2025-2026学年下学期浙江台州高三数学4月二模试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期浙江台州高三数学4月二模试卷含答案，文件包含英语演练附中8次一模pdf、英语答案附中8次一模pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分(共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知 an 为等比数列， a3=2 ， a7=32 ，则 a5=
A. 8 B. 12 C. 16 D. 17
2. 已知 α 为第二象限角,且 tanα=−3 ,则 csα=
A. 12 B. 12 c. 32 D. −32
3. 设一个随机事件的样本空间为 Ω ,事件 A,B⊆Ω ,则下列结论中不一定成立的是
A. 0≤PA≤1 B. PA+PA=1
C. 若 A⊆B ,则 PA≤PB D. 若 A∪B=Ω ,则 PA+PB=1
4. 已知实数 a,b>1 ,若 lgab=2,lg2ba=13 ,则 lg4ab=
A. 14 B. 13 c. 12 D. 1
5. 已知一个圆锥的底面半径为 3 ，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是
A. 体积为 3π B. 表面积为 23π
C. 两条母线的夹角的最大值为 π3 D. 过顶点的截面面积的最大值为 2
6. 已知点 A1,1,B1,−1 ,点 P 是抛物线 C:y2=x 上的动点 (异于 A,B 两点),记直线 AP 的斜率为 k1 ,直线 BP 的斜率为 k2 ,则下列结论正确的是
A. k1−k2 为定值 B. k1+k2 为定值 c. 1k1−1k2 为定值 D. 1k1+1k2 为定值
7. 设复数 z1,z2 是关于 x 的方程 x2+mx+1=0m∈R 的两个根, z1,z2 在复平面内所对应的点分别为 Z1,Z2,O 为坐标原点,若 OZ1⋅OZ2=0 ,则下列结论正确的是
A. z1⋅z2=0 B. z12+z22=0 C. z1≠z2 D. z1+z2 为纯虚数
8. 已知数列 an 共有 5 项,各项均为正整数,且对 ∀n∈{1,2,3,4} ,满足 an+1−an=1 ,若 kk∈N∗ 为数列 an 中的项,记满足题意的数列 an 的个数为 Ak ,则 A2−A1=
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知函数 fx=3sin2x−π3+1 ,则
A. fx 的最小正周期为 2π
B. fπ3=fπ2
C. fx 的值域为 −2,4 D. π6,0 是 fx 图象的一个对称中心
10. 设 x2+3x+23=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,akk∈{0,1,2,⋯,6} 为常数,则
A. a0=8 B. a4=33
C. a2+a4+a6=108 D. a1+a3+a5=108
11. 已知正四面体 A−BCD 的棱长为 4,顶点 B,C,D 在平面 α 的同侧,点 A∈α ,顶点 B,C 到平面 α 的距离分别为 1,2,直线 BC 与平面 α 交于点 E ,则
A. 直线 AC 与平面 α 所成角为 π6 B. 平面 ABC 与平面 α 所成角为 π3
C. AC⊥AE D. 点 D 到平面 α 的距离为 1+22
非选择题部分(共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知平面向量 a=1,2,b=x,y−1,x,y∈R ,若 a//b ,则 x2+y2 的最小值为_____
13. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在双曲线 C 上， O 为坐标原点， PF1=2PF2=42 ， OP=17 ，则双曲线 C 的离心率为_____▲_____.
14. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的 2 个白球和 4 个黑球, 现操作如下:从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球, 则放进一个白球, 黑球不放回 (其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异). 依此规则操作 2 次，记袋中的白球个数为 X ，则 X 的数学期望为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，满足
3asinB+bcsA=2b .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a=2,bc=83 ，求 △ABC 的周长.

(第 16 题)
16.(15分)如图，在四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中，上、下底面均为正方形， AA1⊥ 底面 ABCD ， AB=2,A1B1=1,AA1=2 ,点 E 为棱 CC1 的中点.
(1)求证: AC1// 平面 BDE ；
(2)求平面 ABC1 与平面 BDE 夹角的正弦值.
17.(15 分)2016-2024 年我国的国内生产总值(GDP)的数据(摘自《中国统计年鉴一2025》) 如下:
由以上数据,得到 x 与 y 的 9 对样本数据为 x1,y1,x2,y2,⋯,x9,y9 ,有关计
算结果如下: x=2020,y=105.5,i=19xiyi−9x⋅yi=19xi−x2=7.552 .
(1)证明: i=19xi−xyi−y=i=19xiyi−9x⋅y ;
(2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出 2025 年的 GDP 预测值与实际值的误差. (注: 从《中国统计年鉴一2025》中查得 2025 年的 GDP 为 140.19 万亿元.)
附:一元线性回归方程 y=bx+a ，其中 b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2 .
18.(17 分)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ，右焦点为 F1,0 ，点 P2,−1 ，点 T 是椭圆 C 上位于第四象限内的任意一点.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)过点 P 作椭圆 C 的两条切线 l1,l2 ，过点 T 作椭圆 C 的切线 l,l 与 l1,l2 的交点分别为 M,N ，
(i) 求切线 l1,l2 的方程;
(ii) 问 ∠MFN 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
19.(17分)已知 a∈R ，函数 fx=lnx+x2−ax .
(1)当 a=3 时，求函数 fx 的极小值；
(2)证明:当 a≤22−1 时，对任意 x1,x2∈0,+∞ ，都有 fx1−fx2≥x1−x2 ；
(3)若存在 x1,x2∈0,+∞ ， x1−x2≥2 ，使得 fx1=fx2 成立，求实数 a 的取值范围.
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 15 13. 62 14. 239
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)解:(1)已知 3asinB+bcsA=2b ，由正弦定理得， 3sinAsinB+sinBcsA=2sinB ,化简得 3sinA+csA=2 , 4 分即 sinA+π6=1 ,因为 A∈0,π ,所以 A=π3 . 7 分
(2)由余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA ，得 4=b+c2−3bc ， 11 分解得 b+c=23 ,所以 a+b+c=2+23 ,
故 △ABC 的周长为 2+23 . 13 分
16. (15分)(1)证明:连接 AC 交 BD 于 M 点，由 ABCD 是正方形得 M 为 AC 的中点，因为 E 为 CC1 的中点，所以 ME 为 △ACC1 的中位线，于是 ME//AC1 ， 4 分又因为 ME⊂ 平面 BDE,AC1⊄ 平面 BDE ,所以 AC1// 平面 BDE . 6 分
(2)由已知， AA1⊥ 平面 ABCD ， AB⊥AD ，以 A 为原点， AB ， AD ， AA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,

(第 16 题)
则 A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0,D0,2,0,C11,1,2,E32,32,1 ,
设平面 ABC1 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ,则 n1⋅AB=0,n1⋅AC1=0,
即 2x1=0,x1+y1+2z1=0, 取 n1=0,2,−1 ,
设平面 BDE 的法向量为 n2=x2,y2,z2 ,则 n2⋅BD=0,n2⋅BE=0,
即 −2x2+2y2=0,−12x2+32y2+z2=0, 取 n2=1,1,−1 , 12 分
记平面 ABC1 与平面 BDE 的夹角的大小为 θ ,则 csθ=n1⋅n2n1⋅n2=35×3=155 ,
故 sinθ=1−cs2θ=105 . 15 分
17. (15 分) (1) 证明: 因为 l=19xl−xyl−y=l=19xlyl−xly−ylx+x⋅y
=i=19xiyi−i=19xiy−i=19yix+9x⋅y,
-2 分
又因为 i=19xiy=x1+x2+⋯x9y=9x⋅y,i=19yix=y1+y2+⋯y9x=9x⋅y ,
所以 l=19xlyl−l=19xly−l=19ylx+9x⋅y=l=19xlyl−9x⋅y−9x⋅y+9x⋅y=l=19xlyl−9x⋅y .
故 i=19xi−xyi−y=i=19xiyi−9x⋅y . 5 分
(2)设一元线性回归方程为 y=bx+a ，则 b=i=19xi−xyi−yi=19xi−x2=7.552 ，
将 x,y 代入回归方程得 105.5 =7.552×2020+a ，解得 a=−15149.54 ，
所以一元线性回归方程为 y=7.552x−15149.54 , 12 分
当 x=2025 时,求得 y=143.26 ,即 2025 年的 GDP 预测值为 143.26 万亿元,
而实际 2025 年的 GDP 为 140.19 万亿元，故误差值为 143.26-140.19=3.07(万亿元). 分 18.(17分)解:(1)由题意得 ca=22,c=1 ，解得 a=2 ， b=1 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 x22+y2=1 . 3 分
(2)(i)由题意，设过点 P 的直线方程为 y=kx−2−1 ，联立方程组 x2+2y2=2,y=kx−2−1,
消去 y 并整理得 1+2k2x2−4k2k+1x+8k2+8k=0 ,
由 Δ=16k22k+12−41+2k28k2+8k=0 ,即 k2+2k=0 ,解得 k1=0,k2=−2 . 所以切线方程分别为 l1:y=−1,l2:y=−2x+3 . 8 分
(ii) 设 Tx0,y0 ,则 l:x0x2+y0y=1 ,由 (2) 知 l1:y=−1,l2:y=−2x+3 ,
得 M21+y0x0,−1,N2−6y0x0−4y0,3x0−4x0−4y0 , 12 分
因为 FM=2+2y0−x0x0,−1,FN=2−2y0−x0x0−4y0,3x0−4x0−4y0,x022+y02=1,⋯15 分
所以 FM⋅FN=2−x02−4y02x0x0−4y0−3x0−4x0−4y0=−2x02+4−4y02x0x0−4y0=0 ,即 ∠MFN=90∘ ,
故 ∠MFN 为定值,且定值为 90∘ . 17 分
19. (17 分) (1) 由 a=3 ,得 f′x=1x+2x−3=x−12x−1xx>0 .
令 f′x=0 ,解得 x1=12,x2=1 ,
当 x∈0,12 时, f′x>0 ; 当 x∈12,1 时, f′x0 ,
因此, fx 的极小值为 f1=−2 . 4 分
(2)证明:当 a≤22−1 时， f′x=1x+2x−a≥22−a>0x>0 ，
所以 fx 为增函数,即对任意的 x1,x2∈R ,不妨设 x1≤x2 ,则 fx1≤fx2 ,
又因为 fx−x′=1x+2x−a−1≥22−a−1≥0 ,所以 y=fx−x 为增函数,
得 fx1−x1≤fx2−x2 ,即 fx2−fx1≥x2−x1 ,故 fx1−fx2≥x1−x2⋯9 分
(3)解:由题意不妨设 x1=x2+t,t≥2 ，
因为 fx1=fx2 ,所以有 lnx2+t+x2+t2−ax2+t=lnx2+x2​2−ax2 ,
整理得 lnx2+tx2+2tx2−at+t2=0,a=1tlnx2+tx2+2x2+t ,
令 gx=1tln1+tx+2x+t,x∈0,+∞,t≥2 .
① 当 x∈[1,+∞) 时， g′x=2−1x2+tx≥2−13>0 ，
此时 gx=1tln1+tx+2x+t≥g1=1tln1+t+2+t>4 .
② 当 x∈0,1 时，令 g′x=2−1x2+tx=0 ，解得 x0=t2+2−t2 ，
因此, gx 在 0,x0 上单调递减,在 x0,1 上单调递增,故 gxmin=gt2+2−t2 ,
因为 gxmin=1tln1+tt2+2+t+t2+2≥ln5+262+t2+2 ,
又因为 t2−4t+4≥0 ,得 3t2+6≥2t+12 ,即 t2+2≥63t+1 ,
所以 gxmin≥ln5+26t+t2+2≥2ln2+3t+6t+13 ,
记 ℎt=ln2+3t+6t+16,t≥2 ,
则 ℎ′t=66−ln2+3t2>66−ln2+34=26−3ln2+312 ,
因为 2+32