广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县七年级下学期4月期中数学试题（解析版）

这是一份广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县七年级下学期4月期中数学试题（解析版），共3页。试卷主要包含了不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
（全卷满分120分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效．
3．不能使用计算器．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即解答．
【详解】解：．
故选：C
【点睛】此题考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B. 1.414C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的概念，无理数是指无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值．
根据无理数的概念逐一判断即可．
【详解】A． 是有理数，故该选项不符合题意；
B． 1.414是有理数，故该选项不符合题意；
C． 是无理数，故该选项符合题意；
D． 是有理数，故该选项不符合题意．
故选：C．
3. 的倍不小于，可用不等式表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，不小于为“”，列出不等式，即可求解．
【详解】解：的倍不小于，可用不等式表示为，
故选：C．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，理解题意是解题的关键．
4. 下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式为 ，需满足两数之和与两数之差的乘积．
根据平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、，不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、，能用平方差公式计算，符合题意，
故选：D．
5. 一个正方体的体积扩大为原来的倍，则它的棱长为原来的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方体的体积公式计算并判断即可．
【详解】解：设原正方体的边长为，则体积为，
∴将体积扩大为原来的倍，为，
∴扩大后的正方体的边长为，
∴它的棱长为原来的倍，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方体的体积和立方根的应用，熟练应用立方根和正方体的体积计算方法是解答本题的关键．
6. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
根据不等式表示方法可直接得出答案．
【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是．
故选：B．
7. 若，则m、n的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，．
故选：B．
8. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查实数的性质，绝对值的意义，根据绝对值的意义，进行求解即可．
【详解】解：
故选：C．
9. 已知关于不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据系数化为1时不等号的方向发生改变列出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
∴．
故选B．
10. 下列计算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则、幂的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：A、，故选项计算正确，不符合题意；
B、，，故选项计算正确，不符合题意；
C、，故选项计算不正确，符合题意；
D、，故选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
11. 某公司开发了一个模型，用于实时视频分析．模型的推理时间T（单位：毫秒）与输入数据的大小（单位：）的关系表达式为：，为了保证实时性，公司希望模型的推理时间不超过100毫秒．以下哪个选项正确描述了输入数据大小的取值范围，使得推理时间不超过100毫秒？（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据推理时间不超过100毫秒列出不等式求解即可．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
∴输入数据大小的取值范围为：．
故选B．
12. 数轴上，，两点表示数分别为1和，点关于点对称点为点，那么数轴上表示的数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，两点之间的距离，点的平移等知识点，解题的关键是利用等距离来求点表示的数．
利用点表示的数求出的长度，根据对称性距离相等得出，根据平移的性质即可求解．
【详解】解：∵，两点表示的数分别为1和，
∴，
∵点关于点对称点为点，
∴点表示的数为，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 请写出一个解集为的不等式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质和解法，要构造解集为 的不等式，可以逆向思考：从结果出发，通过合理的变形得到不等式．
【详解】解：
故答案为： （答案不唯一）．
14. 物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为_____秒．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解决实际问题时字母取值一般都是大于等于0．
把代入求得t的值即可．
【详解】解：把代入中可得：，则，
∵25的算术平方根为5，即，
∴到达地面需要的时间为5秒．
故答案为：5．
15. 如果，那么约等于_______．
【答案】13.33
【解析】
【分析】根据立方根的性质，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：13.33．
【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．
16. 计算：的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同底数幂乘法及积的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用同底数幂乘法及积的乘方法则将原式变形后进行计算即可．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
故答案：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算．
（1）先计算积的乘方和同底数幂乘法，再合并同类项计算即可；
（2）利用多项式乘单项式法则计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
18. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算及解一元一次方程，解题关键是熟练掌握实数的运算及解一元一次方程的步骤．
（1）利用乘方、立方根、算术平方根的性质来进行简单计算即可；
（2）利用解一元一次方程的步骤来进行求解即可．
【详解】解：（1）原式，
；
（2），
，
．
19. （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：，并写出它正整数解．
【答案】（1），图见解析；（2），的正整数解为1、2、3．
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．
（1）根据解不等式步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示解集；
（2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，进而求出它的正整数解．
【详解】（1）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得
该不等式的解集在数轴上表示为：
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴它的正整数解为1、2、3．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，做法是先把代数式化简，然后再代入求值．
先利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并同类项，然后代入求值．
【详解】解：
当时，．
21. 当为整数时，代数式一定能被2整除．试说明理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，理解整除的意义是解题的关键．先计算再分解因式得，故能被2整除．
【详解】解：，
，
，
，
为整数，
∴一定能被2整除．
∴一定能被2整除．
22. 为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元.
（）求，的值；
（）若购买该批设备的资金不超过元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？
（）在（）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案.
【答案】（1）；（2）学校有三种购买方案：方案一甲台乙台；方案二甲台乙台；方案三甲台乙台；（3）最省钱的购买方法为购买甲台，乙台．
【解析】
【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15-x）台，根据总价=单价×数量结合购买该批设备的资金不超过7200元且两种型号的设备均要至少买一台，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出各购买方案；
（3）由（2）的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价=单价×数量可求出当x=12和x=13时购买费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意得,
解得;
（2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台,
由题意得
，
解得
∵取整数，∴，，共三种方案，
答：学校有三种购买方案：方案一甲台乙台；方案二甲台乙台；
方案三甲台乙台．
（3）由题意
解得∴
的取值为或
当时，所需资金为：（元），
当时，所需资金为：（元），
∵，
∴方案二省钱
答：最省钱的购买方法为购买甲台，乙台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23. 数学活动：
【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．
【直接应用】（1）已知：，，求的值；
【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积；
【知识迁移】（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】此题考查了据完全平方公式的变形，完全平方公式的几何应用，
（1）根据完全平方公式的变形求解即可；
（2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据，代入求解即可；
（3）设，，则，，根据完全平方公式的变形求解即可．
详解】解：（1），
；
（2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，
，
，
，
，
；
（3）设，，则，，
甲型
乙型
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有效半径（米/台）