2025-2026学年广东省中山一中八年级（上）月考数学试卷（1月份）(含部分答案)

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1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，2，4C. 3，4，5D. 3，6，10
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.如图是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列图形中具有稳定性的是（ ）
A. 四边形B. 三角形C. 长方形D. 正方形
4.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.下列各分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是（ ）
A. 20=0B. a2•a3=a5C. （-a2）4=a6D. a6÷a2=a3
7.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A. ∠CAB=∠DBAB. AB=BDC. BC=ADD. ∠ABC=∠BAD
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD=4，则点D到AB的距离是（ ）
A. 4
B. 2
C. 3
D. 6
9.如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A. （a+2b）2=a2+4ab+4b2B. （a+b）2=（a-b）2+4ab
C. （2a+b）2=4a2+4ab+b2D. （a-b）2=a2-2ab+b2
10.如图，已知△ABC中，AB=4，AC=5，边BC的垂直平分线分别交BC，AC于点E，F，点D为直线EF上一点，则△ABD的周长最小值为（ ）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
12.如图，∠1+∠2+∠3+∠4= °.
13.分解因式：3ab2-6ab= .
14.如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=______．
15.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为 cm2.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：（2a+3）（2a-3）-a（4a-1）.
17.(本小题7分)
已知：如图，点A，C，D，B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求证：∠E=∠F．
18.(本小题7分)
如图，△ABC在平面直角坐标系中.A，B，C三点在格点上，每个小方格的边长为1.
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标.
19.(本小题9分)
已知△ABC中，∠A=90°，∠B=30°．
（1）作图：作△ABC的高AD交BC于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BD=3CD．
20.(本小题9分)
【阅读理解】若x满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2的值.
解：设9-x=a,x-4=b,
则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，
∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17.
【解决问题】
（1）若x满足（5-x）（x-2）=2，则（5-x）2+（x-2）2= ______；
（2）若x满足（x+1）2+（x-3）2=26，求（x+1）（x-3）的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x,E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF正方形，求阴影部分的面积.
21.(本小题9分)
阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可以提出（m+n），即am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b），我们称这种方法为分组法.请你利用分组法解答下列问题：
（1）解决问题：分解因式ac-bc+a2-b2.
（2）拓展运用：已知a,b,c是△ABC的三边，且满足a2-ab+c2-2ac+bc=0，请判断△ABC的形状并说明理由.
22.(本小题13分)
如图1，△ABC中，AB=AC，BC=10，点P从点B出发沿线段BA移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿AC的延长线移动，并与点P同时停止.已知点P，Q移动的速度相同，连接PQ与线段BC相交于点D（不考虑点P与点A，B重合时的情况）.
（1）求证：AP+AQ=2AB；
（2）求证：PD=DQ；
（3）如图2，过点P作PE⊥BC于点E，在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度是否变化？如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由.
23.(本小题14分)
定义：如题图1，若P是△ABC内部一点，且∠PCB=∠PBA=α，则称点P为△ABC的勃罗卡点，同时称α为△ABC的勃罗卡角.
（1）如图2，P为等边△ABC内部一点.其中AP=BP，∠BAP=25°，请判断点P是不是等边△ABC的勃罗卡点，并说明理由；
（2）如图3，P为等边△ABC的勃罗卡点，求等边△ABC的勃罗卡角的度数；
（3）如图4，在（2）的条件下，作点P关于AB的对称点P′，连接PP'与AB相交于点O，连接AP'，BP'，记△APP′的勃罗卡点为M，△BPP′的勃罗卡点为N，求证：△PMN为等边三角形.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x≠﹣2
12.【答案】300
13.【答案】3ab（b-2）
14.【答案】8
15.【答案】4.5
16.【答案】解：（2a+3）（2a-3）-a（4a-1）
=4a2-9-4a2+a
=a-9．
17.【答案】证明：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
即AD=BC，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE△BCF（SAS），
∴∠E=∠F．
18.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标：A2（-2，-2），B2（-3，1），C2（-1，-1）．
19.【答案】解：（1）如图，
AD即为所求；
（2）证明：
∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，
∴BC=2AC，∠C=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AC=2CD，
∴BC=4CD，
∴BD=3CD．
20.【答案】5 5 28
21.【答案】解：（1）原式=（ac-bc）+（a2-b2）
=c（a-b）+（a+b）（a-b）
=（a-b）（a+b+c）；
（2）△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵a,b,c分别为△ABC的三边，
∴b+c＞a,即a-b-c＜0，
已知等式整理得：（a2-2ac+c2）-（ab-bc）=0，
分解因式得：（a-c）2-b（a-c）=0，即（a-c）（a-c-b）=0，
∴a-c=0，即a=c,
则△ABC为等腰三角形．
22.【答案】（1）证明：∵点P，Q移动的速度相同，它们同时出发，
∴PB=CQ，
∴AP+AQ=AP+CQ+AC=AP+PB+AC=AB+AC，
∵AB=AC，
∴AP+AQ=2AB；
（2）证明：过点P作PF∥AC，交BC于点F，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵PF∥AC，
∴∠ACB=∠PFB，
∴∠PFB=∠B，
∴PB=PF．
∵点P，Q移动的速度相同，它们同时出发，
∴PB=CQ，
∴PF=CQ．
∵PF∥AC，
∴∠PFD=∠QCD．
在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴PD=DQ；
（3）解：在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度不变化，DE=5．理由：
过点P作PF∥AC，交BC于点F，如图，
由（2）知：PF=PB，△PFD≌△QCD，
∴DF=DC．
∴FD=FC，
∵PF=PB，PE⊥BC，
∴PE=EF，
∴EF=BF，
∴DE=EF+FD
=BF+FC
=（BF+FC）
=BC
=10
=5．
∴在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度不变化，DE=5．
23.【答案】点P不是等边△ABC的勃罗卡点，理由如下：
∵AP=BP，
∴∠PBA=∠BAP=25°，
∴∠PAC=60°-∠BAP=35°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵PA=PB，
∴PC是AB的中垂线，
∴CP平分∠ACB，
∴∠PCB=30°，
∴∠PAC≠∠PCB≠∠PBA，
∴点P不是等边△ABC的勃罗卡点 等边△ABC的勃罗卡角的度数为30° ∵点P，P′关于AB对称，
∴AB为PP′的中垂线，
∴BP=BP′，
∴△BPP′为等腰三角形，
∵BO⊥P′P，
由（2）可知∠PBO=30°，
∴∠P′BO=PBO=30°，
∴∠PBP′=60°，
∴△BP′P为等边三角形，同理可得△APP′为等边三角形，
如图，在△BPP′内部作∠BPN=30°交BO于点N，连接P′N，

∵BO为PP′的中垂线，
∴P′N=PN，
∴∠NP′P=∠NPP′=60°-∠BPN=30°，
∵∠PBP'=60°，
∴，
∴∠NP′P=∠NPB=∠NBP′=30°，
∴点N为△BP′P的勃罗卡点，且∠ONP=60°，
在△APP′内部作∠APM=30°交AD于点M，
同理可证点M为△AP′P的勃罗卡点，且∠PMO=60°，
∴∠MPN=30°+30°=60°，
∴∠PNO=∠PMO=∠MPN=60°，
∴△MNP为等边三角形