中考数学一轮复习专题——全等三角形导学案

这是一份中考数学一轮复习专题——全等三角形导学案，共27页。学案主要包含了全等图形，全等三角形的性质与判定等内容，欢迎下载使用。
考情透析
关键知识
一、全等图形、全等三角形
1．全等图形的概念
能完全重合的图形叫做全等图形．
特征：①形状相同；②大小相等；③对应边相等、对应角相等．
2．全等三角形的概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
二、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．
3．判定：
（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）；
（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）；
（3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）；
（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）；
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）．
4．角平分线
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等．
全等图形
（2024·陕西·中考真题）小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠.如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则m= ______．
【答案】12
【解析】解：∵正m边形的一个内角的度数为360°−60°2=150°，
∴150°m=(m−2)×180°，
解得m=12．
故答案为：12．
1.在如图所示的方格中，连接、，则 90 度．
【解析】解：
在和中，，
，
，即可得．
故答案为：90．
2.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 ．
【解析】解：如图所示：
由题意可得：，
则．
故答案为：．
3.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 ．
【解析】解：如图所示：在和中，
，
，
，
则．
故答案为：．
4.如图，在的正方形网格中标出了和，则 ．
【解析】解：如图所示，作，连接，
则，
设每个小正方形的边长为，
则，，，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
故答案为：．
全等三角形的性质
（2024·四川省成都·中考真题）如图△ABC≌△CDE，若∠D=35∘，∠ACB=45∘，则∠DCE的度数为 ．
【答案】100∘
【解析】略
1.如图，，，则的对应角为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，
，
的对应角是，
故选：．
2.如图，，，，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
3.如图，，点在上，，，，四点在同一条直线上．若，，则下列结论正确的是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】解：，
，，，，，，
，，
，
，
，
，
，故，错误，不符合题意；
，
得不出，故正确，符合题意；
得不出，故错误，不符合题意．
故选：．
4.如图，，的对应顶点是，的对应顶点是，若，，，则的长为
A．3B．7C．8D．以上都不对
【答案】
【解析】解：，的对应顶点是，的对应顶点是，知和是对应边，，
．
故选：．
5.如图，已知，平分，若，，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，，
，，
，
在四边形中，，
，
平分，
，
，
故选：．

全等三角形的判定
（2024·山东省德州·中考真题）如图，C与AB的中点，且CD=BE，请添加一个条件______，使得△ACD≌△CBE．
【答案】AD=CE或∠A=∠BCE
【解析】解：添加AD=CE或∠A=∠BCE后可分别根据SSS、SAS判定△ACD≌△CBE．
故答案为：AD=CE或∠A=∠BCE．
要使△ACD≌△CBE，已知CD=BE，可求AC=CB，则可以添加一个边从而利用SSS来判定其全等，或添加一个夹角从而利用SAS来判定其全等．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
1.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加时，不能判定，故选项符合题意；
故选：．
2.如图，，，下列四个条件中再添加一个，不能判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：、添加条件不能判定，故说法符合题意；
、添加条件判定用的判定方法是，故说法不符合题意；
、添加条件判定用的判定方法是，故说法不符合题意；
、添加条件判定用的判定方法是，故说法不符合题意；
故选：．
3.如图，，点、分别在、上，补充一个条件后，仍不能判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
故选：．
4.如图所示，，，要使，需添加条件
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，，
要使，需添加的条件为，
又，
即，
可添加的条件为或．
综合各选项，选项符合．
故选：．
直角三角形全等的判定
（2024·山东省济南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F.求证：AF=CE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵AE⊥CD CF⊥AD，
∴∠AED=∠CFD=90°，
在△AED与△CFD中，
∠AED=∠CFD∠D=∠DAD=CD
∴△AED≌△CFD(AAS)，
∴DE=DF，
∴AD−DF=CD−DE，
∴AF=CE．
【解析】根据菱形的性质得到AD=CD，根据垂直的定义得到∠AED=∠CFD=90°，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
1.如图，于点，于点，．要根据证明，则还需要添加的条件是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：于点，于点，
，
，
当添加时，根据“”判断．
故选：．
2.如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
，
故选：．
3.如图，在中，于，于，与相交于点，若，则 45 度．
【解析】解：于，于
，，
又（对顶角相等）
，
在和中，
，
，
，
即．
故答案为：45．
4.如图，在四边形中，，，于点，且四边形的面积为9，则 3 ．
【解析】解：过作垂直的延长线交于点，，，
，；
又，，且，
，即；
，，，
四边形为正方形；
由以上得四边形的面积等于正方形的面积，即等于9，
，即．

全等三角形的判定与性质
（2024·广东省广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( )
A. 18B. 9 2C. 9D. 6 2
【答案】C
【解析】解：如图，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠BAD=∠C=45°，S△ABC=12×6×6=18，
在△ADE和△CDF中，
AD=CD∠BAD=∠CAE=CF ，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴S△ADE=S△CDF，
∴四边形AEDF的面积=S△ADC=12S△ABC=9，
故选：C．
由等腰直角三角形的性质可得AD=BD=CD，∠BAD=∠C=45°，S△ABC=12×6×6=18，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得S△ADE=S△CDF，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
1.如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【解析】解：，
，即，
在和中，
，
，
．
故①正确；
，
，
、，
，
，
故②正确；
分别过作、垂足分别为、，
，
，
，
，
，
平分，无法证明平分．
故③错误；
平分，，
，
故④正确．
故选：．
2.如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，，
当时，由可得，故不符合题意；
当时，则，由可得，故不符合题意；
当时，则，由可得，故不符合题意；
当时，不能得出，故符合题意；
故选：．
3.如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：作于点，
平分，于点，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且，，
，
，
故选：．
4.如图，是的角平分线，于，、分别是边、上的点，．若和的面积分别为30和16，则的面积是
A．22B．23C．24D．25
【答案】
【解析】解：过作于，
是的角平分线，于，
，，
在与中，
，
，
在与中，
，
，
，，
和的面积分别为30和16，
，
，
，
故选：．
全等三角形的应用
如图，点、、、在直线上（F、C之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【解析】（1）证明：，
，
在与中
；
（2），
，
，
，
，，
．
1.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
，
故选：．
2.如图，要测量河中礁石离岸边点的距离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取一线段，作，，可得△，所以，因此测量的的长就是的长，判定图中两三角形全等的理由是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：在△和中，
，
△．
故选：．
3.一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知，，，为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，李明很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为 ．
【答案】．
【解析】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在中，
，
，
解得；或（舍去），
故答案为：．
4.如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，则当点的运动速度为 1或1.5 时，与有可能全等．
【解析】解：设点的运动速度是，
，
与全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
则，
解得：；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：1或1.5．
角平分线的性质
（2024·四川省绵阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】B
【解析】解：过D作DF⊥AB于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∵△ABD的面积为5，
∴12AB⋅DF=5，
∵AB=5，
∴DF=2，
∴DE=2；
故选：B．
过D作DF⊥AB于F，根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，得DE=DF，由△ABD的面积为5，AB=5，可得DF=2，故DE=2．
本题考查角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
1.如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：点到三边，，的距离，
、是、的角平分线，
，，
，
，
，
．
故选：．
2.在中，，，平分线交于点，若，则长为
A．B．6C．D．8
【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
3.如图中，平分，，，，则的面积为
A．2B．3C．4D．6
【答案】
【解析】解：过点作于点，如图所示：
平分，，，
，
，
的面积，
故选：．
4.如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：延长，作，，，
设，
平分，
，，
平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故选：．

线段垂直平分线的性质
（2024·江苏省常州·中考真题）
如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )
A. d1与d2一定相等B. d1与d2一定不相等
C. l1与l2一定相等D. l1与l2一定不相等
【答案】A
【解析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作OA,OB的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到PE=PF，由平行线间间距相等可知d1=PB,d2=PE，则d1=d2，而l1和l2的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P分别作OA,OB的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴PE=PF，
由平行线间间距相等可知d1=PB,d2=PE，
∴d1=d2，
由于l1和l2的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
1.如图所示，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，且，，则的周长是
A．10B．11C．12D．13
【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长
，
故选：．
2.如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的周长是
A．5B．10C．15D．20
【答案】
【解析】解：的垂直平分线交于点，
，
的垂直平分线交于点．
，
的周长．
故选：．
3.如图，在中，，，，分别以点，为圆心，，为半径画弧，两弧交于一点，连接线段交于点，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：在中，，，，
则，
由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
由勾股定理得：，
故选：．
4.如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于，两点，则的周长等于
A．12B．14C．16D．17
【答案】
【解析】解：在中，，，，
则，
是的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
中考考点
考查频率
新课标要求
全等三角形及其性质
★
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
全等三角形的判定
★★★
掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等；
证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
角平分线的性质
★★
探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主．常结合四边形综合考查．