初中数学浙教版（2024）九年级下册解直角三角形巩固练习

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级下册解直角三角形巩固练习，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．sin60°的值为（ ）
A．12B．32C．22D．33
2．已知α是锐角，csα=22，那么锐角α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
3．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正切值是（ ）
A．43B．34C．35D．45
4．如果把锐角△ABC的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（ ）
A．扩大到原来的4倍B．缩小到原来的14
C．没有改变D．无法判断是否发生改变
5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行15km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行10km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A．203kmB．(103+20)kmC．(10+53)kmD．(203+10)km
6．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，圆心为O，半径为3．点I、D、E、F、G、H，分别是边AB,BC,AC的三等分点，连接HI,DE,FG得到一六边形DEFGHI，则该六边形边长为（ ）
A．32B．3C．23D．33
7．如图，在△ABC中，AB=82,BC=14,∠B=45°，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
8．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，点A、B、C、D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC为（ ）
A．32B．3C．36D．23
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD边的中点，把△ADE沿AE折叠得到△AFE（点D的对应点为点F），则sin∠CEF的值为（ ）
A．34B．35C．45D．12
10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是直角三角形，A(4,0)，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点B在y轴正半轴，等边△OCD的顶点D(−4,0)，点C在第二象限，将△OCD沿x轴向右平移，得到△O'C'D'，点O，C，D的对应点分别为O'，C'，D'．设OO'=x，△O'C'D'与△OAB重叠部分的面积为S，当点D'与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．sin45°=
12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=3，那么sin∠EOD= .
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，当点D恰好落在射线AB上时，AD的长为 ．
14．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则tan∠ABC的值为 ．
15．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点，点E为射线BC上一点，连接OE，将OE绕点O顺时针方向旋转90°，得到OF交BC于点M．若AB=65，OE=15，则BM的长为 ．
16．如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=8cm，BC=3cm，tanA=34，动点Q从点D开始沿DA的方向向点A匀速运动，运动速度为1cm/s，动点P从点A开始沿AB的方向向点B匀速运动，运动速度为2cm/s．点P和点Q同时出发．
⑴当PQ∥BD时，t的值为 ；
⑵当PQ⊥BD时，t的值为 ；
三、解答题（共7小题，共72分）
17．计算：sin245°−27+12(3−2006)0+6tan30°．
18．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60∘，然后向后走160米（BC=160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30∘，求该主塔的高度．
19．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点，点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M．已知CD=603cm，OF=30cm，ME=20cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
20．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH．
（1）求证：AH⋅AB=AC⋅BC；
（2）求sinB的值；
21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，sinC=45．动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N．设点P的运动时间为t秒(t>0)．
（1）BC= ；
（2）求MN的长；（用含t的代数式表示）
（3）取PC的中点Q，连结MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ∥PN时，求MN的长．
22．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2=AD⋅BD；②AC2=AB⋅AD；③BC2=AB⋅BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．
（1）请证明“射影定理”中的结论②AC2=AB⋅AD．
（2）【结论运用】
如图2，等腰直角△ABC的腰长为12，点O是斜边AC的中点，点E在AB上，连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为F，连接OF．
①求证：△COF∽△CEA．
②若BE=4，求OF的长．
23．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6,0)，点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°，△BCO是等边三角形，点C在第二象限．
（1）填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）将△BCO沿x轴向右平移得到△B'C'O'，点B，C，O的对应点分别为B',C',O'．
①如图②，设OO'=t，△B'C'O'与△ABO重叠部分的面积为S．当△B'C'O'与△ABO重叠部分为五边形时，B'O',B'C',C'O'分别与AB,BO相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②连接AB'、OC'，当AB'+OC'取得最小值时，求点C'的坐标（直接写出结果即可）．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：sin60°=32．
故选：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵cs45°=22，且 csα=22，α 是锐角，
∴α=45°，
故选：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=AB2−BC2=3，
∴tanA=BCAC=43．
故选：A．
【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根据正切的定义求解即可得.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：解：如果把 Rt△ABC的各边长都扩大到原来的4倍，
那么锐角A的余弦值，即邻边与斜边的比值不变，
故选： C.
【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF=BC=15km，CF=BE，
由题意得：∠DCF=60°，
∴DF=sin60°×CD=32×10=53km，BE=CF=cs60°×CD=12×10=5km，
∴DE=DF+EF=(53+15)km，
由题意得，∠ADE=90°−60°=30°，
∴AE=DE⋅tan∠ADE=33×(53+15)=(53+5)km，
∴AB=AE+BE=53+5+5=(53+10)km．
故选：C．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，即可得到四边形BCFE是矩形，然后根据解直角三角形求出DF和BE长，然后再根据正切求出AE，根据线段的和差解答即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥AC于点M，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，圆心为O，半径为3，
∴∠OAM=30°，AM=CM=12AC，OA=3，AB=AC=BC，
∴AM=OA·cs30°=332，
∴AC=33，
∴AB=BC=AC=33，
∵点I、D、E、F、G、H，分别是边AB,BC,AC的三等分点，
∴AIAB=AHAC=13,BDAB=BEBC=13,CGAC=CFBC=13，
∴AI=BD=13AB,AH=CG=13AC,BE=CF=13BC，
∴IDAB=AB−AI−BDAB=13，即ID=13AB=3，
同理得HG=13AC=3,EF=13BC=3，
∵∠A=∠A，
∴△AIH∽△ABC，
∴IHBC=AIAB=13，
∴IH=3，
同理可得DE=3,FG=3，
∴六边形DEFGHI是正六边形，且边长为3．
故选：B．
【分析】过点O作 OM⟂AC于点M，根据⊙O是等边 △ABC的外接圆，圆心为O，可得 ∠OAM=30∘,AM=CM =12AC,解直角三角形求出 AM=332,得到 AC=33,进而得到. AB=AC=BC=33根据点I、D、E、F、G、H， 分别是边AB，BC，AC的三等分点，求出. ID=13AB=3,HG= 13AC=3,EF=13=BC=3,证明 △AI H∽△ABC,得出 IHBC=AIAB=13,求出IH =3,同理可得 ED=3,GF=3,即可得解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC，如图：
∵∠B=45°，∠AEB=90°，
∴∠B=∠EAB=45°，
∴AE=BE，
在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2，
∴2AE2=AB2=(82)2，
解得：AE=BE=8，
∴EC=BC−BE=14−8=6，
∴AC=AE2+EC2=82+62=10，
∴8≤AD0， FN=2-x， 在Rt△AFNF中， 由勾股定理求出FM =x= 45,在Rt△FMR中，由 正弦函数的定义即可得 sin∠CEF的值.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：①当0