云南省玉溪市重点高中2025-2026学年高二下学期3月第一次月考试卷 数学（含解析）

这是一份云南省玉溪市重点高中2025-2026学年高二下学期3月第一次月考试卷 数学（含解析），共25页。试卷主要包含了设全集，集合，则等内容，欢迎下载使用。
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则
A．B．C．D．
2．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则
A．B．
C．D．
3. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则
A．B．C．或D．或
4．已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，下列结论中，成立的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为
A．B．C．D．
6．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为
A．B．C．D．
7．已知双曲线 QUOTE =1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为 QUOTE ,则此双曲线的离心率e=
A.2 B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是
问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和；
问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为；
问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为．
A. B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共,18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示，按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是
变量线性负相关且相关性较强
相应于点的残差约为0.4
当时，y的估计值为14.4
10．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11．已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在 的展开式中， 的一次项的系数为______.
13．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______.
14．已知数列满足，则____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明.
15.（本小题13分）在 QUOTE 中，内角 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 的对边分别是 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ，若 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ．
QUOTE 求 QUOTE ；
QUOTE 求 QUOTE 的面积 QUOTE .
16.（本小题15分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 QUOTE 人进行了问卷调查得到了如下列联表：
已知在全班 QUOTE 人中随机抽取 QUOTE 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 QUOTE ．
QUOTE 请将上面的列联表补充完整 QUOTE 不用写计算过程 QUOTE ；
QUOTE 根据小概率值 QUOTE 的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
QUOTE 现从女生中抽取 QUOTE 人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为 QUOTE ，求 QUOTE 的分布列与均值．
附： QUOTE ，其中 QUOTE ．
（本小题15分）如图，在四棱锥 QUOTE 中，底面 QUOTE 是正方形，侧棱 QUOTE 底面 QUOTE ， QUOTE ，
QUOTE 是 QUOTE 的中点，作 QUOTE 交 QUOTE 于点 QUOTE ．
QUOTE 求证： QUOTE 平面 QUOTE ；
QUOTE 求平面 QUOTE 与平面 QUOTE 的 夹角的大小．
18.（本小题17分）已知椭圆 QUOTE ： QUOTE 的离心率为 QUOTE ，点 QUOTE 在椭圆 QUOTE 上，不过点 QUOTE 的直线 QUOTE 与椭圆 QUOTE 相交于 QUOTE ， QUOTE 两点．
QUOTE 求椭圆 QUOTE 的标准方程；
QUOTE 若弦 QUOTE 的中点的纵坐标为 QUOTE ，求 QUOTE 面积的最大值；
QUOTE 若 QUOTE ，求证：直线 QUOTE 过定点．
19.（本小题17分）已知函数 QUOTE ，其中 QUOTE ．
QUOTE 当 QUOTE 时，求函数 QUOTE 的单调区间；
QUOTE 若 QUOTE 恒成立，求 QUOTE 的最小值；
QUOTE 证明： QUOTE ，其中 QUOTE .
单选题：
D 【详解】由题意，，所以,所以.
故选：D.
2.A 【详解】由图可知，，

，所以，解得，则.故选：A.
3.B 【详解】设等比数列的公比为，则，
上述两个等式相除得，整理可得，因为，解得，
故.故选：B.
4.D 【详解】A选项，若，则或，A错误；B选项，若，不能推出，B错误；C选项，若，则不能推出，C错误；D选项，因为，所以，又，由面面垂直的判定定理，可得，D正确.故选：D
5.C 【详解】设男生人数为，且，，，,则.故选：C
6.A 【详解】设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为，
把点代入切线方程得，，即，又，所以，则，
则切点坐标为.故选：A.
7.C 【详解】∵双曲线 QUOTE - QUOTE =1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为 QUOTE ,tan QUOTE = QUOTE ,∴该渐近线的方程为y= QUOTE x,∴ QUOTE = QUOTE ,解得a= QUOTE 或a=- QUOTE (舍去),∴c= QUOTE =2 QUOTE ,∴双曲线的离心率e= QUOTE = QUOTE = QUOTE .故选：C
8.B 【详解】问题甲中，，即可，问题乙中，设每次购买花的钱为，则，问题丙中，设左右量词的臂长分别为，则，故，由于，故，
又，所以，因此，故选：B
9.BCD 【详解】对于A，由表格知：，
所以，可得，A错误；对于B，由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，B正确；对于C，由，故残差为，C正确；对于D，由，D正确；故选：BCD.
10.ACD 【详解】由函数的图象可得，由，求得.
再根据五点法作图可得，即，
又，求得，∴函数，
，是最值，故A成立；
，不等于零，故B不成立；
将函数的图象向左平移个单位得到函数
的图象，故C成立；
当时，，
，，
函数在上的图象如图所示，
由图可知，时，函数与直线有两个交点，
故方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D成立.故选：ACD.
11.BC 【详解】对于A选项，因为为偶函数，所以．由，可得，可得，所以，函数的图象关于直线对称，A错；对于B选项，因为，则，
又因为，可得，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，因为函数为偶函数，且，
则，从而，则，所以，函数是以为周期的周期函数，C对；对于D选项，因为，且，，又因为，所以，，
又因为，则，所以，，
故，因此，函数是周期为的周期函数，D错.故选：BC.
4 【详解】因为的展开通项公式为，所以的一次项的系数为.故答案为：.
13. 【详解】由圆，得，故圆心，半径，又已知直线，点在直线上，设点，
则，
由圆的切线性质可得，，
当且仅当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
14. 【详解】由，得，即，
因此数列是首项为，公差为1的等差数列，，
所以.故答案为：
15.【答案】解： QUOTE ， QUOTE ，即 QUOTE 是锐角，
QUOTE ， QUOTE ，
由正弦定理 QUOTE ，得 QUOTE ， 又 QUOTE 为锐角，则 QUOTE
QUOTE 由余弦定理 QUOTE ，即 QUOTE ，
即 QUOTE ，得 QUOTE ，解得 QUOTE 或 QUOTE 舍 QUOTE ，
QUOTE 的面积 QUOTE ．
16.【答案】解： QUOTE 全班 QUOTE 人中随机抽取 QUOTE 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 QUOTE
QUOTE 喜爱打篮球的学生人数为 QUOTE ，
则列联表填写如下：
QUOTE 零假设为 QUOTE ：喜爱打篮球与性别无关，
由 QUOTE 得 QUOTE ，
根据小概率值 QUOTE 的独立性检验，我们推断 QUOTE 不成立，
即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 QUOTE ；
QUOTE 在女生中抽取 QUOTE 人调查，其中喜爱打篮球的女生人数可能是 QUOTE 人、 QUOTE 人、 QUOTE 人，
QUOTE 的所有可能取值为 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ，
则 QUOTE 的分布列为：
故 QUOTE ．
17.【答案】 QUOTE 证法一： QUOTE 底面 QUOTE ， QUOTE 底面 QUOTE ， QUOTE .
QUOTE ， QUOTE 是 QUOTE 的中点， QUOTE . QUOTE 底面 QUOTE ， QUOTE 底面 QUOTE ， QUOTE .
QUOTE 底面 QUOTE 是正方形， QUOTE BC QUOTE ， QUOTE , QUOTE 平面 QUOTE ,又 QUOTE 平面 QUOTE , QUOTE ,
QUOTE , QUOTE 平面 QUOTE , QUOTE 平面 QUOTE , QUOTE ,
QUOTE ，且 QUOTE , QUOTE 平面 QUOTE .
（1）证法二：侧棱 QUOTE 底面 QUOTE ，而 QUOTE ， QUOTE 底面 QUOTE ，故 QUOTE ， QUOTE ，
底面 QUOTE 是正方形，故AD QUOTE ，故以 QUOTE 为原点， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 所在直线分别为 QUOTE 轴， QUOTE 轴， QUOTE 轴，建立空间直角坐标系，
设 QUOTE ，依题意得 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ．
所以 QUOTE ， QUOTE ，
因为 QUOTE ，所以 QUOTE ．
由已知 QUOTE ，且 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 平面 QUOTE ，所以 QUOTE 平面 QUOTE ．
QUOTE 解：依题意得 QUOTE ，且 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ．
设平面 QUOTE 的一个法向量为 QUOTE ，
则 QUOTE 即 QUOTE ，取 QUOTE ．
同理可得 QUOTE 的 一个法向量为 QUOTE ，所以 QUOTE ．
所以平面 QUOTE 与平面 QUOTE 的夹角为 QUOTE ．
18.【答案】解： QUOTE 由 QUOTE ，解得 QUOTE ， QUOTE 椭圆E的标准方程为： QUOTE ；
QUOTE 因为弦 QUOTE 的中点的纵坐标为 QUOTE ，所以直线 QUOTE 斜率存在，
设直线 QUOTE ： QUOTE ，代入 QUOTE ，，可得 QUOTE ，
设 QUOTE ， QUOTE ，则 QUOTE ， QUOTE ，因为弦 QUOTE 的中点的纵坐标为 QUOTE ，
所以 QUOTE ，即 QUOTE ，
QUOTE ，原点O到直线MN的距离 QUOTE ，
QUOTE ，
由 QUOTE ， QUOTE ，可得 QUOTE ，
QUOTE 当 QUOTE 即 QUOTE 时， QUOTE 取得最大值 QUOTE ；
QUOTE ， QUOTE ，
即 QUOTE ，
QUOTE ， QUOTE ，
代入 QUOTE 式，得 QUOTE ，
即 QUOTE ，化简得 QUOTE ，
即 QUOTE ， QUOTE 或 QUOTE ，
当 QUOTE 时，则直线 QUOTE ： QUOTE ，此时直线过点 QUOTE ，不合题意舍去，
当 QUOTE ，则直线 QUOTE ： QUOTE ，此时直线过定点 QUOTE ，
当直线斜率不存在时，直线 QUOTE 交椭圆于 QUOTE ， QUOTE ，
此时 QUOTE ，显然成立， QUOTE 直线 QUOTE 过定点 QUOTE
19.【答案】解： QUOTE 当 QUOTE 时, QUOTE ， QUOTE 的定义域为 QUOTE ，则 QUOTE ，
当 QUOTE 时， QUOTE ，当 QUOTE 时， QUOTE ，
所以 QUOTE 的单调递增区间为 QUOTE ，单调递减区间为 QUOTE ；
QUOTE 由 QUOTE 恒成立，即 QUOTE 恒成立，令 QUOTE ，则 QUOTE ，
当 QUOTE 时， QUOTE ，当 QUOTE 时， QUOTE ，
QUOTE 在 QUOTE 上单调递增， QUOTE 上单调递减，
QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 的最小值为 QUOTE ．
QUOTE 由 QUOTE 知：当 QUOTE 时， QUOTE ，即 QUOTE 恒成立，
即 QUOTE ， QUOTE 时取“ QUOTE ”， 令 QUOTE ，得 QUOTE ，
QUOTE QUOTE ，
当 QUOTE 时， QUOTE ．
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
女生
合计
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
选项
D
A
B
D
C
A
C
B
BCD
ACD
BC
4
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
女生
合计