2025-2026学年下学期河北衡水中学高三数学4月综合素质评价三试卷含答案

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注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷 (共 58 分)
一、单选题(共 8 个小题, 每题 5 分, 共 40 分)
1. 已知集合 M=x x2−3x≤0,N=x y=x−1 ，则 M∩N= ( )
A. 0,3 B. 1,3 C. [0,3) D. (1,3]
2. 已知向量 a=1,−4,b=2,3 ，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为( )
A. 1013,1513 B. −1013,−1513 C. −2013,−3013 D. 2013,3013
3. 已知 z=z−2,z 为虚数，则 z⋅z 的值可能为( )
A. -1 B. 1 C. 0 D. 2
4. 一个圆台的母线长为 13 ，上、下底面的半径分别为 2,5 ，则圆台的体积为( )
A. 26π B. 32π C. 78π D. 86π
5. 已知 00 的焦距为 2c ,若 a2、b2、c2 成等差数列,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±2x B. y=±22x
C. y=±x
D. y=±33x
7. 已知 y=fx 满足 fx+1=f1−x,fx+2=fx+2 ,且当 x∈0,1 时, fx=ex ,则 f20232 的值为( )
A. e12+1011 B. e12+1010 C. e12+1011 D. e12+1010
8. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，圆 M:x+12+y2=16 与 C 交于 A,B 两点，若直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为 -3,则 AF= ( )
A. 3 B. 72 C. 4 D. 5
二、多选题(每题 6 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是( )
A. 样本相关系数 r 越大,则线性相关性越强
B.1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是 15
C. 随机变量 X 的方差 DX=20 ,期望 EX=6 ,则 EX2=16
D. 某班 30 个男生的数学平均分为 90 , 方差为 4 , 20 个女生的数学平均分为 85 , 方差为 6 , 则全班 50 个学生的数学成绩的方差为 10.8
10. 已知 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,长轴长为 6,点 M6,1 在椭圆 C 外,点 N 在椭圆 C 上，则下列说法中正确的有( )
A. NF1+NF2NF1⋅NF2 的最小值为 1
B. 椭圆 C 的离心率的取值范围是 63,1
C. 椭圆 C 上存在点 Q 使得 QF1⋅QF2=0
D. 已知 E0,−2 ,椭圆 C 的离心率为 223 ,则 NE 的最大值为 362
11. 定义:若函数 fx 在区间 a,b 的值域为 a,b ，则称区间 a,b 是函数 fx 的“完美区间”. 另外,定义区间 a,b 的 “复区间长度”为 2b−a . 已知函数 fx=x2−1 ，则下列说法中正确的是:( )
A. 0,1 是 fx 的一个“完美区间”
B. 1−52,1+52 是 fx 的一个“完美区间”
C. fx 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3+5
D. fx 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3+25
第 II 卷 (共 92 分)
三、填空题(每题 5 分，共 15 分)
12. 已知 4a=2 ，则 lg2a= _____.
13. 甲、乙、丙等 5 名同学站一排照相合影, 要求甲与乙之间有一人, 丙与甲不相邻, 丙与乙相邻, 则不同的排法有_____种。
14. 已知正实数 x,y 满足 2x+4x2+1y2+4−2=y ，则 x2ey 的最小值为_____.
四、解答题 (共 5 题, 满分 77 分)
15. 已知数列 an 满足 a1=2,an=nan+1−ann∈N∗ .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) 设 bn=1an2−1 ，求数列 bn 的前 n 项和为 Sn .
16. AI 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了 200 位顾客购买 AI 手机的情况，得到数据如下表.
(1)根据表中数据，判断是否有 99%的把握认为购买 AI 手机与顾客的性别有关？并说明理由；
(2)为促进 AI 手机的销量，该商场为购买 AI 手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励 200 元、 100 元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为 16 和 13 ，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次,且两次抽奖相互独立. 记某位顾客两次抽中的奖金之和为 X 元,求随机变量 X 的数学期望.
参考公式及数据: ○χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中 n=a+b+c+d .
② Pχ2≥6.635≈0.01, Pχ2≥5.024≈0.025, Pχ2≥3.841≈0.05, Pχ2≥2.706≈0.1 .
17. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin2A1+cs2A=csB−csCsinC−sinB .
(1)求 csA 的值；
(2)若 D 是边 BC 上一点， AD=DC=2BD ， c=1 ，求 △ABC 的周长.
18. 对于函数 fx ,若 fx0=x0 ,则称实数 x0 为函数 fx 的不动点,设函数 fx=lg24x−a⋅2x+1+2 , gx=12x.
(1)若 a=1 ，求函数 fx 的不动点；
(2)若函数 fx 在区间 −1,1 上存在两个不动点，求实数 a 的取值范围；
(3)若对任意的 x1,x2∈−1,0 ，不等式 fx1−gx2≤2 恒成立，求实数 a 的取值范围.
19. 如图(1)，已知抛物线 E:x2=2y 的焦点为 F ，准线为 l ，过点 F 的动直线 m 与 E 交于 A ， B 两点(其中点 A 在第一象限),以 AB 为直径的圆与准线 l 相切于点 C,D 为弦 AB 上任意一点,现将 △ACB 沿 CD 折成直二面角 A′−CD−B ，如图(2).

图(1)

图(2)
(1)证明: cs∠A′CB=cs∠A′CD⋅cs∠BCD ；
(2)当 ∠A′CB 最小时，
① 求 A′ ， B 两点间的最小距离；
② 当 A′ ， B 两点间的距离最小时，在三棱锥 A′−BCD 内部放一圆柱，使圆柱底面在面 BCD 上，求圆柱体积的最大值.
《2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价三》参考答案
12. -2
因为 4a=2 ,所以 a=lg42=14 ,所以 lg2a=lg214=−2 .
故答案为: -2
13. 8
先安排甲、乙，有 A22 种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有 C21 种方法;
又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有 C21 种方法；
所以不同的排法共有 A22C21C21=8 (种) 排法.
故答案为: 8
14. e24
由 2x+4x2+1y2+4−2=y,x,y>0 ,
整理得 2x+4x2+1=yy2+4−2=yy2+4+2y2=y2+4+2y ,
化简得: 2x+2x2+1=1+2y2+2y ,
设函数 ft=t+t2+1 ,可知函数 ft 在 0,+∞ 内单调递增,
由 f2x=f2y 可得 2x=2y ,即 y=1x ,代入 x2ey 得 x2e1x ,
令 Fx=x2e1xx>0,F′x=e1x2x−1 ,
令 F′x=0 ,解得 x=12 ,
当 06.635 ，所以否定原假设，即有 99%的把握认为购买 AI 手机与顾客的性别有关.
(2)法 1: X 可取值0,100,200,300,400，
而 PX=0=1−16−132=14,PX=100=2×1−16−13×13=13 ,
PX=200=21−16−13×16+13×13=518,PX=300=2×13×16=19,
PX=400=16×16=136,
故 X 的分布为 0100200300400141351819136 ,
期望 EX=100×13+200×518+300×19+400×136=4003 .
法 2: 设第 j 次抽中奖金为 Xjj=1,2 ,由题设可得 Xj 的分布为 0100200121316 ,
从而 EXj=2003 ,而 X1,X2 相互独立,故 EX=EX1+EX2=4003 .
17. 1csA=12
(2) 3+3
(1)由题意知, sinC−sinB≠0 ,即 b≠c ,即 B≠C .
因为 sin2A1+cs2A=csB−csCsinC−sinB ,所以 2sinAcsA2cs2A=sinAcsA=csB−csCsinC−sinB ,
即 sinAsinC−sinAsinB=csAcsB−csAcsC ,
所以 csA−B=csA−C ,
又 −π