2025_2026学年北京市第八十中学下学期八年级期中数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市第八十中学下学期八年级期中数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3B．2，4，5C．1，1，D．6，8，10
3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
4．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．点在下列函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，平行四边形的周长为，、相交于点O，交于E，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（ ）
A．1B．2C．2或4D．1或1.5
二、填空题
9．公式中，变量是___________．
10．已知，则当时，___________．
11．比较两数的大小：______3．（填“”）
12．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则___________m．
13．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____．
14．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______．
15．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________．
16．正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是菱形；
③存在无数个四边形是矩形；
④至少存在一个四边形是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
三、解答题
17．计算
（1）
（2）
18．已知，，求代数式的值．
四、填空题
19．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______．
五、解答题
20．下面是小橙设计的“已知两相交直线作矩形”的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，按照作法补全图（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：
∵，，
∴四边形是 ．（ ）
∵，
∴，即，
∴四边形是矩形．（ ）（填推理的依据）
21．如图，平行四边形，、分别为、延长线上的点，连接，，当时，证明：四边形是平行四边形．
22．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
23．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是：

①先裁下了一张长，宽的长方形纸片；
②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长．
24．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．
（1）下表是y与x的几组对应值：
写出表中m的值：___________．
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）；
②对于函数，当时，y的取值范围是___________；
③写出由函数的图象得到的图象的平移方式．
25．在正方形中，点E在射线上，点M在的延长线上，为的角平分线，点F为射线上一点，且．
（1）如图，当点E在线段上时，
①补全图形；
②求证：；
③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）若，，直接写出线段的长．
26．在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”．
（1）已知，点，．
①在点，，，中，线段的“相随点”是______；
②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______．
（2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】主要考查了二次根式的意义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件得到，解之即得．
【详解】解：根据题意得，，
解得:．
故选．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，本题得以解决．
【详解】解：，故选项A中三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
，故选项B中三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
，故选项C中三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
，故选项D中三条线段能组成直角三角形，符合题意；
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可．
【详解】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意；
B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意；
C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意；
D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；
故选B．
4．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义是：对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应．
【详解】解：选项A：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项A不表示是的函数．
选项B：在这个图象中，对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，这符合函数的定义，所以选项B表示是的函数．
选项C：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项C不表示是的函数．
选项D：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项D不表示是的函数．
故B．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把分别代入各个选项，看求得的函数值是否等于2即可．
【详解】解：A．当时，，∴点不在函数图象上；
B．当时，，∴点不在函数图象上；
C．当时，，∴点在函数图象上；
D．当时， ，∴点不在函数图象上；
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出该直角三角形另一直角边的长度，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由图可知正方形的边长为，
∴正方形的面积为：，
故选B．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴．
∴的周长．
故选C．
8．【正确答案】C
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∵E为边上一点，且，
∴，
由题意得，则，
当，时，，
∴，
∴；
当，时，，
∴，
∴，
综上，的值为2或4．
故选C．
9．【正确答案】S、t
【分析】在一个变化过程中，变化的量称为变量．根据定义可得答案．
本题考查常量与变量的定义，掌握“变量的含义”是解本题的关键．
【详解】解：中，变量是：S、t，
故答案案为：S、t
10．【正确答案】/0.75
【分析】本题考查求函数的值，把代入函数表达式即可求解
【详解】解：当时，.
11．【正确答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
由题意知，，由，可得，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
，
.
12．【正确答案】52
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握中位线的判定和性质．
利用三角形中位线的判定定理和性质定理得出，进而可求出结果．
【详解】解：∵和的中点分别是点D，E，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴.
13．【正确答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形相关性质求出对应边的长度．
连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为.
14．【正确答案】6
【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴．
15．【正确答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺，
根据勾股定理可列方程.
16．【正确答案】①②④
【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确；
②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形；
故正确的结论序号是①②④.
17．【正确答案】（1）；
（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除法，再化简二次根式，进而即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【正确答案】
【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴x＋y＝4，x−y＝，
∴．
19．【正确答案】/
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
先由勾股定理求出，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解．
【详解】解：连接，
，，，
，
，，
，
，
，
.
20．【正确答案】（1）见详解
（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】本题考查了尺规作图，矩形的判定，平行四边形的判定，
（1）根据题干中的要求作图即可；
（2）首先判定平行四边形，再根据对角线相等判定矩形即可．
【详解】（1）解：如图所示：
矩形即为所求；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵，
∴，
即，
∴四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
故平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形．
21．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、平行四边形的性质等知识点，掌握对角线相互平分的四边形是平行四边形成为解题的关键．
如图：连接交于O，由平行四边形的性质可得，再结合已知条件可得，最后根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明结论．
【详解】证明：如图：连接交于O，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
22．【正确答案】（1）见详解；（2）OE=2．
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
23．【正确答案】
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，，
由折叠的性质可知，， ，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴．
24．【正确答案】（1）0
（2）见详解
（3）①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
（1）把代入即可求得；
（2）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（3）观察图象即可解决问题．
【详解】（1）解：当时，，
∴.
（2）解：函数图象如图所示；
；
（3）解：观察该函数图象：
①对于图象上两点，若，则；
②对于函数，当时，y的取值范围是；
③当时，，当时，，
∴函数的图象得到的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移个单位．
25．【正确答案】（1）①见详解；②见详解；③，见详解
（2）或．
【分析】（1）①先根据题意补全图形即可；
②由正方形的性质可得，再由角平分线的定义可得，由此证明得到，再由三角形内角和定理和等边对等角得到，则；
③如图所示，在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到；
（2）分两种情况，通过证明，，之间的数量关系进行求解即可．
【详解】（1）解：①如图所示，即为所求；
②∵四边形是正方形，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③，证明如下：
如图所示，在上截取，连接，
∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，当点E在上时，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）的结论可知，
∴；
如图所示，当点E在延长线上时，
在射线上截取，连接，
同理可证明，
∴，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，或．
26．【正确答案】（1）①，；②；
（2）或
【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，，然后设，然后分别验证求解即可；
②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可；
（2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，然后分情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）①∵点，．
∴
∵四边形为平行四边形
∴，
∵点P在直线上
∴设
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴
∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴，，矛盾，不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴设，
∴
∴
∴点Q在直线上运动
如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，
∴
∴
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度
∵点O和点关于直线对称
∴
∵
∴
∴的最小值为；
（2）∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，
∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，
∵点，点，设
设所在直线表达式为，
∴，解得
∴所在直线表达式为，
若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，
∴，解得
当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，解得
当点C在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
综上所述，t的取值范围或．已知；如图，直线与直线相交于点O．
求作：矩形，使矩形的四个顶点在这两条直线上．
作法：
①在直线上任取一点A（不与点O重合）
②以点O为圆心，为半径作弧依次与直线、于点B、C、D；
③连接，，，．
即四边形就是所求作的矩形．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
…