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中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第27讲等腰三角形（原卷版）学案

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这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第27讲等腰三角形（原卷版）学案，共11页。学案主要包含了等腰三角形，等腰三角形的多解问题，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质运用等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习讲义

考点二十七：等腰三角形

聚焦考点☆温习理解

一、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

(2)等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角)。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二.等边三角形

1.定义

三条边都相等的三角形是等边三角形.

2.性质：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

3.判定

三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

三.线段垂直平分线

1.定义

垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

2.性质

线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等

3.判定

到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、等腰三角形的性质

【例1】(2019•浙江杭州•8分)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．

(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．

(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．

【举一反三】

如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是(　　)

A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°

考点典例二、等腰三角形的多解问题

【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为．

【举一反三】

(湖南省衡阳市2017-2018学年八年级上期末模拟)等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是( )

A. 35° B. 20° C. 35°或20° D. 无法确定

考点典例三、等边三角形的性质与判定

【例3】(2019▪黑龙江哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　　．

【举一反三】

(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟)如图所示，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则对下面四个结论判断正确的是( )

①点P在∠BAC的平分线上， ②AS=AR， ③QP∥AR， ④△BRP≌△QSP.

A. 全部正确; B. 仅①和②正确; C. 仅②③正确; D. 仅①和③正确

考点典例四、线段垂直平分线的性质运用

【例3】．(2019•攀枝花)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：

(1)点D在BE的垂直平分线上；

(2)∠BEC＝3∠ABE．

【举一反三】

(2018广西钦州市中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于( )

A. 2 B. C. D.

课时作业☆能力提升

一、选择题

1. (2018年湖北省松滋市中考模拟试题(一))如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为(　　)

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20

2. (2018黑龙江大庆)如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为( )

A. 30° B. 15° C. 45° D. 25°

3. (2019•浙江衢州•3分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是( )

A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°

4. (2019•天水)如图，等边的边长为2，则点的坐标为

A． B．
C． D．

5. (2019•滨州)如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为

A．4 B．3 C．2 D．1

6．在平面直角坐标系中，点A(，)，B(，)，动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

7.(浙江省上杭县2019学年模拟)如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是( )

A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形

二、填空题

8. (2018广州市黄埔区中考数学一模)如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC=12，CD=4，那么BF的长度为_ _ ．

9. （2019•重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC′沿BD翻折，得到

，DC与AB交于点E，连接，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为

A． B． C． D．

∵，∴，∴，故选B．

10. ((2019▪黑龙江哈尔滨▪3分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　　．

11. (2019四川巴中)如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP

＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝　　．

12. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)已知□ABCD中，AB=4，与的角平分线交AD边于点E，F，且EF=3，则边AD的长为_______．

13. (2017新疆建设兵团第15题)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：

①∠ABC=∠ADC；

②AC与BD相互平分；

③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；

④四边形ABCD的面积S=AC•BD．

正确的是　　(填写所有正确结论的序号)

14. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．

15. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

16. (2019四川自贡)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如

图所示，则cos(α+β)＝　　．

三、解答题

17. (2019•苏州)如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．

(1)求证：；

(2)若，，求的度数．

19. 如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．

(1)求证：OB=DC；

(2)求∠DCO的大小；

(3)设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．

20. (2017内蒙古呼和浩特)如图，等腰三角形中，，分别是两腰上的中线．

(1)求证：；

(2)设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．

21. （山东省淄博市2018年）(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．