河北省衡水中学2025-2026学年高三年级下学期综合素质评价三数学试卷

这是一份河北省衡水中学2025-2026学年高三年级下学期综合素质评价三数学试卷，共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（共58分）
一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知， 为虚数，则 的值可能为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
4. 一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知满足，且当时， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A. 3B. C. 4D. 5
二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)
9. 下列说法正确是（ ）
A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强
B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C. 随机变量的方差，期望，则
D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8
10. 已知左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（ ）
A. 椭圆的离心率的取值范围是
B. 椭圆上存在点使得
C. 已知，椭圆离心率为，则的最大值为
D. 的最小值为
11. 定义：若函数在区间的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为.已知函数，则下列说法中正确的是:( )
A. 是的一个“完美区间”
B. 是的一个“完美区间”
C. 所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
第II卷（共92分）
三、填空题(每题5分，共15分)
12. 已知，则______.
13. 甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种．
14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______．
四、解答题(共5题，满分77分)
15. 已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
16. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表.
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望.
参考公式及数据：①，其中．
②,,,．
17. 在中，角，，所对边分别为，，，.
（1）求的值；
（2）若是边上一点，，，求的周长.
18. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，.
（1）若，求函数的不动点；
（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19. 如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．
（1）证明：；
（2）当最小时，
①求，两点间的最小距离；
②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．
购买手机
购买无技术的手机
总计
男性顾客
45
65
110
女性顾客
56
34
90
总计
101
99
200
2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三
数学学科
考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（共58分）
一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，可得，解得，所以，
由，得，所以，
所以.
2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，，，，
则向量在向量上的投影向量为.
3. 已知， 为虚数，则 的值可能为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】设且，根据复数的运算由得，进而得，即可求解.
【详解】设且，由得，解得，
所以，所以，
故A正确，B错误，C错误，D错误.
故选：A.
4. 一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆台的结构特征求出圆台的高，然后利用圆台的体积公式求出其体积即可.
【详解】取上下底面的圆心，则即为圆台的高，如图所示，
在中，，
根据勾股定理可得.
所以圆台的体积为.
故选：A.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由，得，解得，则“”是“”的充分不必要条件.
6. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线中的关系和等差数列可求答案.
【详解】因为成等差数列，所以，又，所以，即，所以.
该双曲线渐近线方程为.
故选：B
7. 已知满足，且当时， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值.
【详解】由，可知函数图像关于对称，
又，由累加法可得：
，
又，
所以，
故选：B
8. 已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A. 3B. C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先由已知条件解出，两点坐标，再由焦半径公式求得.
【详解】由圆：可知，圆心，半径为.
而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，.
由，得.
因为点在圆上，又有，即，
而，则解得，所以.而点又在抛物线上，
则有，所以，则.
所以.
二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强
B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C. 随机变量的方差，期望，则
D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8
【答案】BD
【解析】
【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误；
B：该组数据共8个数据，又，
因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确；
C：因为，由方差，期望，可得，即C错误.
D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为，
因此方差为，即D正确.
10. 已知的左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（ ）
A. 椭圆的离心率的取值范围是
B. 椭圆上存在点使得
C. 已知，椭圆的离心率为，则的最大值为
D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，根据条件得，再利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，即可求解；对于C，根据条件求出椭圆方程，再利用椭圆的参数方程，即可求解；对于D，根据椭圆的定义得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】对于A，由题意可知，所以，所以椭圆方程为，
因为在椭圆外，所以，解得，
因为，所以，故A正确；
对于B，由选项A知，，所以，所以，
则以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有四个交点，
不妨设其中一个交点为，由圆的性质可知，，所以椭圆上存在点使得，故B正确；
对于C，由离心率，所以，所以椭圆方程为，
设点，则，
当时，有最大值为，此时，故C正确；
对于D，，
，
当且仅当，即点位于上下顶点时，有最小值，故D错误.
11. 定义：若函数在区间的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为.已知函数，则下列说法中正确的是:( )
A. 是的一个“完美区间”
B. 是的一个“完美区间”
C. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
【答案】AC
【解析】
【分析】按照和两种情况讨论求解，当时，按照，，分类讨论求解，利用“完美区间”的定义，结合函数的单调性求解.
【详解】，的值域为，
设的“完美区间”为，则，
当时，，在是单调递减函数，
为的最大值，为的最小值，
，，此时，，
当时，①若，，
，，
在是单调递减函数，在是单调递增函数，
为的最小值，的最大值为和中最大的一个，
当时，，，则为的最大值，
，，满足，
此时，；
当时，，，则为的最大值，
，，不满足，舍去；
②若时，，，
在是单调递减函数，在是单调递增函数，
为的最小值，而，这与矛盾，不符合题意；
③若时，，，
在是单调递增函数，
为的最小值，为的最大值，
，，，不符合题意；
综上可知，的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为，
故选项A和C正确.
故选：AC.
第II卷（共92分）
三、填空题(每题5分，共15分)
12. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，求出的值，再计算的值.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：
13. 甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种．
【答案】8
【解析】
【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即可.
【详解】先安排甲、乙，有种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有种方法；
又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有种方法；
所以不同的排法共有（种）排法.
故答案为：8
14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】化简题目条件得，构建函数，因为是正实数，故此函数单调递增，得到，代入，求导分析其最值.
【详解】由，
整理得，
化简得：，
设函数，可知函数在内单调递增，
由可得，即，代入得，
令，
令，解得，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
故当 时， 取得最小值，此时 ，最小值为.
故答案为：
四、解答题(共5题，满分77分)
15. 已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意整理可得，进而可得，即可得结果；
（2）整理可得，利用裂项相消法运算求解.
【小问1详解】
因为，且，可得，
即对任意恒成立，可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
则，
可得，
所以.
16. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表.
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望.
参考公式及数据：①，其中．
②,,,．
【答案】（1）有的把握认为购买手机与顾客的性别有关.
（2）
【解析】
【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可.
(2)先列出随机变量的分布列，再由分布列求出期望值.
【小问1详解】
假设:购买手机与顾客性别无关.
根据公式，
因为，所以假设不成立，
即我们有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01.
【小问2详解】
可能取的值为0，100，200，300，400，
每次抽奖不中的奖的概率为，中元概率为，中元概率为，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
所以期望为.
17. 在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求的值；
（2）若是边上一点，，，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及.
（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，即，即.
因为，所以，
即，
所以，
又，，
所以或，所以（舍）或，
因为，所以，则.
【小问2详解】
方法一：设，则，，
中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
由，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
联立解得，，
所以的周长为.
方法二：设，则，，即，
故，故，
所以，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
联立解得，，所以的周长为.
18. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，.
（1）若，求函数的不动点；
（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）和
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由，化简得到，即可求解；
（2）根据题意，将方程，化简得到，利用换元法和对勾函数的性质，即可求解；
（3）根据题意，将不等式化为，利用指数函数的单调性，得到，分类参数转化为在上恒成立，结合函数的单调性，即可求解.
小问1详解】
解：当时，方程，即为，
即，可得，
解得或，可得或，
所以函数的不动点为和.
【小问2详解】
解：由方程，可得，
即，可得，即为，
令，当时，可得，
因为函数在区间上存在两个不动点，
可得关于的方程在上有两个不等的实数根，
令，可得在单调递减，在单调递增，
且，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
解：不等式，可化为，
由函数在上单调递减函数，
可得，
因为对任意，不等式恒成立，
即对任意，不等式，即，
可得，即为，
所以在上恒成立，
令，当时，可得，
由题意得，对任意，不等式恒成立，
函数在上为单调递增函数，所以，
函数在上为单调递减函数，所以，
所以，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
19. 如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．
（1）证明：；
（2）当最小时，
①求，两点间的最小距离；
②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．
【答案】（1）证明见详解
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）做辅助线，根据垂直关系可得，，结合直角三角形三角关系分析证明；
（2）①根据三角知识结合基本不等式可得，利用弦长公式求得，分和两种情况，结合基本不等式分析求解；②设相应量，可得，可得圆柱的体积，构建函数，利用导数求最值.
【小问1详解】
过作，垂足为，过作，垂足为，
因为平面平面，且平面平面，平面，
可得平面，
由平面，可得，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
则，
所以
【小问2详解】
因为以AB为直径的圆与准线相切于点C，可知，
则，
由（1）可得：
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，最小，
①因为平面，平面，则，，
即，
在中，则，
在中，由余弦定理可得，
则，
在中，则，
在中，则，可得，
由题意可知：焦点，准线，直线的斜率存在，且直线与抛物线必相交，
设直线，，
联立方程，消去y可得，
则，
可得，
当时，取到最小值2，根据对称性可知，
可得；
当时，则，且，
由基本不等式可得，
则；
综上所述：的最小值为2，当且仅当，时，等号成立，
所以，两点间的最小距离为；
②由（1）可知：当，两点间的距离最小时，则，，
可知中点，且与重合，
因为，
设的内切圆半径为，
由等面积法可得：，解得，
设圆柱的底面半径为，高为，
则，可得，
所以圆柱的体积，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，
所以圆柱体积的最大值为.
【点睛】关键点点睛：对于（2）中：
①利用勾股定理结合余弦定理整理可得；
②根据锥体的结构特征分析可得，进而可求圆柱体积.
购买手机
购买无技术的手机
总计
男性顾客
45
65
110
女性顾客
56
34
90
总计
101
99
200
0
100
200
300
400