初中2. 矩形的判定背景图ppt课件

这是一份初中2. 矩形的判定背景图ppt课件，共50页。PPT课件主要包含了试一试，几何语言，矩形的判定定理2等内容，欢迎下载使用。
问题1：矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2：矩形有哪些性质？
问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠A = 90°，∴四边形 ABCD 是矩形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
【思考】有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？
作一个三个角都是直角的四边形.
1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD；
2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l；
3. 过点 D 作垂直于AD 的直线 m， 与直线l相交于点C.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
观察你所作的图形，它是一个矩形吗？怎么证明？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°.求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.∴ AD∥BC，AB∥CD.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.∴ 四边形 ABCD 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
∵在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°，
∴四边形ABCD 是矩形.
如图，∠AOB 是一个直角，任意一点 P 到这个角的两边的距离之和为 6，则图中四边形的周长为______．
1. 对角线相等的四边形是矩形吗？
2. 需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形 是矩形吗？
作一个对角线相等的平行四边形.
1. 任意作两条相交的直线，交点记为 O；
2. 以点 O 为圆心、适当长为半径画弧， 在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD；
3. 顺次连结所得的四点.
四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形.
已知: 四边形 ABCD 是平行四边形，AC = DB.
求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB = DC.又∵ AC = DB，BC = CB， ∴ △ABC ≌△DCB，∴ ∠ABC = ∠DCB.∵ AB∥CD，∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°.∴ ∠ABC =∠DCB = 90°.∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
对角线相等的平行四边形是矩形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC = BD，
木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求.
分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明对角线 EG 和 FH相等，即可得证.
证明 ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ OE = OF = OG = OH.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
∵ EO + OG = FO + OH，
∴ 四边形 EFGH 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
1. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A ＝ 90°，AB＝3，AC ＝4， D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DM ⊥ AB 于点 M，DN ⊥ AC 于点 N，连结 MN，则线段 MN 的 长的最小值为_______.
【选自教材第119页 练习 第1题】
如图，AB、CD 是 ⊙O 的两条直径，四边形 ACBD 是矩形吗？证明你的结论，
解: 四边形 ABCD 是矩形. 证明如下:∵ AB、CD 是☉O 的两条直径，∴ OA ＝OB，OC ＝OD，∴ 四边形 ACBD 是平行四边形.又∵ AB ＝CD，∴ 四边形 ACBD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
【选自教材第119页 练习 第2题】
2. 如图，在 □ ABCD 中，∠1 = ∠2. 此时，四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
解: 四边形 ABCD 是矩形.理由如下：
又∵ ∠1 ＝∠2，∴ OA ＝OB.∴ AC ＝BD.∴ 四边形 ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
解: ∵ AC 与 EF 互相平分，∴ OA ＝OC，OE ＝OF.又∵ ∠AOF ＝∠COE，∴ △AOF≌△COE.∴AF ＝CE，∠OAF ＝∠OCE.∴ CD∥AB.∵ BF ＝DE，∴ BF +AF ＝DE + CE，即AB ＝CD.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.又∵ ∠B ＝90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
3. 如图，在四边形 ABCD 中，BF = DE，AC 与 EF 互相平分 并相交于点 O，∠B = 90°.求证：四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材第119页 练习 第3题】
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的判定定理 1： 有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理 2： 对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形性质与判定的综合运用
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等.
矩形的判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形.
分析：由已知条件，可知 BN ⊥ AD，DM ⊥ BC，因此，在四边形 BMDN 中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.
证明：∵△ABD 和△BCD 是全等的正三角形，
∴∠ADB = ∠CDB = 60°.
又∵M、N 分别为 BC、AD 的中点，
∴∠DNB = ∠DMB = 90°,
∠MDN = ∠ADB + ∠BDM = 90°.
∴四边形 BMDN 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形.
分析：根据已知条件 AB = AC，我们可以先通过证明四边形 ABDE 是平行四边形，得到 DE = AB = AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.
证明 ∵AB = AC， AD ⊥ BC，
∴∠B = ∠ACB， BD = DC.
又∵AE 是△ABC 的外角 ∠CAF 的平分线，
又∵DE // AB，
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
∴AE = BD，AB = DE.
∴AC = DE， AE = DC.
∴四边形 ADCE 是平行四边形.
∴四边形 ADCE 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
如图，在▱ABCD 中，过点 B 作 BE ⊥ CD 于点 E，点 F 在边 AB 上，AF ＝CE，连结 DF、CF.
（1）求证: 四边形 DFBE 是矩形；（2）当 CF 平分∠DCB 时，若 CE ＝ 3，BE ＝ 4，求 CD 的长.
（1）证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形.∴ AB∥CD，AB ＝CD.∵ AF ＝CE，∴ AB－AF ＝CD－CE，即 BF ＝DE，∴ 四边形 DFBE 是平行四边形.∵ BE ⊥ CD，∴ ∠BED ＝90°，∴ ▱ DFBE 是矩形.
（2）解: 在Rt△BEC 中，∵ BE ＝4，CE ＝3，
∵ CF 平分∠DCB，∴ ∠DCF ＝∠BCF.∵ AB∥CD，∴ ∠DCF ＝∠CFB，∴ ∠BCF ＝∠CFB，∴ CB ＝BF. ∴ DE ＝BF ＝CB ＝ 5，∴ CD ＝CE + DE ＝3 + 5＝ 8.
【选自教材第120页 练习 第1题】
如图，AD、AE 分别是△ABC 的内角∠BAC 和外角∠BAF 的平分线，BE ⊥ AE，DA ⊥ BC，求证：四边形 AEBD 是矩形.
提示：已知有两个直角，再找出一个直角，就能运用判定定理 1.
∵ BE ⊥ AE，DA ⊥ BC，
∴ ∠AEB ＝∠ADB ＝∠DAE ＝90°.
∴ 四边形AEBD 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
即∠DAE ＝90°.
证明: ∵ AD、AE 分别是∠BAC 和∠BAF 的平分线，
∵ ∠BAC ＝∠BAF ＝180°，
【选自教材第120页 练习 第2题】
2. 一个四边形满足：它的每个顶点到其他三个顶点的距离 之和相等，试证明该四边形为矩形.
解: 已知: 在四边形 ABCD 中，AB + AC + AD ＝ BA + BC + BD ＝CA + CD + CB ＝DA + DB + DC .
证明: ∵ AB + AC + AD ＝ CA + CD + CB，
∴ AB + AD ＝CD + CB ①.
∵ BA + BC + BD ＝DA + DB + DC，
∴ BA + BC ＝DA + DC ②.
①＋②，得 2AB + AD + BC ＝2CD + AD + BC，
∵ AB + AD ＝CD + BC，∴ AD ＝BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∵ AB + AC + AD ＝BA + BC + BD，∴ AC ＝BD，
∴ 四边形 ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
3. 如图，将 □ ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE = DC， 连结 AE，交 BC 于点 F，∠AFC = 2∠D，连结 AC、BE. 求证：四边形 ABEC 是矩形.
【选自教材第120页 练习 第3题】
∴ AB∥CD，AB ＝CD，AD∥BC.
∵ CD ＝CE，∴ AB ＝CE，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形.
∴ AE ＝2EF，BC ＝2CF.
∵ AD∥BC，∴ ∠D ＝∠2.
∵ ∠AEC ＝∠1 + ∠2，∠AFC ＝2∠D，
∴ 2∠D ＝∠1 + ∠2，∴ 2∠2＝∠1 + ∠2，
∴ ∠１＝∠2，∴ EF ＝CF.
∴ AE＝BC，∴ 四边形ABEC 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
灵活运用定理进行计算和证明
直角三角形斜边上的中线的性质
问题：矩形的对角线有哪些性质？
AC = BD，AO = OC，BO = OD.
BO 与斜边 AC 有什么关系？
证明：如图，延长 BO 至点 D，使 OD = OB，连结 AD 和 CD.
在四边形 ABCD 中，
∵ OA = OC， OB = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵∠ABC = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在 Rt△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，BO 为斜边 AC 上的中线，
写出上述结论的逆命题，试判断该逆命题是否成立.
如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半.
那么这个三角形是一个直角三角形.
如果一个三角形是直角三角形.
那么这个三角形斜边上的中线等于该边的一半.
∴ BO = OA = OC，
∴ △OAB 和 △OBC 都是等腰三角形，
∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
又∵∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°，
∴∠2 + ∠3 = 90°，即∠ABC = 90°
所以 △ABC 是直角三角形.
如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形.
∴△ABC 为直角三角形.
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，∠C ＝ 60°， D 为边 AC 的中点，且 BD ＝2，则 BC 的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 如图，BN 、CM 分别是△ABC 的两条高，D 、E 分别是 BC、MN 的中点． （1）求证: DE ⊥ MN；
证明: 如图，连结 DM 、DN．
∵BN 、CM 分别是△ABC 的两条高，
∴CM ⊥ AB，BN ⊥ AC，
∴∠BMC ＝ ∠CNB ＝ 90°
∵E 是 MN 的中点，∴DE ⊥ MN ．
2. 如图，BN 、CM 分别是△ABC 的两条高，D 、E 分别是 BC、MN 的中点．（2）若 BC ＝ 26，MN ＝ 10，则 DE 的长为______.　
在 Rt△BMC 中，MD是斜边 BC 的中线，
△MED是直角三角形，
【选自教材第122页 练习 第1题】
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 为斜边 AB 的中点，AC = 6，BC = 8，求 CD 的长.
解: 在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝ 8，
∵ 点 D 为斜边 AB 的中点，
∴ CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
【选自教材第122页 练习 第2题】
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC，求 ∠A 和 ∠B 的度数.
在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，CD 为斜边 AB 上的中线，
∴ △ACD 是等边三角形. ∴ ∠A ＝ 60°.∴ ∠B ＝90°－∠A ＝ 90°－60° ＝ 30°.