2026年小升初数学考点专项训练--考点30：周期性工程问题解析

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(2)间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量， 再分段处理。
【例1】小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务． 若由这3 人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时。
(1)如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？
(2)如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打l小时，那么需要多少小时完成？
【例2】在露天游泳池内有一根进水管和一根排水管，如果单开进水管5小时才能灌满一池水，如果单开排水管，要3小时才能排完。大雨过后，游泳池的水占了泳池的一半，现按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开一小时，多长时间后水池的水刚好排完?
【例3】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做。原计划按甲、乙、丙的次序轮流做，恰好整数天完成。如果按乙、丙、甲的次序轮流做，比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙的次序轮流做，比原计划多用天。已知甲单独做13天完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完成?
【例4】甲工程队每工作6天必须休息l天，乙工程队每工作5天必须休息2天．一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息）． 如果两队合作，从2014年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？
1.【2019年·白广附(1)】蓄水池有一根进水管和一根排水管，单开进水管5 小时灌满一池水，单开排水管3 小时排完一池水，现池内有半池水，如果按照进水、排水；进水、排水……的顺序，各开1 小时，多少小时后水池的水刚好排完？
2.【23金广实验入学2】甲、乙两个队伍完成一项维修工程，在不休息的情况下，甲队150天修完，乙队180天修完，但在实际维修过程中，甲队干5天休息2天，乙队干6天休息1天，这样甲、乙合作多少天完成。
3.【23天实入学2】一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成，已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息。如果两人合作，从2023年4月24日(周一开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿?(5分)
4.【23广太和华附入学1】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……两人如此交替工作，问：完成任务时，共用了多少小时?(6分)
5.【24白云实验入学1】一项工程，甲独做要8小时完成，乙独做要10小时完成，丙独做要12小时完成，如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由丙接替乙工作1小时，再由甲接替丙工作1小时……三人如此交替工作，那么完成这项工程时共用了多少小时?(7分)
6.【2018·广附大奥】（12分）现有A、B、C三位老师共同批改一个年级的试卷，已知A老师单独批改需10小时，B老师单独批改需8小时，C老师单独批改需6小时。
（1）如果三位老师同时批改需要多少时间？
（2）如果按照A、B、C、A、B、C……的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？
（3）如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？
7.【2016·天省2】单独完成某项工作，甲需要9小时，乙需要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次工作1小时。那么，完成这项工作需要多少小时？

8.姜太公”三天打鱼两天晒网” （打三天鱼休息两天）， 周文王” 四天打鱼一天晒网”， 姜太公打满一缸鱼要38天， 周文王打满同样的一缸鱼要37天， 两人从2014年9月2号开始打鱼， 在几月几号可以合打满一缸鱼？
考点30:周期性的工程问题
(1) 轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量， 再独做处理零头， 即剩余的工作量；
(2)间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量， 再分段处理。
【例1】小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务． 若由这3 人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时。
(1)如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？
(2)如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打l小时，那么需要多少小时完成？
【解析】(1)三人同时工作时所需的时间为小时；
(2)三人依次各做l小时，也就是周期是3小时的周期性合作，且每个周期可完成．而，，小时，即轮流工作6个周期后。鹿又工作1个小时，羊又上作了小时，所以共需要小时。
【例2】在露天游泳池内有一根进水管和一根排水管，如果单开进水管5小时才能灌满一池水，如果单开排水管，要3小时才能排完。大雨过后，游泳池的水占了泳池的一半，现按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开一小时，多长时间后水池的水刚好排完?
【解析】÷(－)=(周期) 3×(1+1)=6(小时)
－(－)×3= (+)÷=(小时) 6+1+=7(小时)
【例3】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做。原计划按甲、乙、丙的次序轮流做，恰好整数天完成。如果按乙、丙、甲的次序轮流做，比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙的次序轮流做，比原计划多用天。已知甲单独做13天完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完成?
【解析】①如果按甲、乙、丙的次序轮流做，甲是最后一天，则甲=乙+丙×=丙+甲
×，丙=×甲，乙=3×甲。这样丙、乙的工作效率就相同了，据题意，三队的工作效率各不相同，从而排除这种情况。
②如果按甲、乙、丙次序轮流做，乙是最后一天，则
甲+乙=乙+丙+甲×=丙+甲+乙×，丙=甲×，乙=甲×
③由题可知，按甲、乙、丙的次序轮流做，丙不可能做最后一天。所以三个工程队合作的时间是：13÷=5(天)
【例4】甲工程队每工作6天必须休息l天，乙工程队每工作5天必须休息2天．一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息）． 如果两队合作，从2014年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？
【解析】把工程总量看作单位"1"'因为。所以甲工作一天可完成．因为，所以乙工作一天可完成＝．甲乙两人合作周期性工作，每7天完成的工作量为， 则经过6个周期后还剩余的工作量为，而甲乙合作一天可完成， 所以， 因此所需的时间为6×7+4 =46大，由于8月有31日， 所以8月份工作了4天，而46=4+30+12 ， 因此要到10月12日方可完工。
1.【2019年·白广附(1)】蓄水池有一根进水管和一根排水管，单开进水管5 小时灌满一池水，单开排水管3 小时排完一池水，现池内有半池水，如果按照进水、排水；进水、排水……的顺序，各开1 小时，（ ）小时后水池的水刚好排完。
2.【23金广实验入学2】甲、乙两个队伍完成一项维修工程，在不休息的情况下，甲队150天修完，乙队180天修完，但在实际维修过程中，甲队干5天休息2天，乙队干6天休息1天，这样甲、乙合作______天完成。
【解析】以7天为一个周期，
×5+×6=，则1÷=15(个)，需要15个周期完成；15×7－1=104(天)。
3.【23天实入学2】一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成，已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息。如果两人合作，从2023年4月24日(周一开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿?(5分)
【解析】×(7－1)+×(7－2)=，
7×5－1=34(天) 30－24+1=7(天) 34－7=27(天)
5月27日可以完稿。
4.【23广太和华附入学1】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……两人如此交替工作，问：完成任务时，共用了多少小时?(6分)
【解析】1÷(+)=7(小时)，
甲、乙两人各单独做7小时后，还剩1－7×(+)=，
余下的由甲独做需要÷=(小时)，
共用了7×2+=14(小时)。
故完成任务时，共用了14小时。
5.【24白云实验入学1】一项工程，甲独做要8小时完成，乙独做要10小时完成，丙独做要12小时完成，如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由丙接替乙工作1小时，再由甲接替丙工作1小时……三人如此交替工作，那么完成这项工程时共用了多少小时?(7分)
【解析】由题意得：1÷(++)=1÷=3 ÷=×8=0.6(小时)，
完成这项工程共用3×3+0.6=9.6(小时)
完成这项工程时共用9.6小时。
6.【2018·广附大奥】（12分）现有A、B、C三位老师共同批改一个年级的试卷，已知A老师单独批改需10小时，B老师单独批改需8小时，C老师单独批改需6小时。
（1）如果三位老师同时批改需要多少时间？
（2）如果按照A、B、C、A、B、C……的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？
（3）如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？
【解析】(1)(小时)；
(2)按照A，B，C，A，B， C…的顺序，两轮后剩余工作量为：
剩余工作量由A独做1小时后剩下：；
最后剩下的工作量由B独做需要的时间：；
因此，总共需要的时间：（小时）。
(3)按C，B，A的顺序，2轮之后剩余工作量：
剩余工作量由C独做1小时后剩下：；
最后剩余的工作量由B独做需要的时间：（小时）；
所以总共用的时间为：（小时）
（小时）（小时）
故可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成。
7.【2016·天省2】单独完成某项工作，甲需要9小时，乙需要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次工作1小时。那么，完成这项工作需要多少小时？
解：，
（小时），（小时）
8.姜太公”三天打鱼两天晒网” （打三天鱼休息两天）， 周文王” 四天打鱼一天晒网”， 姜太公打满一缸鱼要38天， 周文王打满同样的一缸鱼要37天， 两人从2014年9月2号开始打鱼， 在几月几号可以合打满一缸鱼？
【解析】两人都是5天一周期，姜太公打满一缸鱼相当于实际工作的天数是24 天，周文王实际工作天数是30天，所以一周期效率和是，所以共三个周期15天，而剩下的工作量是， 恰好需做天，所以总共要打18 天，所以是9月19号。