吉林省通化市重点高中2025-2026学年高二下学期3月月考试卷 数学（含解析）

这是一份吉林省通化市重点高中2025-2026学年高二下学期3月月考试卷 数学（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ）
A．450B．480C．504D．618
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列求导数计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个.
A．14B．16C．18D．20
6．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，）
A．5.3B．4.1C．7.8D．6
7．已知定义在上的可导函数，满足，且.若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足，则的值是（ ）
A．25B．50C．75D．100
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
11．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知数列是递增数列，则实数t的取值范围是_________．
13．已知数列的前n项和，则____________；数列的通项公式为____________．
14．已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
16．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
17．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的单调区间．
18．已知函数，，其中为的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
19．已知椭圆上有一点为的左、右焦点，连，若焦距为2，其三角形面积的最大值为，试回答下列问题
(1)求的标准方程以及离心率
(2)作直线的交点，已知有动直线交椭圆于C、D两点（在点的右边），设点，点的纵坐标分别为，且.设为左顶点，连RC，RD交于G、T两点（在的右边），若，则试证明过定点．
参考答案
1．C
【详解】若复数满足，
则，
故复数的虚部为.
2．C
【详解】由题意，若甲是最后一名，有种不同的方法；
若甲不是第一名也不是最后一名，则，
所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法.
故选：C.
3．A
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
4．B
【详解】解：A．，正确，不符合题意；
B．，错误，符合题意；
C．，正确，不符合题意；
D．，正确，不符合题意．
故选：B．
5．D
【详解】根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类：
（1）由0，1，2三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（2）由0，2，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（3）由1，2，3三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（4）由2，3，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数，所以由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个数.
6．A
【详解】设每年应该存入万元，
则2021年初存入的钱到2027年底本利和为，
2022年初存入的钱到2027年底本利和为，
……，
2027年存入的钱到2027年底本利和为
则，
即，解得：.
故选：A
7．C
【详解】因为，所以，
所以函数在上是减函数，
又因为，所以，
所以函数为奇函数，
因为，所以，
由，得，即，
所以，解得，
所以满足的的取值范围是.
故选：C.
8．B
【详解】由，
故，
，
则，
故，
故.
故选：B.
9．ACD
【详解】A. 因为，所以，故正确；
B.因为，所以，故错误；
C. 因为，所以，故正确；
D. 因为，所以，故正确.
故选：ACD
10．BD
【详解】的定义域为，，
函数存在单调递减区间，
在上有解，即在上有解，
令，
故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误.
故选：BD.
11．ACD
【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确；
表示的图象在点处的切线斜率，故错误；
由图可知，故，故C正确；
直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，即，D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】依题意，，即，整理得，
因，则，．
故答案为：.
13． 2
【详解】由题意易得，
当时，，而，所以．
故答案为：2；．
14．/
【详解】，①
当时，，②
①-②得；
当时，，此时仍然成立，．
当时，；
当时，，
当时，上式也成立，故．
由于，
设
，
则，
．
故答案为：
15．（1）证明见解析；（2）．
【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
17．(1)
(2)在，上为减函数．
【详解】（1）当时，，
，，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）当时，的定义域是，
所以．
令，所以．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数，在处取得最大值．
又，所以恒成立．
故在，上为减函数．
18．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
则，可得，
①当时，恒成立，可知在上单调递减；
②当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由可得，
整理得，即，
可得，
因为在定义域内单调递增，可得，
即，可得，
令，则.
因为，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
可得，所以a的取值范围为.
19．(1)，离心率为
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，得.
当A为椭圆E的上下顶点时，的面积取到最大值，
即，解得，所以，
所以椭圆E的标准方程为，离心率为.
（2）由题意知，设，得，
则直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，，
直线方程为，直线方程为，
令，得，
所以，
则，
解得，此时的方程为，不符合题意.
当直线的斜率不为0时，设，
，消去x，得，
则，
得，
.
直线方程为，直线方程为，
令，得，
所以，
则
，
解得，所以，即，
所以直线恒过定点.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
D
A
C
B
ACD
BD
题号
11









答案
ACD