2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题六　三角函数与解三角形（学生版+教师版）

这是一份2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题六　三角函数与解三角形（学生版+教师版），共36页。
(2023·北京卷，13)已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p为假命题的一组α,β的值为α= ，β= ．
(2021·北京卷，14)若点P(cs θ，sin θ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
(2020·北京卷，9)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题点4 单位圆中的数学模型
(2020·北京卷，10)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是( )
A．3neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n))) B．6neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))
C．3neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n))) D．6neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))
知识点二 三角恒等变换
题点1 三角函数式的化简
(2025·上海卷，11)小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A，B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角θ= .(结果用角度制表示，精确到0.01°)
(2024·北京卷，12)在平面直角坐标系Oxy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈π6，π3，则cs β的最大值为 .
(2024·新课标II卷，13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，
tan αtan β＝eq \r(2)＋1，则sin(α＋β)＝________.
(2022·北京卷，13)若函数f(x)＝Asin x－eq \r(3)cs x的一个零点为eq \f(π,3)，则A＝________；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝________.
(2022·新高考Ⅱ卷，6)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1
题点2 给角求值
(2024·全国甲卷理，8)已知eq \f(cs α,cs α－sin α)＝eq \r(3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．2eq \r(3)＋1 B．2eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3),2) D．1－eq \r(3)
(2024·全国甲卷理，11)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝eq \f(π,3)，b2＝eq \f(9,4)ac，则sin A＋sin C等于( )
A.eq \f(2\r(39),13) B.eq \f(\r(39),13) C.eq \f(\r(7),2) D.eq \f(3\r(13),13)
题点3 给值求值
(2025·全国I卷，11)已知△ABC的面积为14，cs 2A+cs 2B+2sin C=2，cs Acs Bsin C=14，则( )
A.sin C=sin2A+sin2BB.AB=2
C.sin A+sin B=62D.AC2+BC2=3
(2025·北京卷，13)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α+β)=sin(α－β)，cs(α+β)≠cs(α－β)，写出满足条件的一组α= ，β= .
(2025·全国Ⅱ卷，8)已知00)是函数y=2tanx−π3的图象的一个对称中心，则a的最小值为( )
A.π6B.π3C.π2D.4π3
(2025·全国Ⅱ卷，15)已知函数f(x)=cs(2x+φ)(0≤φ0，
于是sin C=sin2A+sin2B>cs2B+sin2B=1，这和0c2，则cs C>0，0π2－B，则sin A>sin π2−B，即sin A>cs B，代入sin C=sin2A+sin2B，
有sin C=sin2A+sin2B>cs2B+sin2B=1，与C∈0，π2矛盾，故a2+b2=c2，则C=π2，
即cs C=cs(A+B)=cs Acs B－sin Asin B=0⇒cs Acs B=sin Asin B，又cs Acs Bsin C=14，则sin Asin B=14，
因为S△ABC=12absin C=14⇒ab=12，
所以absinAsinB=(2R)2=2⇒2R=2，所以csinC=2R=2⇒c=2，故B正确；
(sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+12=32⇒sin A+sin B=62，故C正确；
因为C=π2，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误.
【难度】较难题
(2025·北京卷，13)【答案】π2(答案不唯一) π6(答案不唯一)
【解析】因为sin(α+β)=sin(α－β)，cs(α+β)≠cs(α－β)，
所以α+β，α－β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，
故α+β+α－β=π+2kπ，k∈Z且α+β≠π2+lπ，l∈Z，
即α=π2+kπ，k∈Z，
故取α=π2，β=π6可满足题设要求.
【难度】中档题
(2025·全国Ⅱ卷，8)【答案】D
【解析】由题意得cs α=2cs2α2－1=2×552－1=－35，
因为00，
又因为tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝eq \f(1,2)，
则cs θ＝2sin θ，
且cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
解得sin θ＝eq \f(\r(5),5)或sin θ＝－eq \f(\r(5),5)(舍去)，
所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－eq \f(\r(5),5).
【难度】基础题
(2023·新高考全国Ⅰ，8)【答案】B
【解析】因为sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，
而cs αsin β＝eq \f(1,6)，
因此sin αcs β＝eq \f(1,2)，
则sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(2,3)，
所以cs(2α＋2β)＝cs 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(1,9).
【难度】基础题
(2022·浙江卷，13)【答案】eq \f(3\r(10),10) eq \f(4,5)
【解析】因为α＋β＝eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,2)－α，
所以3sin α－sin β＝3sin α－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝3sin α－cs α＝eq \r(10)sin(α－φ)＝eq \r(10)，
其中sin φ＝eq \f(\r(10),10)，cs φ＝eq \f(3\r(10),10).
所以α－φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
所以α＝eq \f(π,2)＋φ＋2kπ，k∈Z，
所以sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ＋2kπ))＝cs φ＝eq \f(3\r(10),10)，k∈Z.
因为sin β＝3sin α－eq \r(10)＝－eq \f(\r(10),10)，
所以cs 2β＝1－2sin2β＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
【难度】中档题
(2021·新高考全国卷I，6)【答案】C
【解析】方法一 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(2,\r(5))，,cs θ＝－\f(1,\r(5))))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝－\f(2,\r(5))，,cs θ＝\f(1,\r(5))，))
所以eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin θsin θ＋cs θ2,sin θ＋cs θ)＝sin θ(sin θ＋cs θ)
＝sin2 θ＋sin θcs θ＝eq \f(4,5)－eq \f(2,5)＝eq \f(2,5).
方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，所以eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin θsin θ＋cs θ2,sin θ＋cs θ)＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin2 θ＋sin θcs θ,sin2 θ＋cs2 θ)＝eq \f(tan2 θ＋tan θ,1＋tan2 θ)＝eq \f(4－2,1＋4)＝eq \f(2,5).
方法三 (正弦化余弦法)因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cs θ.
则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin θsin θ＋cs θ2,sin θ＋cs θ)＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin2 θ＋sin θcs θ,sin2 θ＋cs2 θ)
＝eq \f(4cs2 θ－2cs2 θ,4cs2 θ＋cs2 θ)＝eq \f(4－2,4＋1)＝eq \f(2,5).
【难度】基础题
(2020·江苏卷，8)【答案】eq \f(1,3)
【解析】因为sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3)，
所以eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α)),2)＝eq \f(2,3)，即eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(2,3)，
所以sin 2α＝eq \f(1,3).
【难度】基础题
(2020·浙江卷，13)【答案】－eq \f(3,5) eq \f(1,3)
【解析】由题意，cs 2θ＝cs2θ－sin2θ
＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(1－4,1＋4)＝－eq \f(3,5).
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(tan θ－tan\f(π,4),1＋tan θ·tan\f(π,4))＝eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).
【难度】基础题
知识点三 三角函数的图象和性质
题点1 由图辩式
(2020·新高考全国卷I，10)【答案】BC
【解析】由图象知eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，得T＝π，
所以ω＝eq \f(2π,T)＝2.
又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，
由“五点法”，结合图象可得φ＋eq \f(π,3)＝π，即φ＝eq \f(2π,3)，
所以sin(ωx＋φ)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，故A错误；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))知B正确；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))知C正确；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))知D错误．
【难度】基础题
(2020·新高考全国卷II，11)【答案】BC
【解析】由图象知eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，得T＝π，
所以ω＝eq \f(2π,T)＝2.
又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，
由“五点法”，结合图象可得φ＋eq \f(π,3)＝π，即φ＝eq \f(2π,3)，
所以sin(ωx＋φ)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，故A错误；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))知B正确；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))知C正确；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))知D错误．
【难度】基础题
题点2 三角函数的单调性及应用
(2025·上海卷，5)【答案】[0，1]
【解析】由函数y=f(x)=cs x在−π2，0上单调递增，在0，π4上单调递减，
且f−π2=0，f(0)=1，fπ4=22，
故函数y=cs x在−π2，π4上的值域为[0，1].
【难度】基础题
(2024·新课标I卷，7)【答案】C
【解析】因为函数y＝sin x的最小正周期T＝2π，
函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的最小正周期T1＝eq \f(2π,3)，
所以在x∈[0,2π]上，函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点．
【难度】中档题
(2024·天津卷，7)【答案】A
【解析】f(x)＝sin 3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＝sin(3ωx＋π)＝－sin 3ωx，
由T＝eq \f(2π,3ω)＝π得ω＝eq \f(2,3)，
即f(x)＝－sin 2x，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,6)))时，2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，sin 2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
所以f(x)min＝－eq \f(\r(3),2).
【难度】中档题
(2022·北京卷，5)【答案】C
【解析】依题意可知f(x)＝cs2x－sin2x＝cs 2x.
对于A选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,3)))，函数f(x)＝cs 2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))上单调递增，所以A选项不正确；
对于B选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,12)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，函数f(x)＝cs 2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,12)))上不单调，所以B选项不正确；
对于C选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，函数f(x)＝cs 2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递减，所以C选项正确；
对于D选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,12)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(7π,6)))，函数f(x)＝cs 2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,12)))上不单调，所以D选项不正确．故选C.
【难度】基础题
(2021·新高考全国卷I，4)【答案】A
【解析】方法一 (常规求法)令－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(2π,3).因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))是函数f(x)的单调递增区间．
方法二 (判断单调性法)当0