中考数学一轮复习专题——相似三角形导学案

这是一份中考数学一轮复习专题——相似三角形导学案，共24页。学案主要包含了相似图形及比例线段，相似三角形等内容，欢迎下载使用。
考情透析
关键知识
一、相似图形及比例线段
1．相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形．
2．相似多边形
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形．
特征：对应角相等，对应边成比例．
3．比例线段的定义
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
4．比例线段的性质
（1）基本性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d) ad＝bc；
（2）合比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d) eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)；
（3）等比性质：
若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)（b＋d＋…＋n≠0），那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b)．
5．黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
二、相似三角形
1．定义
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）两角对应相等，两三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（4）三边对应成比例，两三角形相似；
（5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3．性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
平行线分线段成比例
（2024·哈尔滨·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AB上，EF/​/AD交CD于点F，若AE：BE=1：2，DF=3，则FC的长为( )
A. 6B. 3C. 5D. 9
【答案】A
【解析】解：∵在四边形ABCD中，AD//BC，EF//AD，
∴AD/​/EF/​/BC，
∴AEEB=DFFC，
即12=3FC，
解得FC=6，
故选：A．
根据平行线分线段成比例即可解答．
本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
1.如图，在四边形中，，，，，则线段的长为
A．5B．6C．8D．10
【答案】
【解析】解：，
，
，，，
，
，
．
故选：．
2.如图，在中，，，，，则的长为
A．2B．4C．6D．8
【解析】解：，
，即，
解得：，
；
故选：．
3.如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则
A．7.2B．6.4C．3.6D．2.4
【答案】
【解析】解：，
，即，
解得，，
故选：．
4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
．
故选：．
相似三角形的性质
（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是( )
A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：16
【答案】D
【解析】解：若两个相似三角形的相似比为1：4，
则这两个三角形面积的比是1：16，
故选：D．
根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
1.如图，，若，，那么
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，，
．
在中，
，，
即，
．
故选：．
2.如图，，，，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，
，
，
，
或（不符合题意，舍去）
，
．
故选：．
3.两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：两个相似三角形的相似比是，
其面积之比是，
故选：．
4.如图，，若，，，则的长是
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】解：，
，即，
解得．
故选：．

相似三角形的判定
（2024·山东省滨州·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 .(写出一种情况即可)
【答案】∠ADE=∠C(答案不唯一)
【解析】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴添加条件：∠ADE=∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE=∠C(答案不唯一)．
由相似三角形的判定方法，即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
1.如图，在与中，，要使与相似，还需满足下列条件中的
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
2.如图，在中，，，平分，，连接交于点，则图中与相似的三角形有
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】
【解析】解：，
．
，，平分，
，，
．
有5个三角形与相似，
故选：．
3.如图，已知点是的边上的一点，根据下列条件，可以得到的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：当，
又，
，
即时，可以得到．
故选：．
4.如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是
A．平分B．C．D．
【答案】
【解析】解：在和中，，
如果，需满足的条件有：
①或是的平分线；
②；
故选：．
相似三角形的判定与性质
（2024·山东省德州·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E.若AB：BC=3：4，则BF：FD为( )
A. 5：3
B. 5：4
C. 4：3
D. 2：1
【答案】A
【解析】解：∵AB：BC=3：4，
∴设AB=3x，BC=4x，
∵∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠ABC=90°，
∵∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴3x5x=AD3x，
∴AD=95x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠AEB=∠AFD，
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∵∠ABE=∠ADF=90°，
∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴BEDF=ABAD，
∴BFDF=ABAD=3x95x=53，
故选：A．
设AB=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC= AB2+BC2=5x，根据相似三角形的性质得到AD=95x，根据等腰三角形的性质得到BE=BF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
1.如图，点是的边上的一点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：，，
，，，，，
，
选项、、正确，错误；
故选：．
2.如图，点是平行四边形边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：根据题意知：，，
，，，
，，中的结论正确，中结论错误，
故选：．
3.如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
4.如图，在中，，，延长到点，使得，若点是的中点，则的长为
A．2B．1C．3D．4
【答案】
【解析】解：点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．

相似三角形的应用
（2024·江苏省镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是( )
A. 4.5米B. 4米C. 3.5米D. 2.5米
【答案】D
【解析】解：设返回过程中小杰身高为FH，
由FH//AB//EC，
得GHGB=FHAB=ECAB=DCDB，
由GB