中考数学一轮复习专题——等腰三角形导学案

这是一份中考数学一轮复习专题——等腰三角形导学案，共24页。学案主要包含了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形及其性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等内容，欢迎下载使用。
考情透析
关键知识
一、等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
1．等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
2．等腰三角形两底角的平分线相等．
3．等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
4．当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
二、等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
1．定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
三、等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
四、等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
2．三个角都相等的三角形是等边三角形．
3．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
五、含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
1．该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
4．在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
等腰三角形的性质
（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °.
【答案】100
【解析】略
1.已知等腰三角形的周长为20，一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为
A．4B．8C．12D．4或12
【答案】
【解析】解：分两种情况：
当腰长为4时，等腰三角形的底边长，
，
不能组成三角形，
当底边长为4时，等腰三角形的腰长，
综上所述：此等腰三角形的底边长为4，
故选：．
2.如图，在中，，于点且，于点，连接，则的长为
A．B．C．5D．6
【答案】
【解析】解：，于点且，
，
，
，
故选：．
3.已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是
A．22B．19C．17D．17或22
【答案】
【解析】解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，，
三角形的周长；
②当9为底边长，4为腰长时，
，
不能构成三角形；
这个三角形的周长是22．
故选：．
4.一个等腰三角形的顶角是，则它的底角的大小是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：
．
故选：．
等腰三角形的判定
（2024·重庆·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2，则AD的长度为______．
【答案】2
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
又∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，
∴∠BDC=180°−∠C−∠CBD=180°−72°−36°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC=2，
∵∠A=36°，∠ABD=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=2，
故答案为：2．
1.如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】解：如图，点与、、重合时，均满足是等腰三角形，
故选：．
2.在中，，，的中垂线交于点，交于点，连接，的角平分线交于点则图中等腰三角形的个数为
A．6B．5C．4D．3
【答案】
【解析】解：，，
，是等腰三角形，
是的中垂线，
，是等腰三角形，
，，
，
，
，是等腰三角形，
平分，，
，
和是等腰三角形．
故选：．
3.如图，，，，则图中等腰三角形有 3 个．
【解析】解：，，，
，
，是等腰三角形，
根据三角形内角和定理知，
，是等腰三角形，
，
，是等腰三角形．
故图中共3个等腰三角形．
故答案为：3．
4.如图，在中，、分别是、边上的高，它们相交于点，且．
求证：是等腰三角形．
【答案】证明见解答过程．
【解析】证明：、分别是、边上的高，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
5.如图，已知中，是的平分线，又是边上的中线，求证：是等腰三角形．
【解析】证明：作于，于，
是的平分线，于，于，
，
是边的中线，
，
在和中，
，
，
．
，
是等腰三角形．

等腰三角形的判定与性质
（2024·江苏省盐城·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=40°，连接OA、OB，则∠OAB= ______°.
【答案】50
【解析】解：∵∠C=40°，
∴∠AOB=80°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴∠OAB=50°，
故答案为：50．
根据圆周角定理可以得到∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以求得∠OAB的度数．
本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
1.如图，已知，截线与直线，分别交于点，，以点为圆心，长为半径作弧交直线于点，连接，若，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：由题意，，
，
，
，
故选：．
2.如图，在中，是上一点，，过点作弦交于，若，则与满足的数量关系是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
故选：．
3.如图，等腰三角形中，，，是的平分线，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
故选：．
4.如图，点是的角平分线上一点，点是上一点，且，若，则线段的长是
A．1.8B．2.5C．3D．2
【答案】
【解析】解：点是的角平分线上一点，
，
，
，
，
．
故选：．
等边三角形的性质
（2024·山东省泰安·中考真题）如图，直线l//m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是( )
A. 45°
B. 39°
C. 29°
D. 21°
【答案】B
【解析】解：如图，过点A作AF/​/l，
∵直线l/​/m，
∴AF//m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AF//l，
∴∠BAF=∠ABE，
∵∠ABE=21°，
∴∠BAF=21°，
∴∠CAF=∠BAC−∠BAF=60°−21°=39°，
∵AF//m，
∴∠ACD=∠CAF=39°，
故选：B．
过点A作AF/​/l，由平行公理的推论得出AF//m，根据平行线的性质得出∠BAF=∠ABE，∠ACD=∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°，即可求出∠ACD的度数．
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
1.如图，在等边三角形中，于点，点是延长线上一点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：是等边三角形，，
，
，
，
故选：．
2.如图，已知等边，直线，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
直线，，
，
，
，
故选：．
3.如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则 的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：是等边三角形，
．
，
，
，
，
，
，
故选：．
4.如图，在正三角形中，，，，则的面积是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：作于，于，交延长线于，
是等边三角形，
，，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，，，
，
的面积．
故选：．

等边三角形的判定
若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】解：已知一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，
则角平分线分成的两个三角形全等，
则这两个角所在的边均相等，
即三边相等，
所以这是一个等边三角形．
故选：．
1.如图，在中，为延长线上的一点，，．求证：是等边三角形．
【答案】证明过程见解析．
【解析】证明：，
，
，
，
，
是等边三角形．
2.如图，已知为的中点，，，点，为垂足，且，，求证：是等边三角形．
【解析】证明：是的中点，
，
，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
，
（等角对等边）．
，，
，
是等边三角形．
3.如图，，平分，且，若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有
A．2个以上B．2个C．1个D．0个
【答案】
【解析】解：如图，在射线上取点，使得，
在射线上取点，使得，
在射线上取点，使得，
平分，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
为等边三角形．
满足题目条件的有无数个．
故选：．
4.如图，在中，，，为边上的中线．求证：是等边三角形．
【解析】证明：，，
，
为边上的中线，
，
，
是等边三角形．
等边三角形的判定与性质
（2024·江苏省镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l= (结果保留π)．
【答案】13π
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，
由题意得：AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∵AB=1，
∴l=60π×1180=13π.
故答案为：13π.
1.如图，为等边三角形，交于点，交于点．
（1）求证：是等边三角形．
（2）求证：．
【解析】证明：（1）为等边三角形，
．
，
，．
是等边三角形．
（2）为等边三角形，
．
平分，
．
是等边三角形，
．
．
2.如图，在等边中，点在边上，过点作交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【解析】（1）解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
．
3.已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中，正确的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
，
，故选项①正确；
，由得：，
，故选项②正确；
由得：，
是的外角，
，
又是的外角，
，故选项③正确；
在和中，
，
，
，故选项④正确；
，
为等腰三角形，，
是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：．
4.将两个直角三角板如图放置，其中，，．如果点是的中点，与交于点，则的度数为 120 ．
【答案】120．
【解析】解；，点是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：120．
含30度角的直角三角形
（2024·四川省南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，
tanB=ACBC，
∴AC= 33×6=2 3．
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=12×60°=30°．
在Rt△ACD中，
tan∠CAD=CDAC，
∴CD= 33×2 3=2．
∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，
∴点D到AB边的距离等于线段CD的长，
即线段DE长度的最小值为2．
故选：C．
1.如图，在中，，，，点为的中点，于点，则的长是
A．1B．C．3D．6
【答案】
【解析】解：，，点为的中点，
，
，
，
是等边三角形，
于点，
．
故选：．
2.如图，三角形中，，是高，，，BD的长为
A．1B．2C．2.5D．3
【答案】
【解析】解：，，，
，，
，
，
，
，
故选：．
3.如图，在中，，，为上一点，，则BD的长为
A．8B．7C．6D．10
【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
4.将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：交于，交于，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
中考考点
考查频率
新课标要求
等腰三角形的性质与判定
★★★
理解等腰三角形的概念.
探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
等边三角形的性质与判定
★★★
探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.
探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形.
线段垂直平分线的性质与判定定理
★★
理解线段垂直平分线的概念，
探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
此部分内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.