2025_2026学年北京市昌平区下学期八年级期中数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市昌平区下学期八年级期中数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
A．B．
C．D．
2．点P（－3，5）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列图象中，表示是的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A．4B．5C．6D．7
5．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为 （ ）
A．B．C．D．
7．菱形的对角线，，则菱形的面积等于（ ）
A．12B．24C．25D．48
8．正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．在函数中，自变量x的取值范围是______．
10．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是 ___________．
11．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点A的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ______．
12．如图，已知函数和的图象，则方程组的解为___．
13．若点，在一次函数图象上，则______（填，或）．
14．如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于______．
15．如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为__________．
16．长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为__________．
三、解答题
17．如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形．
18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴， 轴于，两点．
（1）求点， 的坐标；
（2）画出该函数的图象；
（3）若点， 连接， ， 求的面积．
19．下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：
已知：在中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；
②作直线EF，交AC于点P；
③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；
④连接AD，CD．
则四边形ABCD是矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，CE，AF，CF．
∵AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是线段AC的垂直平分线．
∴AP＝______．
又∵BP＝DP，
∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点．
（1）求点A的坐标及直线的表达式；
（2）若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足，直接写出点P的坐标．
21．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点B，C的坐标分别为（-2,0），（-4,1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）点A的坐标是 ；
（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，点A1坐标是________；
（3）求出 CC 1的长．
22．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：
（1）工厂离目的地的路程是千米；
（2）求关于的函数表达式；
（3）请问货车何时会显示加油提醒？
23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
24．数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
以下，是对此定理的探究及证明过程：
已知，如图，在中，分别是的中点．
求证：且．
（1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线：
甲：延长至点，使，连接．
乙：延长到点，使，连接．
丙：作，延长，使，延长，使．
丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点．
则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________；
A．甲、乙、丁 B．乙、丙 C．乙、丁 D．全正确
（2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整；
（3）【定理应用】
如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点A和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示）．
25．某学校要购买一种笔记本，供学生研学时使用． 在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元． 在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过的部分每本价格为1.8元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为（为非负数）．
（1）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为元，分别写出，关于的函数关系式；
（2）当时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由．
26．描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数图象的变化规律的过程：
请根据学习函数的经验，利用上述表格所反映的与之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．
（1）表中是与的对应值，则 ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象；
（3）若关于的不等式的解集是，则的值为 ．
27．如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．
（1）在图1中补全图形；
（2）求的度数，写出求解过程．
（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点．
（1）点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________；
（2）点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________
（3）如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
故选C．
2．【正确答案】B
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】点P（-3，5）所在的象限是第二象限．
故选B．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义，在的取值范围内，在轴过任意找一点作轴的垂线，如果有两个交点，说明不是的函数，逐一判断即可．理解函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A.存在点，过此点作轴的垂线，有两个交点，不符合函数的定义，故不是的函数，故不符合题意；
B.存在点，过此点作轴的垂线，有两个交点，不符合函数的定义，故不是的函数，故不符合题意；
C.存在点，过此点作轴的垂线，有两个交点，不符合函数的定义，故不是的函数，故不符合题意；
D. 在的取值范围内，在轴过任意找一点作轴的垂线，都只有一个交点，符合函数的定义，故是的函数，故符合题意；
故选D．
4．【正确答案】C
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．
【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，
根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．
解得n=6.
故选C.
5．【正确答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，
故A选项错误；
一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，
故B选项错误；
根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，
故C符合题意；
根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，
故D不符合题意；
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是正确解答此题的关键．
根据图象即可确定不等式的解集．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
根据图象可知的解集为，
故B．
7．【正确答案】B
【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”直接计算即可．
【详解】解：∵菱形的对角线，，
∴菱形的面积等于
故选B
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据点运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积与的关系式是解题的关键，也是本题的难点．
分点在边、、、上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出与的关系式，再根据一次函数图象解答．
【详解】解：如图：
①点在边上时，即，；
②点在边上时，点到的距离为，
即，
③点在边上时，点到的距离不变为，
，
④点在边上时，点到的距离为，
，
纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选B．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为0得，然后进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：．
10．【正确答案】
【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是．
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示：
∴点C的坐标为.
12．【正确答案】
【分析】一次函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．
【详解】解：∵函数和的图象交于点，
∴方程组的解是．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．点，代入，比较大小比较即可．
【详解】解：∵点，在正比例函数图象上，
∴将点，代入得：，
∴.
14．【正确答案】2
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，证明，得到是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴.
15．【正确答案】10
【分析】本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
连接，交于M，连接，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故的长即为的最小值，利用勾股定理可求解．
【详解】解：连接交于M，连接，如图，
∵正方形
∴点B与点D关于对称，
∴，
∴，
根据两点间线段最短，此时值最小，最小值等于，
∵正方形
∴，
∵
∴
由勾股定理得：，
∴的最小值为10．
16．【正确答案】2或5
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的性质，分为当直线在的下方时及当直线在的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函数平移的性质结合几何图形求解即可．
【详解】解：长方形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，
，
，
设将直线沿y轴向上平移个单位后与轴交于点D，与轴交于点E，
如图，当直线在的下方时，
平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，
，
平移后的函数关系式为，
令，得，解得：，
，
令，得，
，
，
，
（负值舍去），
如图，当直线在的上方时，设直线交于点M，交于点N，
平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，
，
平移后的函数关系式为，
令，得，解得：，
，
，
令，得，
，
，
，
或9（舍去）.
17．【正确答案】见详解
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
由平行四边形的性质得到，，由已知得到，根据平行四边形的判定即可得到结论．
【详解】证明：是平行四边形，
，，
∴,
又，
∴，即，
四边形是平行四边形．
18．【正确答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）见详解
（3）
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法．
（1）分别令求解即可；
（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（3）根据三角形的面积求出即可．
【详解】（1）解：令，则，解得，
令，则，
所以，点的坐标为，
点的坐标为；
（2）解：如图：
（3）解：如图，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
，
．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先利用作法得到EF垂直平分AC，从而得到PA=PC，由于PB=PD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上∠ABC＝90°，即可判断四边形ABCD是矩形．
【详解】（1）解：矩形ABCD就是所求作的图形，如图，
（2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
20．【正确答案】（1）；
（2）或
【分析】（1）把点代入一次函数关系式，即可求出n的值，得出点A的坐标；点A坐标代入正比例函数关系式，求出k的值，即可得出正比例函数解析式；
（2）根据点P在x轴上或y轴上两种情况进行讨论，分别求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把点代入得：
，解得：，
∴点A坐标为：（-1，2）；
把A（-1，2）代入得：，
解得：，
∴直线的关系式为．
（2）当点P在x轴上时，设点P的坐标为：（m，0），
∵，
∴，
解得：或（舍去）；
∴点P的坐标为：；
当点P在y轴上时，设点P的坐标为：（0，a），
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为：或．
21．【正确答案】（1）
（2），图形见详解
（3）
【分析】（1）由直角坐标系直接写出A的坐标即可；
（2）分别求出A、B、C关于原点对称的A1、B1、C1的坐标，然后将A1、B1、C1三点连接起来即可得到△A1B1C1；
（3）由勾股定理直接即可求出CC 1的长．
【详解】（1）解：由直角坐标系可知，A坐标为(-2,4) ．
（2）解：A(-2,4)关于原点对称点的坐标A1(2，-4)，
B(-2,0)关于原点对称点的坐标B1(2，0)，
C(-4,1)关于原点对称点的坐标C1(4，-1)，
则△ABC关于原点对称的△A1B1C1如图所示：
（3）解：如上图中，C(-4,1)，C1(4，-1)，
∴由勾股定理可知：．
22．【正确答案】（1）880
（2）关于的函数表达式：
（3）货车行驶小时后会显示加油提醒
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答；
（1）由图象直接求出工厂离目的地的路程；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）当油箱中剩余油量为10升时，求出值即可．
【详解】（1）解：由图象，得时，，
∴工厂离目的地的路程为880千米，
答：工厂离目的地的路程为880千米；
（2）设，
将和代入得，
解得：，
∴关于的函数表达式：
当时，，
答：关于的函数表达式：；
（3）当油箱中剩余油量为10升时，千米，
解得：(小时)，
答：货车行驶小时后会显示加油提醒．
23．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟悉利用数形结合是解题的关键．
（1）根据平移相同，得到的值后，代入点求解即可；
（2）把代入求出相交时的交点坐标后，代入得到的最大值，结合的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，则，
∵一次函数过点，
∴把，代入可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：把代入，得：，
把，代入可得：，
解得：，
∵当时，函数的值大于一次函数的值，
∴．
24．【正确答案】（1）D
（2）见详解
（3）
【分析】（1）观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理；
（2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得；
（3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得（米），就可得（米）．
【详解】（1）解：观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理.
（2）如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
，
；
（3）连接并延长，交延长线于P，如图：
∵，
∴，，
∵，
∴（），
∴，，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∴（米）．
25．【正确答案】（1），
（2）当时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据总价等于单价乘以数量求解函数关系式即可；
（2）当时，令记，再求出时，所对应的的取值范围即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
当时，；
当时，．
∴；
（2）解：当时，令记．
当时，即，得．
∴当时，在这两家文具店购买这种笔记本的花费相同
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，有，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；
当时，有，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．
26．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】本题考查了函数的图象及性质，求一元一次的解析式，根据交点确定不等式的解集，利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法，数形结合是解题的关键．
（1）当时，求的值即可；
（2）描点画出函数图象即可；
（3）经过待定系数法求得和的即可求得的值．
【详解】（1）解：当时，，
∴.
（2）解：描点画出如下函数图象：
（3）解：把点和）代入得，
解得，
∴.
27．【正确答案】（1）补见详解
（2）
（3），见详解
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）先证明得到，再由三角形外角的性质结合即可得到结论；
（3）如图，过点A作，与射线交于点Q，证明为等腰直角三角形，得到，．再证明，再由全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：补全图形如图所示；
（2）解：，证明如下：
∵点D、F关于对称，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∵，
∴；
（3）解：，证明如下：
如图，过点A作，与射线交于点Q．

∵，
∴，
由对称性可知，
又∵，
∴为等腰直角三角形．
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
28．【正确答案】（1）1，；
（2）或；
（3）．
【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案；
（2）画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可；
（3）如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”，求解直线为，过作轴于，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”由平移可得，同理可得直线为，再进一步解答即可．
【详解】（1）解：如图：
∵，
∴点与线段的“近点距离”是，
∵，
，
∴点与线段的“近点距离”是.
（2）解：如图，当在左边时，
当时，两点间距离最小，
∵点与线段的“近点距离”为，
，
，
，
，
∴，
当在的右边时，如图中的，
，
过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为，
∵直线为，
为等腰直角三角形，
，
.
（3）解：如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”，
∵一次函数，
，
，
∴设，
∴，
设直线为，
∴
解得：，
∴直线为，
∴，
当时，，
过作轴于，
，
，
，
；
如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”，
∵由平移可得，
同理可得直线为，
∴，
，
当时，则，
过作轴于，
，
，
，
，
∴，
解得；
∴直线上存在点，使得点与四边形的“近点距离”小于或等于，的取值范围为．……
……