边形EFGH 是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC. ∴△AEF∽△ABC.∵ AD 是△ ABC 的高，∴∠HDN＝∠ANE＝90°.∴四边形EHDN 是矩形.∴ DN＝EH＝x.
[中考· 海南]如图27.2－39，在ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( )A.16 B.17 C.24 D.25
利用相似三角形周长之比等于相似比解决问题
试题评析：本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握利用相似三角形的周长之比等于相似比求三角形的周长.
∵ AB∥DF，∴△ABE∽△FCE.∴△ABE的周长∶△CEF的周长＝BE∶CE＝10∶5 ＝2∶1.∴△CEF的周长为16.
利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方解决问题
试题评析：本题考查了相似三角形的判定和性质，正确运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题关键.
1. [中考·重庆]若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是(　　)A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9
3. [中考·包头]如图，在边长为1的小正方形组成的网格 中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为( )A. 1∶4 B. 4∶1 C. 1∶2 D. 2∶1
4. [中考· 遂宁]如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为(　　)A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5. [中考·嘉兴]如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F. 若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为(　　)A. 12 B. 14 C. 18 D. 24
8. [中考·广东]边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为_________.
9. [中考·黄冈]如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝ ∠D，∠BCE＝ ∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；
证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE.又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC.
(2) 若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长.
10. 如图①，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一 点，AP＝x，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. 点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△ APQ 的周长之比为y2.(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；