2021-2022学年吉林省长春市某校高三（下）2月月考数学试卷

这是一份2021-2022学年吉林省长春市某校高三（下）2月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|x2<3,x∈N，则A的真子集共有（ ）个
A.3B.4C.6D.7

2. 已知i为虚数单位，复数z=i3+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第三象限
C.直线3x−y=0上D.直线3x+y=0上

3. 在二项式x2−1x5的展开式中，含x的项的系数是（ ）
A.−10B.−5C.10D.20

4. 数列an为等差数列，且a2020+a2022=4π024−x2dx，则a2021(a2019+a2021+a2023)=（ ）
A.1B.3C.6D.12

5. 长春54路有轨电车建成于上个世纪30年代，大概是现存最美的电车路线了，见证着这座城市的历史与发展．学生甲和学生乙同时在长影站上了开往西安大路方向的电车，甲将在创业大街站之前任何一站下车，乙将在景阳大路站之前任何一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（ ）

A.310B.518C.12D.35

6. 已知向量a→,b→满足|a→|=2， |b→|=3，且a→与b→的夹角为π6，则a→+b→⋅2a→−b→=（ ）
A.6B.8C.10D.12

7. 哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC，弧BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，则tan∠AOB的值是（ ）

A.−43B.−125C.−247D.−34

8. 从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB=BO=OC=CD，则该双曲线的渐近线的斜率为( )

A.±1B.±2C.±2D.±3

9. 已知线段MN是圆C:x−12+y2=8的一条动弦，且|MN|=23，若点P为直线2x−y+6=0上的任意一点，则|PM→+PN→|的最小值为（ ）
A.855−2B.855C.655−2D.655

10. 把方程x|x|9+y|y|4=−1表示的曲线作为函数y=fx的图象，则下列结论正确的是（ ）
①fx在R上单调递减；②y=fx的图像关于原点对称；③函数gx=3fx+2x不存在零点；④y=fx的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

11. 已知数列an的首项是a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+3n+1n∈N*，设cn=lg2an+3 ，若存在常数k，使不等式k≥cn−1n+16cnn∈N* 恒成立，则k的取值范围为（ ）
A.[19,+∞)B.[116,+∞)C.[125,+∞)D.[136,+∞)

12. 已知三棱锥P−ABC三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=6，M、N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN长度的最小值为（ ）
A.23−3B.43−6C.6−23D.23
二、填空题

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________


若将函数gx图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数fx的图象，已知函数fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，则gx的解析式为________


已知函数fx=x3+2x−2sinx，则不等式f6−5x+fx2≤0的解集为________.

已知点P是曲线x2=4y上任意一点，过点P向x轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线y=lnx上任意一点，则|PH|+|PQ|的最小值为________.
三、解答题

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， AD⊥CD， AB//CD， |AB|=|AD|=2,|CD|=4 ，M为CE的中点．

(1)求证：平面BDE⊥平面BCE；

(2)求二面角M−DB−A的正弦值．

在我国抗疫期间，为了保证高中教学的正常进行，通过“钉钉、腾讯会议”等软件进行了线上教学，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的视频除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，小明同学学习利用=v​”等软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为35,23,34，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该视频视为合格作品．

（1）求小明同学进行3次制作．恰有一次合格作品的概率．

(2)若小明同学制作15次，其中合格作品数为X，求X的数学期望与方差；

(3)随着制作技术的不断提高，小明同学制作的小视频被某广告公司看中，聘其为公司做广告宣传，决定试用一段时间，每天制作小视频（注：每天可提供素材制作个数至多40个），其中前7天制作合格作品数y与时间t如下表：（第t天用数字t表示）
其中合格作品数(y)与时间(t)具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？
（参考公式：b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2 ，a=y−bx，参考数据：i=17tiyi=163.）

△ABC中， AC=4,BC=43， AC⊥BC，点M，N是线段AB上两点（包括端点）， ∠MCN=30∘，
（1）当AM=2时，求△MNC的周长；
（2）设∠ACM=θ，当△MNC的面积为23时，求θ的值．


已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l:x−y+2=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=5，求证：直线AB过定点．

已知函数fx=x2+2m−3x−1+ln1+mx ，gx=x2+2x+ax+1−alnx−4.
(1)当m=2时，求fx在0,+∞的单调区间；

(2)当a≤8时，若对任意m∈0,+∞，总存在x0∈1,2，使得不等式fx0
在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x=23csφy=23+23sinφ （φ为参数），直线l的方程为3x+y−83=0．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；

(2)若点Ax,y在直线l上，且y>0，射线OA与曲线C相交于异于O点的点B．求|OA||OB|的最小值．

已知fx=|x−1|+|x+2|的最小值为M．
(1)解关于x的不等式fx
(2)若正实数a，b满足4a+Mb=2，求a+12b取最小值时a−b的值．
参考答案与试题解析
2021-2022学年吉林省长春市某校高三（下）2月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
子集与真子集
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
3.
【答案】
A
【考点】
二项式定理及相关概念
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
4.
【答案】
D
【考点】
等比数列
定积分
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
5.
【答案】
B
【考点】
概率的应用
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
6.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
7.
【答案】
C
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
解三角形的实际应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的简单几何性质
双曲线的离心率
【解析】
以O为原点，AD所在直线为，轴建系，根据题意求出a，c，即可求出结果．
【解答】
B
9.
【答案】
D
【考点】
直线与圆相交的性质
点到直线的距离公式
向量的模
向量的加法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
10.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
函数的图象与图象变化
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
11.
【答案】
C
【考点】
数列的求和
数列与不等式的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
12.
【答案】
B
【考点】
球的表面积和体积
多面体的内切球问题
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
二、填空题
【答案】
16
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
16
【答案】
gx=sin2x
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
gx=sin2x
【答案】
2,3
【考点】
利用导数研究函数的单调性
其他不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
2,3
【答案】
2−1
【考点】
点到直线的距离公式
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
2−1
三、解答题
【答案】
（1）证明：∵ ADEF为正方形，∴ ED⊥AD.
又∵ 正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED⊂平面ADEF，∴ ED⊥平面ABCD.
∵ BC⊂平面ABCD ，∴ ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中，|AB|=|AD|=2,|CD|=4，
则|BC|=CD|−|AB|2+|AD|2=22+22=22,|BD|=22.
在△BCD中，|BD|2+|BC|2=|CD|2，∴ BC⊥BD.
∵ DE∩BD=D，DE与BD⊂平面BDE，∴ BC⊥平面BDE.
又∵ BC⊂平面BEC ，∴ 平面BDE⊥平面BEC；
（2）解：由（1）知ED⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴ CD⊥ED，
∴ DA，DC，DE三线两两垂直，故以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D−xyz.
则D0,0,0,B2,2,0,C0,4,0,M0,2,1，则
DB→=2,2,0,DM→=0,2,1.
设m→=x,y,z为平面BDM的法向量，
则m→⋅DB→=0m→⋅DM→=0⇒x+y=02y+z=0, 取m→=1,−1,2，
设二面角M−DB−A的大小为θ，取平面ABCD的法向量为n→=0,0,1，
则csθ=|m→⋅n→||m→||n→|=26=63 ，∴ sinθ=33.
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：∵ ADEF为正方形，∴ ED⊥AD.
又∵ 正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED⊂平面ADEF，∴ ED⊥平面ABCD.
∵ BC⊂平面ABCD ，∴ ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中，|AB|=|AD|=2,|CD|=4，
则|BC|=CD|−|AB|2+|AD|2=22+22=22,|BD|=22.
在△BCD中，|BD|2+|BC|2=|CD|2，∴ BC⊥BD.
∵ DE∩BD=D，DE与BD⊂平面BDE，∴ BC⊥平面BDE.
又∵ BC⊂平面BEC ，∴ 平面BDE⊥平面BEC；
（2）解：由（1）知ED⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴ CD⊥ED，
∴ DA，DC，DE三线两两垂直，故以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D−xyz.
则D0,0,0,B2,2,0,C0,4,0,M0,2,1，则
DB→=2,2,0,DM→=0,2,1.
设m→=x,y,z为平面BDM的法向量，
则m→⋅DB→=0m→⋅DM→=0⇒x+y=02y+z=0, 取m→=1,−1,2，
设二面角M−DB−A的大小为θ，取平面ABCD的法向量为n→=0,0,1，
则csθ=|m→⋅n→||m→||n→|=26=63 ，∴ sinθ=33.
【答案】
解：(1)由题意知：制作一次视频成功的概率为P=35×23×34=310，
所以该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率C31×310×7102=4411000．
（2）根据题意可得： X∼B15,310
所以EX=np=15×310=92 ，
DX=np1−p=15×310×710=6320.
(3)根据表格数据可计算出：t=1+2+3+4+5+6+77=4，
y=3+4+3+4+7+6+7+87=5，
所以 b=i=1ntiyi−ntyi=1nti2−nt2=163−7×4×5140−7×16=2328≈0.821 ，
所以a=y−bt=5−0.821×4≈1.72，
所以y关于t的线性回归方程为y=0.82t+1.72 .
令t=15，得y=0.82×15+1.72=14.02≈14，
即估计第15天能制作14个合格作品．
【考点】
古典概型及其概率计算公式
二项分布的应用
离散型随机变量的期望与方差
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知：制作一次视频成功的概率为P=35×23×34=310，
所以该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率C31×310×7102=4411000．
（2）根据题意可得： X∼B15,310
所以EX=np=15×310=92 ，
DX=np1−p=15×310×710=6320.
(3)根据表格数据可计算出：t=1+2+3+4+5+6+77=4，
y=3+4+3+4+7+6+7+87=5，
所以 b=i=1ntiyi−ntyi=1nti2−nt2=163−7×4×5140−7×16=2328≈0.821 ，
所以a=y−bt=5−0.821×4≈1.72，
所以y关于t的线性回归方程为y=0.82t+1.72 .
令t=15，得y=0.82×15+1.72=14.02≈14，
即估计第15天能制作14个合格作品．
【答案】
解：（1）∵ AC=4 ，BC=43， AC⊥BC，
∴ B=30∘，∴ A=60∘，
在△ACM中，由余弦定理可得CM2=AC2+AM2−2AC⋅ AM⋅csA=16+4−2×4×2×12=12,
则CM=23，
∴ AC2=AM2+CM2，
∴ CM⊥AB ．
∵ ∠MCN=30∘，
∴ MN=CMtan30∘=2，
∴ CN=2MN=4 ，
∴ △MNC的周长为2+4+23=6+23m.
（2）在△ACN中，∠ANC=90∘−θ，
由CNsin60∘=CAsin90∘−θ得CN=23csθ，
又在△ACM中，由CMsin60∘=CAsin60∘+θ，得CM=23sinθ+60∘，
所以 S△CMN=12CM⋅CN⋅sin30∘=3sinθ+60∘csθ=312sinθcsθ+32cs2θ=6sin2θ2+3cs2θ2+32=122sin2θ+60∘+3，
由122sin2θ+60∘+3=23得sin2θ+60∘=32．
0∘≤θ≤60∘，所以60∘≤2θ+60∘≤180∘，所以2θ+60∘=60∘或120∘,
所以θ=30∘或θ=0∘ .
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ AC=4 ，BC=43， AC⊥BC，
∴ B=30∘，∴ A=60∘，
在△ACM中，由余弦定理可得CM2=AC2+AM2−2AC⋅ AM⋅csA=16+4−2×4×2×12=12,
则CM=23，
∴ AC2=AM2+CM2，
∴ CM⊥AB ．
∵ ∠MCN=30∘，
∴ MN=CMtan30∘=2，
∴ CN=2MN=4 ，
∴ △MNC的周长为2+4+23=6+23m.
（2）在△ACN中，∠ANC=90∘−θ，
由CNsin60∘=CAsin90∘−θ得CN=23csθ，
又在△ACM中，由CMsin60∘=CAsin60∘+θ，得CM=23sinθ+60∘，
所以 S△CMN=12CM⋅CN⋅sin30∘=3sinθ+60∘csθ=312sinθcsθ+32cs2θ=6sin2θ2+3cs2θ2+32=122sin2θ+60∘+3，
由122sin2θ+60∘+3=23得sin2θ+60∘=32．
0∘≤θ≤60∘，所以60∘≤2θ+60∘≤180∘，所以2θ+60∘=60∘或120∘,
所以θ=30∘或θ=0∘ .
【答案】
（1）∵ 等轴双曲线离心率为2，∴ 椭圆C的离心率e=22,
∴ e2=c2a2=a2−b2a2=12，
∴ a2=2b2,
∵ 由x−y+2=0与圆x2+y2=b2相切，得b=1，∴ a2=2,
∴ 椭圆C的方程为x22+y2=1.
（2）证明①若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±1,
设Ax1,y1,Bx2,y2，由 y=kx+mx22+y2=1,
得1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0,
则x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−21+2k2,
由已知k1+k2=5，可得y1−1x1+y2−1x2=5
∴ kx1+m−1x1+kx2+m−1x2=5,即2k+m−1x1+x2x1x2=5,
将x1+x2,x1x2代入得2k−2kmm+1=5,
∴ 2k=5m+1（或不同化简可能m=1 （舍））,
∴ m=2k5−1．故直线AB的方程为y=kx+2k5−1,
即y=kx+25−1，
∴ 直线AB过定点−25,−1.
【考点】
椭圆的标准方程
点到直线的距离公式
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）∵ 等轴双曲线离心率为2，∴ 椭圆C的离心率e=22,
∴ e2=c2a2=a2−b2a2=12，
∴ a2=2b2,
∵ 由x−y+2=0与圆x2+y2=b2相切，得b=1，∴ a2=2,
∴ 椭圆C的方程为x22+y2=1.
（2）证明①若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±1,
设Ax1,y1,Bx2,y2，由 y=kx+mx22+y2=1,
得1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0,
则x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−21+2k2,
由已知k1+k2=5，可得y1−1x1+y2−1x2=5
∴ kx1+m−1x1+kx2+m−1x2=5,即2k+m−1x1+x2x1x2=5,
将x1+x2,x1x2代入得2k−2kmm+1=5,
∴ 2k=5m+1（或不同化简可能m=1 （舍））,
∴ m=2k5−1．故直线AB的方程为y=kx+2k5−1,
即y=kx+25−1，
∴ 直线AB过定点−25,−1.
【答案】
（1）当m=2时， fx=x2−2x+2+ln1+2x，
f′x=2x−2+22x+1=4x2−2x2x+1=2x2x−12x+1 x>0，
当f′x>0 时，x>12 ；当f′x<0 时， 0综上fx 在0,12单调递减，在12,+∞单调递增；
（2）由 f′x=2x+1m+1x+1m−3,
当x∈1,2时， x+1m>1，由函数y=2x+1x在22,+∞上递增可得f′x>3−3=0，
即fx在x∈1,2上单调递增，所以fmin=f1=1+ln1+m，
由已知条件只需f1令m+1=x,x∈1,+∞ ，即1+lnx令Fx=2x+ax−alnx+x2−5，则Fx>0在1,+∞上恒成立．
F′x=2−ax2−ax+2x=2x+1x2−a2x2，
Fmin=Fa2=22a−alna2+a2−5，
令a2=t∈1,2，则Fmin=4t−2t2lnt+t2−5=ht，
h′t=4−22tlnt+t+2t=4−4t1t，
在1,2上单调递减，且h′1>0,h′2<0， ht在1,2上先增后减，
故hmin为h1，h2较小者．h1=0,h2=7−8ln2>0，所以hmin=h1=0，
即Fx≥0，所以a∈2,8 .
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）当m=2时， fx=x2−2x+2+ln1+2x，
f′x=2x−2+22x+1=4x2−2x2x+1=2x2x−12x+1 x>0，
当f′x>0 时，x>12 ；当f′x<0 时， 0综上fx 在0,12单调递减，在12,+∞单调递增；
（2）由 f′x=2x+1m+1x+1m−3,
当x∈1,2时， x+1m>1，由函数y=2x+1x在22,+∞上递增可得f′x>3−3=0，
即fx在x∈1,2上单调递增，所以fmin=f1=1+ln1+m，
由已知条件只需f1令m+1=x,x∈1,+∞ ，即1+lnx令Fx=2x+ax−alnx+x2−5，则Fx>0在1,+∞上恒成立．
F′x=2−ax2−ax+2x=2x+1x2−a2x2，
Fmin=Fa2=22a−alna2+a2−5，
令a2=t∈1,2，则Fmin=4t−2t2lnt+t2−5=ht，
h′t=4−22tlnt+t+2t=4−4t1t，
在1,2上单调递减，且h′1>0,h′2<0， ht在1,2上先增后减，
故hmin为h1，h2较小者．h1=0,h2=7−8ln2>0，所以hmin=h1=0，
即Fx≥0，所以a∈2,8 .
【答案】
解：（1）因为曲线C的参数方程为x=23csφy=23+23sinφ（φ为参数），
所以x2+y−232=12cs2φ+sin2φ=12，
即x2+y2−43y=0，
因为x=ρcsθy=ρsinθ，
所以ρ2−43ρsinθ=0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=43sinθ .
因为直线l的方程为3x+y−83=0，
所以直线l的极坐标方程为3ρcsθ+ρsinθ−83=0.
（2）设点A的极坐标为Aρ1,θ，点B的极坐标为Bρ2,θ，其中0<θ<2π3，
由（1）知|OA|=ρ1=833csθ+sinθ， |OB|=ρ2=43sinθ ，
所以 |OA||OB|=8343sinθ3csθ+sinθ=43sin2θ−cs2θ+1=42sin2θ−π6+1
因为0<θ<2π3，所以−π6<2θ−π6<7π6，
所以−12所以当sin2θ−π6=1，即θ=π3时， (|OA||OB|)min=43 .
【考点】
直线的极坐标方程
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为曲线C的参数方程为x=23csφy=23+23sinφ（φ为参数），
所以x2+y−232=12cs2φ+sin2φ=12，
即x2+y2−43y=0，
因为x=ρcsθy=ρsinθ，
所以ρ2−43ρsinθ=0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=43sinθ .
因为直线l的方程为3x+y−83=0，
所以直线l的极坐标方程为3ρcsθ+ρsinθ−83=0.
（2）设点A的极坐标为Aρ1,θ，点B的极坐标为Bρ2,θ，其中0<θ<2π3，
由（1）知|OA|=ρ1=833csθ+sinθ， |OB|=ρ2=43sinθ ，
所以 |OA||OB|=8343sinθ3csθ+sinθ=43sin2θ−cs2θ+1=42sin2θ−π6+1
因为0<θ<2π3，所以−π6<2θ−π6<7π6，
所以−12所以当sin2θ−π6=1，即θ=π3时， (|OA||OB|)min=43 .
【答案】
解：（1）由|x−1|+|x+2|≥|x−1−x+2|=3，所以M=3，
当且仅当x−1⋅x+2≤0，即−2≤x≤1取等号，
所以fx所以−5（2）由（1）可知： M=3，所以4a+Mb=2，则4a+3b=2，
所以a+12b=12a+12b⋅4a+3b=1240+3ab+48ba≥20+3ab⋅48ba=32，
当且仅当3ab=48ba，即a=8,b=2时，取等号，
所以a−b=6.
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由|x−1|+|x+2|≥|x−1−x+2|=3，所以M=3，
当且仅当x−1⋅x+2≤0，即−2≤x≤1取等号，
所以fx所以−5（2）由（1）可知： M=3，所以4a+Mb=2，则4a+3b=2，
所以a+12b=12a+12b⋅4a+3b=1240+3ab+48ba≥20+3ab⋅48ba=32，
当且仅当3ab=48ba，即a=8,b=2时，取等号，
所以a−b=6.时间(t)
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合格作品数(y)
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