初中数学人教版（2024）九年级下册相似三角形的判定背景图课件ppt

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相似三角形平行线分线段成比例平行线截三角形相似的定理三边关系判定三角形相似定理边角关系判定三角形相似定理角的关系判定三角形相似定理直角三角形相似的判定
既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形的性质
2. 相似三角形的对应性、顺序性、传递性
如图27.2－1，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70 °，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.
解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解.
(1)求△ABC与△ADE的相似比；(2)求∠AED的度数和DE的长.
1－1.[中考·重庆]如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3， 若AB的长度为6，则DE的长度为(　　)A. 4 B. 9C. 12 D. 13.5
平行线分线段成比例的基本事实及其推论
拓展延伸平行线分线段成比例的基本事实的常见变形
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实找成比例的线段.
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立比例式是解题关键.
技巧点拨：利用平行线分线段成比例的基本事实或推论求线段长的方法：先确定图中的平行线，再根据平行线截得的线段间的比例关系，写出一个含有待求线段和已知线段的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长.
3－1.[期末·绍兴上虞区] 为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点B、点C分别在射线AD与AE上，且BC∥DE，AB∶AD＝3∶7，AE＝28 cm，则CE的长是(　　)A.8.4 cmB.11.2 cmC.12 cmD.16 cm
平行线截三角形相似的定理
警示误区利用平行线判定三角形相似必须满足两个条件：1. 存在一条平行于三角形一边的直线;2. 平行线与三角形其他两边或其延长线相交.如图，即使 AD//BC，也不能得到△ABC与△DCA相似.
如图27.2－4，已知在□ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
解题秘方：紧扣平行线截三角形相似的两种基本图形：“A 型”和“X 型”进行查找.
求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后顺序，若顺序颠倒，则相似比成为原来相似比的倒数
4－1.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中的相似三角形共有( )A. 3 对 B. 5 对C. 6 对 D. 8 对
如图27.2－5，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC＝________.
解题秘方：涉及的线段在平行线上时，用平行线截三角形相似；涉及的线段都在截线上时，用平行线分线段成比例.
1. 相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似.
三边关系判定三角形相似定理
特别提醒由三边成比例判定两三角形相似与由三边对应相等判定两三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.
3. 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤与方法
图27.2－7、图27.2－8中小正方形的边长均为1，则图27.2－8中的哪一个三角形(阴影部分)与图27.2－7中的△ ABC相似？
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.
6－1.[期末·清远清城区]如图，点A，B，C，D均在边长为1 的小正方形网格的格点上，连接AD，求证：△ABD ∽△CBA.
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
边角关系判定三角形相似定理
特别提醒运用该定理证明两三角形相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS 的方法.
如图27.2－10，在正方形ABCD中，P是BC上的一 点，且BP＝3PC，Q是CD的中点. 求证：△ADQ∽ △ QCP.
解题秘方：紧扣“边角关系判定三角形相似定理”证明即可.
技巧点拨: 利用两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后证明这两组对应边成比例.
7－1.[期末·泉州泉港区]如图，线段AB 与CD相交于点P，AP＝5，CP＝3，BP＝10，DP＝6. 求证：△APC∽ △BPD.
1. 相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形 相似.
角的关系判定三角形相似定理
特别提醒常见的相等的角：①公共角；②对顶角；③两直线平行时的同位角、内错角；④同角(等角)的余角(补角)；⑤同弧所对的圆周角.
2. 数学表达式如图27.2－11，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝ ∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.
如图27.2－12，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.
解题秘方：紧扣“两组对应角相等的两个三角形相似”，由于∠BFA是公共角，因此只需利用图形的相关性质证明∠B＝∠4即可.
证明：∵ EF 垂直平分AD，∴ AF＝DF. ∴∠FAD＝∠3.∵ AD 是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2.又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.
8－1.[中考· 菏泽]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90 °，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB.∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED.∵AD⊥BD，∴∠D＝∠ABC＝90°.∴△ADE∽△ABC.
∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE.
1. 直角三角形相似的判定方法(1)一组锐角相等的两直角三角形相似；(2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；(3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似.
深度理解1. 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似.2. 在直角三角形中，只要一组锐角相等，或有两边对应成比例，即可判定这两个直角三角形相似.3. 直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形都与原直角三角形相似.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中，不能判定这两个三角形相似的是( )A. ∠A＝55°，∠D＝35°B. AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C. AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D. AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
解：A. ∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°.∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D.又∵∠C＝∠F＝90°，∴ Rt△ABC∽ Rt△EDF.
9－1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中共有哪几对相似三角形？并选择其中一对进行 证明.
解：图中共有3对相似三角形，分别为△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.(选择不唯一)证明△ACD∽△ABC如下：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝90°＝∠ACB.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
平行线截对应线段成比例
利用“三点定形法”找相似三角形
已知：如图27.2－14，CD是Rt△ABC斜边AB上的 高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F. 求证：AC·CF＝CB·DF.
解题秘方：用“三点定形法”将比例式中的四条线段划归到两个相似三角形中进行证明.
技巧提醒：运用三点定形法时，要设法找出比例式或等积式中所含的几个字母，是否存在可由“三点”确定两个相似三角形，且式子中所有点要在这两个三角形中，“横看”与“竖看”是“三点定形法”找相似三角形的常用方法.
利用平行线构造相似三角形
如图27.2－15，在△ABC中，点D是AB上的点，且AB＝3AD，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F. 求证：BC＝CF.
解题秘方：紧扣“平行线或相似三角形”使线段成比例的特征作辅助线.
教你一招：作平行线构造成比例线段及相似三角形的思路作平行线构造成比例线段及相似三角形的实质是构造“A 型”或“X 型”图形，常用的添加辅助线的规律：(1)原图中的每条直线都可以看作平行线中的一条，针对每一条直线都可以过不在这条直线上的点作它的平行线.(2)过图中任一点都可作不经过这点的直线的平行线.
另解本题还有其他多种解法，下面仅给出添加辅助线的思路，举例如下：1. 如图27.2－18，过点B作BG∥AC，交FD的延长线于点G.
2. 如图27.2－19，过点B作BG∥DF，交AC的延长线于点G.3. 如图27.2－20，过点C作CG∥DE，交AB于点G.同理，还可过点D，E，F作平行线.
[中考·滨州]如图27.2－21，已知AC为⊙O的直径，直线PA 与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M.
证明：如图27.2－21，连接OB.∵ OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵ AC是⊙O的直径，∴∠CBA＝90°.∴∠CAB＋∠OCB＝90°.∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，即∠OBD＝90°. ∴ PD是⊙O的切线.
求证：(1)PD是⊙O的切线；
(2)AM2＝OM·PM.
知识储备证明两个三角形相似，常用的判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”，其次是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，有时候也会用到“ 三边成比例的两个三角形相似”.
方法点拨在圆中证明两个三角形相似，一般找两组角分别相等，找角相等的方法有：1. 利用切线的性质;2. 通过条件计算角的度数；3. 根据“ 同弧或等弧所对的圆周角相等”.
函数与相似三角形的综合
如图27.2－22，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点(不是顶点)，∠BDE＝60°.
解题秘方：紧扣“相似三角形对应边成比例的性质”用方程思想求函数解析式.
(1)求证：△DEC∽△BDA；
证明：∵∠ BDE＝60°，∴∠EDC＋∠ADB＝120°.∵△ABC为等边三角形，∴∠C ＝∠A＝60°.∴∠DBA ＋∠ADB＝120°.∴∠EDC ＝∠DBA.∴△DEC∽△BDA.
(2)若等边三角形的边长为4，并设DC＝x，BE＝y，试求y 关于x 的函数解析式.
解题通法解决此类问题时，一般要从已知入手，找出三角形相似的条件，证得三角形相似后得出与两个变量相关的线段比例式，再把x，y代到比例式中化简得到函数解析式，同时注意x的取值范围.
探究动态问题中的相似三角形
如图27.2－23，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，动点P从点B出发沿BD方向匀速向点D移动，当点P距离点B多远时△APB与△CPD 相似？
解题通法在与相似三角形相关的动点题目中，随动点位置的不同，图形的形状发生变化，则相似三角形边的对应关系发生变化，出现多种情况.所以在动点的题目中，出现“△ XXX 和△ XXX相似”这种描述时，点的对应关系不确定，必须进行分类讨论.
解题时考虑不全面，造成漏解
在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝10，P为AB上一点，PA＝4，过点P的直线交AC边所在的直线于点 D，若△PAD 与△ABC相似，则PD的值为多少？
诊误区：由于受到思维定式的影响，往往只考虑到PD// BC的情况， 而忽视PD与BC不平行的情况，从而造成漏解. 解答此类问题时，要考虑所有可能的情况, 避免因为考虑不全面而导致漏解.
利用平行线分线段成比例求线段的比值
试题评析：本题考查了根据平行线分线段成比例的基本事实求值，正确得出相应的比例式是解题的关键.
在每个小正方形的边长为1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形. 如图27.2－26，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_______.
试题评析：本题考查了相似三角形的判定，明确相似三角形的判定定理是解题的关键.
[中考·上海]如图27.2－27，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝ ∠ADE，AC＝AD.
试题评析：本题是相似三角形的判定与四边形的综合题，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.
(1)求证：DE＝AF；
证明：∵ AD ∥ BC，∴∠ ACF＝ ∠ DAC.∵∠ FAC＝ ∠ ADE，AC＝AD，∴△ ACF ≌△ DAE(ASA).∴ DE＝AF.
(2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE.
[中考·北京]如图27.2－28，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.
试题评析：本题考查了圆的基本性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是学会添加常用的辅助线，灵活运用所学知识解决问题.
(1)求证：OD∥BC；
试题评析：本题考查了反比例函数与一次函数的综合，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是对三角形的相似分类讨论.
(1)求直线和双曲线的解析式.
(2)过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P 为顶点的三角形与△BCD相似，求点P的坐标.
解：∵ A(0，－2)，B(－1，0)，C(－2，2)，CD⊥x轴，点P在x 轴上，∴ OA＝2，BD＝1，CD＝2，∠CDB＝90°＝∠AOP.当以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似时，分两种情况进行讨论：
5. [中考· 东营]如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°. 若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD 的长为(　　)A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2
7. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是_______.
8. [中考·滨州]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC 上. 添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是________________________(写出一种情况即可).
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
10.[中考·滨州]如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B 均在格点上.(1)AB的长为________；
如图，矩形ABCD即为所求．根据矩形的面积公式求得AD，BC的长，再利用相似三角形的性质找到点D和点C的位置
11.[中考·广州]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2. 求证：△ABE∽△ECF.
12.[中考· 江西]如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA.∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE.又∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB.
(2)当AB＝6，AC＝4 时，求AE 的长.
13.[中考·盐城]如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C 作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.
(1)求证：△ABC∽△ACD；
证明：如图，连接OC. ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠CAB.∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l.∵AD⊥l，∴∠ADC＝90°，OC∥AD.∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD.
(2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径.
(2)已知AD＝AE＝1 .①如图②，连接DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE 的外接圆的半径长；
②如图③，如果点M在边BC上，连接EM，DM，EC，DM 与EC 交于N. 如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM·DN，求边DC的长.