2025_2026学年北京市第一六一中学分校下学期期中考试 八年级数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市第一六一中学分校下学期期中考试 八年级数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，分别是，，的对边，下列条件能构成直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
5．关于的一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．一次函数的图象过点B．随的增大而减小
C．一次函数的图象过第一、二、三象限D．自变量可以为任意实数
6．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．关于x，y的方程组的解是
B．方程的解是
C．方程的解是
D．不等式的解集是
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（ ）
A．4B．9C．13D．5
8．如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
10．在平行四边形中，，则________．
11．把直线y=2x-1向上平移个单位，得到的直线解析式是______.
12．函数的图象上有两个点，，，，当时，，写出一个满足条件的函数表达式：________．
13．如图，直角中，，E、D、F分别为、、上的中点，已知，则______．
14．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_________，面积为________．
15．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是_____度．
16．如图1，四边形是菱形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则菱形的面积为______．
三、解答题
17．计算：
（1）
（2）
18．已知，，求代数式的值．
19．如图，在中，点E、F分别在，且，连接，求证：．
20．下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程．
已知：等腰，．
求作：点C，使得四边形ABCD为菱形．
作法：①作的角平分线，交线段于点O；
②以点O为圆心，长为半径圆弧，交的延长线于点C；
③连接，所以四边形为菱形，点C即为所求．
根据小张同学设计的作图过程．
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵，平分，
∴，，（ ）（填推理的依据）
∵，，
∴四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据）
∵，
∴四边形为菱形（ ）（填推理的依据）
21．一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）画出一次函数的图象；
（3）结合图象解答下列问题：
①当时，的取值范围是___________；
②当时，的取值范围是___________；
22．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
23．探究函数的图象与性质．
小天根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整：
第一步：的自变量x的取值范围是全体实数；
第二步：x与y的几组对应值：
（1）第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）第四步：观察的函数图象，得出了如下几条结论：
①当________时，函数有最小值为_______________；
②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少；
③图象关于过点________且垂直于x轴的直线对称；
④若直线与的图象只有一个交点，则k的取值范围是________．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
（1）求k，m的值；
（2）已知点，过点P作垂直于y轴的直线与直线交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线交于点N（P与N不重合）．若，结合图象，求n的取值范围．
25．如图，菱形中，，E为边上一点，点F在的延长线上，，作点F关于直线的对称点G，连接．
（1）依题意补全图形，并证明；
（2）用等式表示之间的数量关系，并证明．
26．在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点．

（1）已知直线：，在点，，中，直线的关联点是___________；
（2）若在x轴上存在点P，使得点P为直线：的关联点，求b的取值范围；
（3）已知点，若存在直线：是点N的关联直线，直接写出n的取值范围．
27．求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
28．如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作交直线CD于点F，过点F作交直线AC于点G．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；
（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A．，故不是最简二次根式，不符合题意；
B．是最简二次根式，故该选项符合题意；
C．，故不是最简二次根式，不符合题意；
D．，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项分析即可得解，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理是解此题的关键．
【详解】解：A、设三边为、、，满足，符合勾股定理，是直角三角形，故符合题意；
B、设三边为、、，但，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形，更非直角三角形，故不符合题意；
C、设角分别为、、，则，解得，最大角为，非直角，故不成立，故不符合题意；
D、设角分别为、、，则，解得，最大角为，非直角，故不成立，故不符合题意；
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法，根据二次根式的加减、二次根式的乘法的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、，二次根式根号内是负数，无意义，故原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意；
D、两组对边相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
故选C
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的基本性质，逐一分析各选项的正确性即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、将点代入函数，得，故图象不经过该点，原说法错误，不符合题意；
B、一次项系数，因此随的增大而增大，而非减小，原说法错误，不符合题意；
C、函数的斜率，截距，图象经过第（一）第三、第四象限，不经过第二象限，原说法错误，不符合题意；
D、一次函数的自变量可取任意实数，原说法正确，符合题意；
故选D．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，逐一判断即可求解，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：A、两直线的交点坐标为，
关于x，y的方程组的解是，则正确，故符合题意；
B、一次函数的图象与x轴交于点，
方程的解是，则错误，故不符合题意；
C、两直线的交点坐标为，
方程的解是，则错误，故不符合题意；
D、两直线的交点坐标为，
不等式的解集是，则错误，故不符合题意；
故选A．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
【详解】解：过点D作于点E，则，，
∴，
∵是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积是，
故选D．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，由此即可解答．
【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．
，，
，
如图，连接，
，
当点M与点E，点H重合时，
此时，三点再一条直线上，
的面积都为0，
当点M与点F时重合，
此时，
的面积为，
当点M与点G时重合，
此时，
的面积为，
由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，
时，的面积先增大后减小，
时，点M运动的路径是，
点M运动的路径是．
故选D．
9．【正确答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到即可得到答案．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
即，
故．
10．【正确答案】/115度
【分析】本题考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质．
根据平行四边形对角相等及邻角互补求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
11．【正确答案】y=2x+2
【分析】根据上面平移k不变，b值加减即可．
【详解】∵把直线y=2x-1向上平移个单位，
∴平移后解析式为： y=2x-1+3，即y=2x+2．
12．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】根据，，，满足时，判断出函数图象的增减性即可．本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数中，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小．
【详解】解：，，，满足时，，
函数满足，
即可）.
13．【正确答案】4
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解决此题的关键．
【详解】∵D、F分别为、上的中点，，
∴，
在中，，E为上的中点，
∴.
14．【正确答案】20；24
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得，，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．
【详解】解：如图所示，
菱形中，，
∴，
∴，
∴此菱形的周长是：，
面积是.
15．【正确答案】22.5
【详解】∵ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=（180°-45°）=67.5°，
∴∠ACP度数是67.5°-45°=22.5°
16．【正确答案】
【分析】题目主要考查动点函数图象，菱形的性质，勾股定理，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键．
作，垂足为E，结合运动轨迹及运动图象得出，当时，y有最小值，此时点P和点E重合，得到，勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，作，垂足为E，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由图象可得，，
当时，y有最小值，此时点P和点E重合，
∴，
∴，，
∴菱形的面积．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算加减即可；
（2）先计算二次根式的乘、除法，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．【正确答案】
【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴x＋y＝4，x−y＝，
∴．
19．【正确答案】见详解
【详解】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质可得，，进而证得，从而证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可证得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】（1）按照题意进行作图即可；
（2）先由三线合一定理得到，，再根据平行四边形和菱形的判定定理证明即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，平分，
∴，，（三线合一定理）
∵，，
∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵，
∴四边形为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
21．【正确答案】（1）；（2）见详解；（3）①；②
【分析】（1）由一次函数的图象与正比例函数的图象平行，可得，由一次函数的图象过点可得即可；
（2）图象如图所示：描点（0，2）与（2，-4）连线得图象如图；
（3）①先求直线与x轴的交点（，0），当时，直线位于x轴下方， 可得；
②先求x=0，；x=2，即可．
【详解】解：（1）∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行，
，
又∵一次函数的图象过点．
根据题意得：，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）图象如图所示：
取x=0，y=2，描点（0，2）与（2，-4），
连线得图象如图，
（3）①当时，=，直线与x轴的交点（，0），
当时，直线位于x轴下方，自变量的取值范围在交点的右侧，
∴；
故答案为；
②当时，取x=0，，取x=2，，
∴，
故答案．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论；
（2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）①1；0；②；；③；④或或
【分析】（1）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（2）①根据图象即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图象，可知x的取值范围；③函数图象即可求得点的坐标；④根据函数图象的特征即可求解．
【详解】（1）描点，并画出函数的图象如下：
（2）①由图可知，当时，函数有最小值，
故答案为，0；
②由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时（填写自变量取值范围），随的增大而减少，
故答案为；
③由图象可知，图象关于成轴对称，
∴图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，
故答案为；
④∵，
∴当时，函数与平行，当时，函数与平行，
∴当或时，函数与有一个交点，
另外当函数过点时，有，即时，函数与有一个交点，
故答案为或或．
24．【正确答案】（1）；
（2）且
【分析】本题是一次函数图象的相交于平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式：
（1）把A点坐标代入中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入中，求得k的值；
（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得的值，根据，列出n的不等式，再求得结果．
【详解】（1）解：把点代入得：，
∴点，
把点代入得：
，
解得：；
（2）解：如图，
由（1）得：直线的解析式为，
∵点，轴，轴，
∴点，点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵P与N不重合，
∴，即，
∴n的取值范围为且．
25．【正确答案】（1）见详解；
（2），证明见进解析．
【分析】（1）根据题意补全图形，根据菱形的性质结合可推出，从而推出结论；
（2）方法1：连接，根据菱形的性质结合推出为等边三角形，得出，由点F关于的对称点G在线段上，推出为等边三角形，根据证明得出，从而得出结果；
方法2：延长到H，使，根据菱形的性质易证，再根据全等三角形的性质及等边三角形的判定证明为等边三角形，然后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可得证．
【详解】（1）补全的图形如图所示；
证明：∵菱形，
∴，
∴，
，
∴，
．
∵，
∴，
∴．
（2）之间的数量关系：．
证明：方法1
如图，连接．
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
点F关于的对称点G在线段上，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
证明：方法2
如图，延长到H，使，
∴．
∵菱形，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵菱形，，点F关于直线的对称点为G，
∴点G在线段上，，
∴．
26．【正确答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）利用网格图确定线段关于直线：对称的线段,点在上，得出结论．
（2）如图，由题意知，点Q在线段AB上，当点Q与点A重合时，点P的坐标为，直线经过原点，此时b=0；当点Q与点B重合时，点P的坐标为，直线经过点A，此时，所以．
（3）如图，点在直线上，设线段关于的对称线段为,当直线：为时，可求，此时，点为满足题意的点N，；，当在第一、三象限内，存在如下图情况，此时，点落在上，落在x轴上，连接，过点A作轴，垂足为，可求，此时，为满足题意的点N，；如图，线段与关于y轴对称，可求，此时为满足题意的点N，；如图，当直线在第二、四象限，存在如下情况，点在直线上，点在x轴上,作，垂足为H，可求，此时为满足题意的点N，，得出结论．
【详解】（1）解：如图，线段关于直线：对称的线段,点在上，故直线的关联点是；

（2）解：如图，由题意知，点Q在线段AB上，
∵点P为直线的关联点，
∴点P关于直线的对称点为Q，

当点Q与点A重合时，点P的坐标为，
是等腰直角三角形，直线经过原点，此时b=0；
当点Q与点B重合时，点P的坐标为，
是等腰直角三角形，直线经过点A，此时．
综上所述，b的取值范围是．
（3）解：如图，点在直线上，设线段关于的 对称线段为,
当直线：为时，点，关于直线的对称点,，此时，点为满足题意的点N，；

随着增大，当在第一、三象限内，存在如下图情况，点落在上，落在x轴上，连接，由对称知，，
∴
过点A作轴，垂足为，中，
∴
∵
∴,
∴点
此时，为满足题意的点N，

故时，存在直线：是点的关联直线；
如图，线段与关于y轴对称，,此时为满足题意的点N，；

如图，当直线在第二、四象限，存在如下图情况，点在直线上，点在x轴上,

过点作，垂足为H，由对称知，，，
，中，
∵
∴
∴
此时为满足题意的点N，
故时，存在直线：是点的关联直线；
综上，若存在直线：是点的关联直线，则，或．
27．【正确答案】
【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．
【详解】设x=+，
两边平方得：x2=（）2+（）2+2，
即x2=4++4﹣+6，
x2=14
∴x=±．
∵+＞0，∴x=．
28．【正确答案】（1），理由见详解
（2）成立，理由见详解
【分析】（1）点E作于点H，于点P，证明，得到．过点B作于点M，证明，进而得出，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（2）过点E作交DC延长线于点H，交BC延长线于点P，过点B作于点O，证明，再证，进而得出为等腰直角三角形，即可证得结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵ 正方形ABCD，
∴，，
过点E作于点H，于点P，如下图所示，
则，
∴，
∴四边形CHEP是矩形，
∵ ，，
∴与均为等腰直角三角形，
∴，，
∴四边形CHEP是正方形，
∴．
∵ ，
∴，
又∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
过点B作于点M，
则，
∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
∴，
∴，
即．
∵ ，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
过点E作交DC延长线于点H，交BC延长线于点P，过点B作于点O，如下图所示，
则，
∴四边形CHEP是矩形，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形CHEP是正方形，
∴．
设CF与BE交于点Q，
在与中，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
∵ ，，
∴，
∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
∵ ，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．x
…
0
1
2
3
…
y
…
2
1
0
1
2
…