2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题三　不等式（学生版+教师版）

这是一份2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题三　不等式（学生版+教师版），共8页。
(2021·天津卷，13)若a>0，b>0，则eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b的最小值为________．
(2020·江苏卷，12)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
(2020·天津卷，14)已知a>0，b>0，且ab＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为________．
题点2 利用基本不等式求代数式的范围
(2025·北京卷，6)已知a>0，b>0，则( )
A.a2+b2>2abB.1a+1b≥1ab
C.a+b>abD.1a+1b≤2ab
(2024·全国甲卷理，3)若实数x，y 满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3y－3≥0，,x－2y－2≤0，,2x＋6y－9≤0，))则 z＝x－5y的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B．0 C．－eq \f(5,2) D．－eq \f(7,2)
(2024·上海卷，3)不等式x2-2x-30，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥eq \f(1,2) B．2a－b>eq \f(1,2)
C．lg2a＋lg2b≥－2 D.eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)
(2020·新高考全国卷II，12)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥eq \f(1,2) B．2a－b>eq \f(1,2)
C．lg2a＋lg2b≥－2 D.eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)
知识点二 一元二次不等式的求解
题点 不含参的不等式
(2025·上海卷，2)不等式x−1x−30，b>0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b≥2eq \r(\f(1,a)·\f(a,b2))＋b＝eq \f(2,b)＋b≥2eq \r(\f(2,b)·b)＝2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(a,b2)且eq \f(2,b)＝b，即a＝b＝eq \r(2)时等号成立，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b的最小值为2eq \r(2).
【难度】中档题
(2020·江苏卷，12)【答案】eq \f(4,5)
【解析】方法一 由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，
可得x2＝eq \f(1－y4,5y2)，
所以x2＋y2＝eq \f(1－y4,5y2)＋y2＝eq \f(1＋4y4,5y2)＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y2)＋4y2))≥eq \f(1,5)×2eq \r(\f(1,y2)×4y2)＝eq \f(4,5)，
当且仅当eq \f(1,y2)＝4y2，即y＝±eq \f(\r(2),2)时取等号．
所以x2＋y2的最小值为eq \f(4,5).
方法二 设x2＋y2＝t>0，则x2＝t－y2.
因为5x2y2＋y4＝1，
所以5(t－y2)y2＋y4＝1，
所以4y4－5ty2＋1＝0.
由Δ＝25t2－16≥0，
解得t≥eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≤－\f(4,5)舍去)).
故x2＋y2的最小值为eq \f(4,5).
【难度】基础题
(2020·天津卷，14)【答案】4
【解析】因为a>0，b>0，ab＝1，
所以原式＝eq \f(ab,2a)＋eq \f(ab,2b)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(8,a＋b)≥2eq \r(\f(a＋b,2)·\f(8,a＋b))＝4，
当且仅当eq \f(a＋b,2)＝eq \f(8,a＋b)，
即a＋b＝4时，等号成立．
故eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为4.
【难度】基础题
题点2 利用基本不等式求代数式的范围
(2025·北京卷，6)【答案】C
【解析】对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误；
对于B，D，取a=12，b=14，此时1a+1b=2+4=6212×14=42=2ab，故B，D错误；
对于C，由基本不等式可得a+b≥2ab>ab，故C正确.
【难度】中档题
(2024·全国甲卷理，3)【答案】D
【解析】实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3y－3≥0，,x－2y－2≤0，,2x＋6y－9≤0，))
作出可行域如图所示，
由z＝x－5y可得y＝eq \f(1,5)x－eq \f(1,5)z，
即z的几何意义为y＝eq \f(1,5)x－eq \f(1,5)z的纵截距的－5倍，
则该直线纵截距取最大值时，z有最小值，
此时直线y＝eq \f(1,5)x－eq \f(1,5)z过点A，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3y－3＝0，,2x＋6y－9＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2)，,y＝1，))即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))，
则zmin＝eq \f(3,2)－5×1＝－eq \f(7,2).
【难度】基础题
(2024·上海卷，3)【答案】(-1，3)
【解析】由x2-2x-3=(x-3)(x+1)0，所以22a>1，即2a－b>eq \f(1,2)，故B正确；
对于C，lg2a＋lg2b＝lg2ab≤lg2eq \f(1,4)＝－2，故C错误；
对于D，由(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝1＋2eq \r(ab)≤2，
得eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，故D正确．
【难度】中档题
(2020·新高考全国卷II，12)【答案】ABD
【解析】因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以a＋b≥2eq \r(ab)，
当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立，即有ab≤eq \f(1,4).
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，故A正确；
对于B,2a－b＝22a－1＝eq \f(1,2)×22a，因为a>0，所以22a>1，即2a－b>eq \f(1,2)，故B正确；
对于C，lg2a＋lg2b＝lg2ab≤lg2eq \f(1,4)＝－2，故C错误；
对于D，由(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝1＋2eq \r(ab)≤2，得eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，故D正确．
【难度】中档题
知识点二 一元二次不等式的求解
题点 不含参的不等式
(2025·上海卷，2)【答案】(1，3)
【解析】原不等式可转化为(x－1)(x－3)