【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题19 等腰三角形（原卷版＋解析版）

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技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形
技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用
【题型】一、等腰三角形的定义
【题型】二、根据等边对等角求角度
【题型】三、根据三线合一求解
【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形
【题型】五、根据等角对等边求边长
【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合
【题型】七、等边三角形的性质
【题型】八、含30°角的直角三角形
【考纲要求】
1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
3.掌握线段中垂线的性质及判定．
【考点总结】一、等腰三角形
【考点总结】二、等边三角形
【考点总结】三、直角三角形
【技巧归纳】
技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
【类型】一、作“三线”中的“一线”
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
【类型】二、作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
【类型】三、截长补短法
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.
【类型】四、加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形
【类型】一、直接运用含30°角的直角三角形的性质
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝( )
A.eq \r(3) B．2 C．3 D.eq \r(3)＋2
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4 cm.求BC的长．
【类型】二、连线段构造含30°角的直角三角形
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE＝8，求CE的长．
4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E.求证：CE＝2BE.
【类型】三、延长两边构造含30°角的直角三角形
5．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．
【类型】四、作垂线构造含30°角的直角三角形
6．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC.
技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用
【类型】一、当顶角或底角不确定时，分类讨论
1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )
A．40° B．100° C．40°或70° D．40°或100°
2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq \f(1,2)BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为( )
A．45° B．75° C．45°或75° D．65°
3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．
【类型】二、当底和腰不确定时，分类讨论
4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
5．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．
6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．
【类型】三、当高的位置关系不确定时，分类讨论
7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
【类型】四、由腰的垂直平分线引起的分类讨论
8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．
【类型】五、由腰上的中线引起的分类讨论
9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．
【类型】六、点的位置不确定引起的分类讨论
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
【题型讲解】
【题型】一、等腰三角形的定义
例1、已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9B．17或22C．17D．22
【题型】二、根据等边对等角求角度
例2、如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【题型】三、根据三线合一求解
例3、如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形
例4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=50°B．∠A=2∠B=70°
C．∠A=40°，∠B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14
【题型】五、根据等角对等边求边长
例5、如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合
例6、如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．
【题型】七、等边三角形的性质
例7、如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【题型】八、含30°角的直角三角形
例8、如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
等腰三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．如图，在中，，，，用图示尺规作图的方法在边上确定一点．则的周长为（ ）．
A．12B．14C．16D．21
3．下列命题，错误的是（ ）
A．有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
B．如果∠A和∠B是对顶角，那么∠A＝∠B
C．等腰三角形两腰上的高相等
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
4．如图，点，在上，，．添加一个条件，不一定能证明的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（ ）
A．8B．15C．16D．24
二、填空题
6．如图，在中，，平分，，点到的距离为5.6，则___．
7．如图，在中，，于点E，于点D，请你添加一个条件__________，使（填一个即可）．
三、解答题
8．如图，E、F分别是矩形ABCD对角线上的两点，且．求证：．
等腰三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，CFBA，若△ADE的面积为2，则四边形BCFD的面积为（ ）
A．10B．8C．6D．4
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A．2B．3C．4D．5
4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上，，AG交BF于点H，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个．
二、填空题
5．如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为______．
6．正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则______．
三、解答题
7．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为的中点，连接、．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数．
8．如图，在四边形中，点在边上，，，作交线段于点，连接，求证：．
等腰三角形
等腰三角形概念
有两边相等的三角形角等腰三角形。
等腰三角形性质
1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
等边三角形
等边三角形概念
三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线： = 1 \* GB3 ①三线合一； = 2 \* GB3 ②过中点做平行线
直角三角形
直角三角形性质
①直角三角形的两锐角互余;
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;
③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.
直角三角形判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
勾股定理及其逆定理
①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;
②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.