吉林通化市某校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（奥赛班）含答案

这是一份吉林通化市某校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（奥赛班）含答案，共6页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 下列各式正确的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题(共 8 道题，每题 5 分，共 40 分)
1. 已知函数 fx=2f′1x−x3 ，则曲线 y=fx 在 x=2 处的切线斜率为( )
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
2. 化简 Cnn−1+2Cnn−2+4Cnn−3+⋯+2n−1Cn0 ,其结果等于( )
A. 3n−12 B. 3n−22 C. 2n−13 D. 2n−23
3. 将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色, 并使每一条棱的两端点异色, 若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为( )
A. 80 B. 100 C. 110 D. 120
4. x2−x−2y5 的展开式中, x5y2 的系数为 ( )
A. 80 B. 40 C. -60 D. -120
5. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山(今四川省眉山市)人，北宋文学家、书法家、画家, 历史治水名人.现有苏轼的 6 本不同诗集全部奖励给 3 名同学, 每人至少分得一本, 则共有( )种分配方案
A. 90 B. 120 C. 360 D. 540
6. 已知函数 fx 的定义域为 R ,且 fx>f′x,f0=1 ,则不等式 fx>ex 的解集为 ( )
A. 1,+∞ B. 0,+∞ C. −∞,1 D. −∞,0
7. 若函数 fx=eax−sinx 在 0,π2 内不单调,则实数 a 的取值范围为( )
A. −1,0 B. 0,1 C. −1,12 D. 12,1
8. 已知函数 fx=ax2+2ax−1,gx=x22x ，若 ∀x1∈1,2,∃x2∈1,2 ，使得 fx1≤gx2 成立,则实数 a 的取值范围是( )
A. 14,+∞ B. −∞,14 C. 316,+∞ D. −∞,316
二、多选题(共 3 道题，每题 6 分，多选、错选不得分，少选得部分分，共 18 分)
9. 下列各式正确的是( )
A. 已知 C15x+2=C152x−5 ，则 x 的取值为 6 或 7
B. C32+C42+C52+⋯+C20252=C20263−1
C. 2−x1−x4 的展开式中 x3 的系数为 -14
D. 将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有 70 种不同放法
10. 下列说法正确的是( )
A. 502019+1 被 7 除后的余数为 5
B. 两位男生和两位女生随机排成一列,则两位女生不相邻的概率是 12
C. 已知 An2=Cn3 ,则 n=8
D. 从一批含有 10 件正品、 4 件次品的产品中任取 3 件，则取得 2 件次品的概率为 4591
11. 已知两曲线 y=lnx 与 y=mx2+12m>0 存在两条公切线,则实数 m 的取值可能是( )
A. 12e2 B. 1e2 C. 1e D. 1
第II卷(非选择题)
三、填空题(共 3 道题，每题 5 分，共 15 分)
12. 如果一个四位数 A 的各位数字之和为 9,则称 A 是一个“好数”,则“好数”的个数为_____.
13. 已知函数 fx=12x2+alnx−ax 有两个极值点,则 a 的取值范围是_____.
14. 若关于 x 的不等式 1e2x+2x2≤2mx−xlnx 有解，则 m 的取值范围是_____.
四、解答题 (共 5 道题, 共 77 分)
15. 已知二项式 3x−23x6 .
(1)求展开式的第 4 项；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中的常数项.
16. 设 fx=alnx−x+4,a∈R ,曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值；
(2)求函数 fx 的极值.
17. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数(结果用数字作答).
(1)求可组成多少个四位数；
(2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数；
(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第 85 个数.
18. 已知函数 fx=−x2+ax+a2lnx,a∈R
(1)当 a=2 时，求函数 fx 在 1,e 上的值域；
(2)讨论 fx 的单调性.
19. 已知函数 fx=ax−3e2x−2a∈R ,且 f1 为函数 fx 的极值.
(1)求实数 a 的值；
(2)当 x≥1 时， fx+mex−1+12m2≥0 恒成立，求实数 m 的取值范围；
(3)证明:当 n≥2 时， i=2n1fif′x 构造函数 y=fxex ,由其单调性求解不等式.
因为 fx>f′x ,即 f′x−fx1 ,且 f0e0=1 ,
所以原不等式即 fxex>f0e0 ,解得 xex 的解集为 −∞,0 ,
故选: D.
7. B
根据二次求导法, 结合函数单调性的性质进行求解即可.
设 gx=f′x=aeax−csx,g′x=a2eax+sinx
当 00 ,解得 a>4 ,
即实数 a 的取值范围是 4,+∞ .
故答案为: 4,+∞ .
14. m≥12
将给定不等式分离参数得 2m≥1e2x+lnx+2x+lnx ,令 t=2x+lnx 并探讨单调性确定值域,再构造函数 ft=1et+t,t∈R ,利用导数求出最小值即可.
不等式 1e2x+2x2≤2mx−xlnx⇔2m≥1xe2x+2x+lnx⇔2m≥1e2x+lnx+2x+lnx ,
令 t=2x+lnx ,而函数 y=2x,y=lnx 在 0,+∞ 上都为增函数,
则 t=2x+lnx 在 0,+∞ 上单调递增,其值域为 R ,
令函数 ft=1et+t,t∈R ,求导得 f′t=−1et+1 ,当 t0 ,
函数 ft 在 −∞,0 上单调递减,在 0,+∞ 上单调递增, ftmin=f0=1 ,
依题意,不等式 2m≥ft 有解,因此 2m≥1 ,解得 m≥12 ,
所以 m 的取值范围是 m≥12 .
故答案为: m≥12
15. 1T4=−160x32
(2) T1=729x3,T3=540,T5=803x3,T7=64729x6
(3) T3=540
(1) 令 k=3 ,即可求得展开式的第 4 项;
(2)令 x 的指数为整数，即可求得展开式中的有理项；
(3)令 x 的指数为 0，即可求得展开式中的常数项.
(1) 3x−23x6 的二项展开式通项是:
Tk+1=C6k3x6−k−23xk=36−k−23kC6kx3−12kx−k=36−k−23kC6kx3−32kk=0,1,2,⋯,6 , 当 k=3 时，展开式的第 4 项为 T4=33−233C63x3−32×3=−160x−32 .
(2)由(1)知 3x−23x6 的二项展开式通项是 36−k−23kC6kx3−32kk=0,1,2,⋯,6 ， 有理项是使变量的指数为整数的项,故只需 3−3k2∈Z ,且 k=0,1,2,⋯,6 ,
解得 k=0,2,4,6 ,因此有理项分别为:
T1=36−230C60x3−32×0=729x3,
T3=34−232C62x0=540,
T5=32−234C64x−3=803x3,
T7=30−236C66x−6=64729x6.
(3)由(1)知 3x−23x6 的二项展开式通项是 36−k−23kC6kx3−32kk=0,1,2,⋯,6 , 常数项即为变量的指数为 0 的项,令 3−3k2=0 ,解得 k=2 ,
因此常数项为 T3=34−232C62x0=540 .
16. (1) 1
(2)极大值 f1=3 ，无极小值.
(1) 由 f′1=0 ,即可求解;
(2)由 f′x>0,f′x0,f′x=1x−1=1−xx ，
当 01 时, f′x0,fx 单调递增;
x∈2,e,f′x0 ,其中 2