河南省部分重点高中2025-2026学年高二下学期3月阶段教学质量监测（一）试卷 数学（含解析）

这是一份河南省部分重点高中2025-2026学年高二下学期3月阶段教学质量监测（一）试卷 数学（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则
A．18B．16C．12D．8
已知函数与其导函数的图象如图所示，则
A．曲线为函数的图象B．
C．在单调递增D．在单调递减
若，则
A．B．C．D．
已知三次函数，若不等式的解集为，则m的值为
A．0B．1C．2D．4
已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为
A．B．C．D．e
已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是
A．B．C．D．
过作函数的切线恰好能作两条，则实数a的取值范围为
A．B．
C．D．
已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列四个函数中，没有“巧值点”的是
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知函数，下列结论中正确的是
A．
B．函数的值域为R
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是
A．eB．C．D．
设函数与直线交于两点，，则
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是 个．
已知函数，对任意，都有，则m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（13分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且存在，使得成立，求a的取值范围．
（15分）已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求证：当且时，．
（15分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，，，使得，求a的最大值．
（17分）设函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
（17分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，函数有两个零点，，求证：．
河南省天立教育2027届高二年级阶段教学质量监测（一）
数学参考答案
12．/
【详解】由求导得，则，
故切线方程为，令，得，令，得，
即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：.
13．3
【详解】，则由题、是方程的两根，
所以可得或．
函数定义域为R，因为，
所以时，时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
作出函数草图如图所示：
由图象可知有2个解，有1个解，
因此的不同实根个数为3.
故答案为：3．
14．
【详解】，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
当时，当时，该函数单调递增，
所以，
所以对任意，都有，一定有成立，
解得，这与相矛盾，不符合题意；
当时，当时，，
所以对任意，都有，一定有成立，而，
所以；
当时，设表示两数中最大的数，
因为当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
所以当时，，
对任意，都有，一定有且，
解得，
综上所述：，
所以的取值范围为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，有，由，有，
故曲线在点处的切线方程为．
（2），其中，，
时，，时，,
故在上单调递减，在上单调递增.
若，则时，，不符合题意；
若，则时，，
由题意，有，即，
因为，有，即，得，
故的取值范围是．
16．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）函数的定义域为， ,令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
极小值为，无极大值.
（2）令，则 ，
由（1）可知，即的最小值为，
已知，代入得： ，
因此对任意恒成立，故在上单调递增，
当时，，即： 得证.
17．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
【详解】（1）由题得，
若，则在上恒成立，所以在上单调递减，
若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）得，若存在，，使得，
则必有，由.
所以等价于，
即，化简得：
设，，则，
所以在上单调递减，所以，
此时，.
所以当，时等号成立，所以的最大值为.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）时，，对函数求导得.
所以.
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）由得.
因为在上单调递增，所以.
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
若，令得或，且.
当时，，单调递减，
所以，与在上恒成立矛盾，
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：当时，，
所以在上单调递增，又，
所以时，时，.
若，则，不合题意；
若，则，不合题意，所以.
设，则.
所以在上单调递增，因为，所以.
因为，所以.
又，所以，即.
又在上单调递增，所以，即.
所以，即.
19．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）函数，其定义域为，∴.
当时，恒成立，∴在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意，∴即.
∵，∴不等式可化为，即.
设，则当时，；当时，；当时，.
，当时，，在上单调递增.
当时，，，故，
当时，，，，在上恒成立，
即在上恒成立.
设，，则，
在上单调递增，，
∴，
综上实数a的取值范围是.
（3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.
函数有两个零点，，不妨设，则.
要证，只要证，，，只要证.
又∵，∴只要证.
设，，
则.
当时，，，，
∴，∴单调递减，∴.
，即，
∴.题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
D
A
D
B
D
题号
7
8
9
10
11

答案
D
B
ABC
BD
ACD