2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题四　函数（学生版+教师版）

这是一份2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题四　函数（学生版+教师版），共8页。
(2022·北京卷，11)函数f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \r(1－x)的定义域是________．
【答案】(－∞，0)∪(0,1]
【解析】要使函数f(x)有意义，则x≠0，且1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0,1]．
【难度】基础题
(2020·北京卷，11)函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)＋ln x的定义域是________．
【答案】(0，＋∞)
【解析】要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,x>0.))
即x>0且x≠－1.
所以函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)＋ln x的定义域为(0，＋∞)．
【难度】基础题
题点2 分段函数问题
(2024·上海卷，2)已知函数f(x)=x,x>0,1,x≤0,则f(3)= .
【答案】3
【解析】因为3>0，所以f(3)=3.
【难度】基础题
(2023·北京卷，15)设a>0，函数f(x)=x+2,xa.，给出下列四个结论：
①f(x)在区间(a−1,+∞)上单调递减；
②当a≥1时，f(x)存在最大值；
③设Mx1,fx1x1≤a,Nx2,fx2x2>a，则|MN|>1；
④设Px3,fx3x30，
当xa时，fx=−x−1，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取a=12，则fx的图像如下，

显然，当x∈(a−1,+∞)，即x∈−12,+∞时，fx在−12,0上单调递增，故①错误；
对于②，当a≥1时，
当xa的距离最小，

当x1=a时，y=fx1=0，当x2>a且接近于x=a处，y2=fx2y1−y2>a+1>1，故③正确；
对于④，取a=45，则fx的图像如下，

∵Px3,fx3x3c
C．c>b>a D．c>a>b
【答案】A
【解析】函数f(x)＝是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(6),2)))，又eq \f(\r(2),2)b>a
C．a>b>c D．b>a>c
【答案】D
【解析】由y＝1.01x在R上单调递增，
则a＝1.010.5c＝
所以b>a>c.
【难度】基础题
(2020·北京卷，6)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【答案】D
【解析】令h(x)＝2x，g(x)＝x＋1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．
由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2)．
又f(x)>0等价于2x>x＋1，
结合图象，可得x1.
故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
【难度】中档题
题点4 利用函数的单调性求函数的最值
(2024·上海卷，16)已知定义在R上的函数f(x)，集合M={x0|对于任意x∈(-∞，x0)，f(x)8，
f(6)>f(5)＋f(4)>13，
f(7)>f(6)＋f(5)>21，
f(8)>f(7)＋f(6)>34，
f(9)>f(8)＋f(7)>55，
f(10)>f(9)＋f(8)>89，
f(11)>f(10)＋f(9)>144，
f(12)>f(11)＋f(10)>233，
f(13)>f(12)＋f(11)>377，
f(14)>f(13)＋f(12)>610，
f(15)>f(14)＋f(13)>987，
f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000，
f(17)>f(16)＋f(15)>2 584，
f(18)>f(17)＋f(16)>4 181，
f(19)>f(18)＋f(17)>6 765，
f(20)>f(19)＋f(18)>10 946>10 000>1 000，
则B正确，D错误；
且无证据表明A，C一定正确．
【难度】较难题
(2023·新高考全国Ⅰ，11)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则( )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，
对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；
对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；
对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，
令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；
对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误．
方法二 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，
对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；
对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；
对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，
令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；
对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到eq \f(f(xy),x2y2)＝eq \f(f(x),x2)＋eq \f(f(y),y2)，
故可以设eq \f(f(x),x2)＝ln|x|(x≠0)，则f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2ln|x|，x≠0，,0，x＝0，))
当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f′(x)＝2xln x＋x2·eq \f(1,x)＝x(2ln x＋1)，
令f′(x)0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
【难度】中档题
(2020·新高考全国卷II，8)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
【答案】D
【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
【难度】中档题
题点10 函数性质的综合应用
(2022·北京卷，4)已知函数f(x)＝eq \f(1,1＋2x)，则对任意实数x，有( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(－x)＋f(x)＝1
D．f(－x)－f(x)＝eq \f(1,3)
【答案】C
【解析】函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq \f(1,1＋2－x)＝eq \f(2x,1＋2x)，所以f(－x)＋f(x)＝eq \f(2x,1＋2x)＋eq \f(1,1＋2x)＝1，故选C.
【难度】基础题
(2021·新高考全国卷II，14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
【答案】f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
【解析】取f(x)＝x4，则f(x1x2)＝(x1x2)4＝xeq \\al(4,1)xeq \\al(4,2)＝f(x1)f(x2)，满足①，
f′(x)＝4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，
f′(x)＝4x3的定义域为R，
又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.
【难度】基础题
知识点三 基本初等函数
题点1 与二次函数有关的分类讨论
(2023天津卷，15)若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为________．
【答案】(－∞，0)∪(0,1)∪(1，＋∞)
【解析】(1)当x2－ax＋1≥0时，f(x)＝0⇔(a－1)x2＋(a－2)x－1＝0，
即[(a－1)x－1](x＋1)＝0，
当a＝1时，x＝－1，此时x2－ax＋1≥0成立．
当a≠1时，x＝eq \f(1,a－1)或x＝－1，
若方程有一根为x＝－1，则1＋a＋1≥0，即a≥－2且a≠1；
若方程有一根为x＝eq \f(1,a－1)，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)))2－a·eq \f(1,a－1)＋1≥0，
解得a≤2且a≠1；
若x＝eq \f(1,a－1)＝－1，则a＝0，此时1＋a＋1≥0成立．
(2)当x2－ax＋120，不可能成立，故B不正确；
因为eq \f(100p2,p1)＝＝≥1，
所以p1≤100p2，故D正确．
【难度】中档题
(2023·北京卷，11)已知函数f(x)=4x+lg2x，则f12= ．
【答案】1
【解析】f(12)=412+lg212=2−1=1.
【难度】基础题
(2022·天津卷，6)化简(2lg43＋lg83)(lg32＋lg92)的值为( )
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(1,2)lg23＋\f(1,3)lg23))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg32＋\f(1,2)lg32))＝eq \f(4,3)lg23×eq \f(3,2)lg32＝2.
【难度】基础题
(2022·浙江卷，7)已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b等于( )
A．25 B．5 C.eq \f(25,9) D.eq \f(5,3)
【答案】C
【解析】因为2a＝5，b＝lg83＝eq \f(1,3)lg23，即23b＝3，
所以4a－3b＝eq \f(4a,43b)＝eq \f((2a)2,(23b)2)＝eq \f(52,32)＝eq \f(25,9).
【难度】基础题
(2021·天津卷，7)若2a＝5b＝10，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)等于( )
A．－1 B．lg 7 C．1 D．lg710
【答案】C
【解析】∵2a＝5b＝10，∴a＝lg210，b＝lg510，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg210)＋eq \f(1,lg510)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
【难度】基础题
(2020·新高考全国卷I，6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
得r＝eq \f(R0－1,T)＝eq \f(3.28－1,6)＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即e0.38t2＝2e0.38t1，
所以e0.38(t2－t1)＝2，
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
所以t2－t1＝eq \f(ln 2,0.38)≈eq \f(0.69,0.38)≈1.8.
【难度】基础题
题点3 利用基本初等函数的单调性比较大小
(2025·上海卷，14)设a>0，s∈R.下列各项中，能推出as>a的一项是( )
A.a>1，且s>0
B.a>1，且s1，故A，B错误.
【难度】中档题
(2025·全国I卷，8)已知2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z，则x，y，z的大小关系不可能为( )
A.x>y>zB.x>z>y
C.y>x>zD.y>z>x
【答案】B
【解析】方法一 设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，
令m=2，则x=1，y=3－1=13，z=5－3=1125，此时x>y>z，A有可能；
令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能.
方法二 设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，所以x=2m－2，y=3m－3，z=5m－5，
根据指数函数的单调性，易知各方程有唯一的实数解，
作出函数y=2x－2，y=3x－3，y=5x－5的图象，以上方程的解分别是函数y=2x－2，y=3x－3，y=5x－5的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示.
易知，随着m的变化可能出现x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.
方法三 (数形结合法)
2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z
⇔2+lnxln2=3+lnyln3=5+lnzln5
⇔－1+lnxln2=lnyln3=2+lnzln5，
因此只需比较ln x，ln y，ln z的大小，将ln x，ln y，ln z看作是自变量，作出如图所示的直线，
则图中直线y=－1+lnxln2，y=lnxln3，y=2+lnxln5与虚线的交点的横坐标分别为ln x，ln y，ln z，
由图可知不可能出现ln x>ln z>ln y，即不可能出现x>z>y.
【难度】较难题
(2024·北京卷，9)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点，则( )
A.lg2y1+y22x1+x22
C.lg2y1+y22x1+x2
【答案】B
【解析】因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y=2x的图象上两个不同的点，
所以y1=2x1>0，y2=2x2>0，
因为x1≠x2，则2x1≠2x2，
所以y1+y2=2x1+2x2>22x1·2x2=22x1+x2，
所以y1+y22>2x1+x2>0，
所以lg2y1+y22>lg22x1+x2=x1+x22.
【难度】中档题
(2022·天津卷，5)已知a＝20.7，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.7，c＝lg2eq \f(1,3)，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．a>b>c D．c>a>b
【答案】C
【解析】因为20.7>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.7>0＝lg21>lg2eq \f(1,3)，所以a>b>c.
【难度】基础题
(2021·天津卷，5)设a＝lg20.3，b＝ 0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a