2026年小升初数学考点专项训练--考点27：工程问题基本效率问题解析

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(1)基本工程问题：关键在于效率的计算；
(2)中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；
(3)来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间， 再根据总时间算每个人具体的工作安排
【例1】生产一批帽子， 甲、乙二人合作需15天完成． 现由甲先单独工作5天， 再
由乙单独工作3天后还剩这批帽子的没完成． 若甲每天比乙少加工4个帽子， 则这批帽子共有多少个？
【例2】—项工程，甲单独做24小时完成， 乙单独做36小时完成，现在要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能少，那么甲乙合作多少小时？
【例3】甲乙丙共同修建一套房子，2天完成了全部工作的三分之一，然后甲休息了6天，乙休息了2天，丙没有休息。已知甲的工作效率是乙的2倍，乙的工作效率是丙的2倍，那么装修这套房子从开始到完成共用了多少天？
【例4】A仓库货物是B仓库的2倍， 甲搬运A仓库需要32小时， 乙、丙搬运B仓库分别需要24小时和12小时甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物， 丙开始帮助甲搬运， 中途又转向帮助乙搬运， 最后两仓库货物同时搬完． 丙帮助甲搬了多少小时？
1.【23天实入学2】甲、乙、丙三队完成A，B两项工程，B工程比A工程的工作量多。如果甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天，现让甲队做A工程，乙队做B工程，为同时完成这两项工程，丙队先帮乙做B工程若干天，再帮甲做A工程，则丙队与乙队合作多少天？
2.【24广大附入学5】移栽西红柿苗若干株，如果哥、弟二人合栽，8小时可以完成。先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总株数的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7株，共要移栽多少株？
3.【23广大附黄埔入学1】一件工作，若由甲单独做72天完成，现在甲做1天后，乙加入一起工作，合作2天后，丙也一起工作，三人再一起工作4天，完成全部工作的，又过了8天，完成了全部工作的，若余下的工作由丙单独完成，还需要多少天？
4.【24金广实验入学1】一项工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？
5.【22天实入学1】希望工厂里2个男工和4个女工在一天内可加工全部零件的，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零件。如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人?(6分)
6.【23广大附入学4】甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植1棵树的时间乙可以植2棵树，丙可以植3棵树。他们一起工作了5天，完成全部任务的，然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。从开始植树算起，共用了多少天才完成任务?
7.【22广大附入学】甲、乙、丙三人负责一项工程，甲、乙合作6天完成，乙丙合作2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合作5天完成，共领工程款18000元，按工作量分配，甲应得多少元?
8.【24广太和华附入学1】加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了1天，乙休息了若干天，这样一共用了15天完工，那么乙休息了多少天?
9.【24广太和华附入学4】加工一批零件，甲、乙合作24小时可以完成。先由甲独做16小时，然后乙再独做12小时，共完成这批零件的。又知甲每小时比乙每小时多加工3个零件，这批零件有多少个?(6分)
10.【24白云实验入学2】加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做每天完成这批零件的。现在两人合作完成这批零件的加工任务，甲中途休息了3天，乙中途也休息了若干天，这样用15天才全部完成。从开始到结束乙工作了多少天?(8分)
11.【22白云实验入学2】(合作工程)一件工作，若由甲单独做72天完成，现在甲做1天后，乙加入一起工作，合作2天后，丙也一起工作。三人再一起工作4天，完成全部工作的，又过了8天，完成了全部工作的，若余下的工作由丙单独完成，还需要几天?
考点27:工程问题基本效率计算
最常见的工程问题， 基本思路是根据工作过程计算效率， 通过对效率的分析计算时间。
(1)基本工程问题：关键在于效率的计算；
(2)中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；
(3)来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间， 再根据总时间算每个人具体的工作安排
【例1】生产一批帽子， 甲、乙二人合作需15天完成． 现由甲先单独工作5天， 再
由乙单独工作3天后还剩这批帽子的没完成． 若甲每天比乙少加工4个帽子， 则这批帽子共有多少个？
【解析】由巳知条件可知甲乙工作效率和为，而甲工作5天加上乙工作3天相当于甲乙合作三天后甲又独自工作了2天，所以甲的工作效率为， 进而可知乙的工作效率为 ， 所以这批帽子共有个。
【例2】—项工程，甲单独做24小时完成， 乙单独做36小时完成，现在要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能少，那么甲乙合作多少小时？
【解析】两人合作的时间尽可能少，则甲工作20小时，可得：
甲乙合作时间为：(1-)÷=÷=6(小时)
【例3】甲乙丙共同修建一套房子，2天完成了全部工作的三分之一，然后甲休息了6天，乙休息了2天，丙没有休息。已知甲的工作效率是乙的2倍，乙的工作效率是丙的2倍，那么装修这套房子从开始到完成共用了多少天？
【解析】将丙的工作效率看作1份，那么乙的工作效率是2份，甲的工作效率是4份，
甲、乙、丙三人一天的工作效率为：1+2+4=7(份)，则总作工量为：7×2÷13=42(份)；
甲乙丙如果全程合作的话需要：42÷7=6(天)完成。
甲休息了6天，乙休息了2天，在这8天中，甲乙少干了：4×6+2×2=28(份)，
这28份甲、乙、丙三人合作得干28÷7=4(天).
所装修这套房子以从开始到完成需要6+4=10(天)完成。
【例4】A仓库货物是B仓库的2倍， 甲搬运A仓库需要32小时， 乙、丙搬运B仓库分别需要24小时和12小时。甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物， 丙开始帮助甲搬运， 中途又转向帮助乙搬运， 最后两仓库货物同时搬完． 丙帮助甲搬了多少小时？
【解析】在整个过程中甲、乙、丙均没有停止，一直在工作，所以可以从整体上考虑这类型的题目； 小时，对于A仓库：甲搬了小时，丙帮甲搬了小时。
1.【23天实入学2】甲、乙、丙三队完成A，B两项工程，B工程比A工程的工作量多。如果甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天，现让甲队做A工程，乙队做B工程，为同时完成这两项工程，丙队先帮乙做B工程若干天，再帮甲做A工程，则丙队与乙队合作_______天。
【解析】=18(天) =15(天)
2.【24广大附入学5】移栽西红柿苗若干株，如果哥、弟二人合栽，8小时可以完成。先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总株数的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7株，共要移栽_____株。
【解析】合作效率和：1÷8=，把先由哥哥栽3小时后，弟弟栽1小时转化成哥哥和弟弟合栽了1小时，再由哥哥单独栽2小时，
则哥哥的效率：(1－－×1)÷2=，弟弟的效率为－=，
那么共要栽：7÷(－)=112(株)。
3.【23广大附黄埔入学1】一件工作，若由甲单独做72天完成，现在甲做1天后，乙加入一起工作，合作2天后，丙也一起工作，三人再一起工作4天，完成全部工作的，又过了8天，完成了全部工作的，若余下的工作由丙单独完成，还需要__天。
【解析】1÷72=〈甲〉
(－)÷8=〈甲+乙+丙〉
－×4=(甲×1+(甲+乙)×2)
[－×(1+2)]÷2=〈乙〉
－－=〈丙〉
(1－)÷=6(天)〈剩余工作丙独做天数〉
4.【24金广实验入学1】一项工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作 天可以完成。
【解析】甲效+乙效=1÷8=① 乙效+丙效=1÷6=② 丙效+丁效=1÷12=③
②－①，得丙效－甲效=－=④ ③－④，得丁效+甲效=－=
甲、丁合作的天数：1÷=24(天)
5.【22天实入学1】希望工厂里2个男工和4个女工在一天内可加工全部零件的，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零件。如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人?(6分)
【解析】8÷2=4 ×4=（8个男工和16个女工一天完成全部零件的）
(－1)÷(4×4－10)=（每个女工一天完成全部零件的）
(－×4)÷2=（每个男工一天完成全部零件）
1÷－1÷=30－12=18((人)（一天完成任务，女工比男工多18人）
一天内完成，女工要比男工多18人。
6.【23广大附入学4】甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植1棵树的时间乙可以植2棵树，丙可以植3棵树。他们一起工作了5天，完成全部任务的，然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。从开始植树算起，共用了多少天才完成任务?
【解析】甲工效：乙工效：丙工效=1:2:3，则三人工效和为÷5=
甲工效：×=；乙工效：×=；丙工效：×=
(1+×3+×8)÷=20(天) 共用了20天才完成任务。
7.【22广大附入学】甲、乙、丙三人负责一项工程，甲、乙合作6天完成，乙丙合作2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合作5天完成，共领工程款18000元，按工作量分配，甲应得多少元?
【解析】(1－)×= ÷2=(乙、丙工效和)
(1－－)÷5=(甲、乙、丙工效和)
－=(甲工效) (6+5)×=(甲完成工作量)
18000×=3300(元)(甲应得工程款)
故甲应得3300元。
8.【24广太和华附入学1】加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了1天，乙休息了若干天，这样一共用了15天完工，那么乙休息了多少天?
【解析】甲工作了：15－1=14(天)
甲工作量：20×14=17乙工作量：1－17=3
乙工作：3÷30=9(天)乙休息：15－9=6(天)乙休息了6天。
9.【24广太和华附入学4】加工一批零件，甲、乙合作24小时可以完成。先由甲独做16小时，然后乙再独做12小时，共完成这批零件的。又知甲每小时比乙每小时多加工3个零件，这批零件有多少个?(6分)
【解析】甲工效：(－×12)－(16－12)= －=
3÷(－)=360(个)
10.【24白云实验入学2】加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做每天完成这批零件的。现在两人合作完成这批零件的加工任务，甲中途休息了3天，乙中途也休息了若干天，这样用15天才全部完成。从开始到结束乙工作了多少天?(8分)
【解析】甲完成的工作量：×(15－3)=
乙完成的工作量：1－=
乙实际工作的天数：÷=10(天)
从开始到结束乙工作了10天。
11.【22白云实验入学2】(合作工程)一件工作，若由甲单独做72天完成，现在甲做1天后，乙加入一起工作，合作2天后，丙也一起工作。三人再一起工作4天，完成全部工作的，又过了8天，完成了全部工作的，若余下的工作由丙单独完成，还需要几天?
【解析】甲、乙、丙3人工作效率和：(－)÷8=
乙的工作效率：(－×4－×3)÷2=
丙的工作效率：－－=
余下的工作由丙单独完成，
还需要：(1－)÷=6(天)
所以余下的工作由丙单独完成，还需要6天