广西壮族自治区桂林市国龙外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区桂林市国龙外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了下列图中不是同位角的是，下列计算正确的是，多项式的公因式是等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，是关于，的二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列图中不是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
4．直线a、b、c中，a∥b, b∥c，则直线a与直线c的关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．不确定
5．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．多项式的公因式是（ ）
A．B．C．D．
8．如图将4个长、宽分别均为，的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A．6B．C．12D．
10．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
13．已知方程，用含的代数式表示，则 ．
14．如图，直线交于点O，平分，，则 ．
15．分解因式： ．
16．计算的结果等于 ．
17．如图，在宽为22米，长为32米的长方形花园中，要修建4条同样宽的长方形道路，余下部分进行绿化．根据图中数据，计算绿化部分的面积为 平方米．
18．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ．
三．解答题（共8小题）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．解方程组
(1)
(2)
21．将下列多项式因式分解：
(1)；
(2)．
22．先化简，再求值：，其中，．
23．已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
(1)求，的值；
(2)求原方程组正确的解．
24．某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元．
(1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？
(2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
25．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．
【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法：
【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题．
（1）已知，，求；
（2）若，求；
（3）若，求的值．
【拓展提升】
（4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，直接写出阴影部分的面积．
26．仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝① （其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝ ；③（2﹣1）（22+2+1）＝ ；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝ ；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝ ；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
方法一
方法二
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
．
∵，，
∴．
1．B
【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次，不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．据此依次逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．是代数式，故此项不符合题意；
B．是二元一次方程，故此选项符合题意；
C．是二元二次方程，故此选项不符合题意；
D．不是整式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此逐一判断即可；
【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查识别同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．
根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题．
【详解】解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【详解】解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b.
故选B．
【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
5．A
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式分解因式的特点是解本题的关键．根据平方差公式分解因式的特点逐项分析即可．
【详解】A. 是b与a的平方差的形式，故选项正确，符合题意；
B. 不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意；
C. 是a、b的平方和的形式，不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意；
D. 不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
6．D
【分析】根据单项式乘单项式，合并同类项，单项式乘多项式，完全平方公式分别计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式=6a5，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式=-2a2+2ab，不符合题意；
D、原式=a2-2ab+b2，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式运算，合同同类项，单项式乘多项式运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
7．C
【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【详解】解：多项式的公因式是，
故选C．
8．B
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，学生需要掌握完全平方公式和几何图形的关系即可．题目整体涉及很好，可以考查学生的观察能力．
通过观察可以得大正方形边长为，小正方形边长为，利用大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积，得出答案．
【详解】解：∵大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，
∴
故选：B．
9．D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解：运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，将k看作已知数求出x与y，代入中计算即可得到k的值．
【详解】解：，
①②得：，
，
将代入①得：，
，
，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
解得：．
故选：．
11．A
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．
【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意得，，
故选：A．
12．A
【分析】用整体的思想，将待求解方程变形，让新方程组中方程各项系数与已知方程组一致，从而求解．
【详解】由变形得
由题意知，
∴
故选： A
【点睛】本题考查方程组求解中整体思想的运用，理解整体换元思想是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．将含的项移到方程的右边，再两边除以2即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．46°##46度
【分析】本题考查角平分线的定义及对顶角相等，熟练找到角度之间的关系是解题的关键．
根据角平分线求出，再根据对顶角相等求出即可．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴，
故答案为：46°．
15．
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．首先提公因式法，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了积的乘方逆用、同底数幂相乘的逆用等知识，解答的关键是积的乘方和同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用积的乘方运算法则可得，然后求解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
17．600
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，绿化部分面积等于一个长为20米，长为30米的长方形面积，据此求解即可．
【详解】解；由题意得，绿化部分的面积为：（平方米）
故答案为：600．
18．6
【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值．
【详解】解：根据题意，可得
，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：6．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的法则即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式的法则即可求解
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟记单项式乘以单项式，多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
20．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法步骤是解题的关键．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
∴方程组的解为：．
（2）解：，
得：，
∴，，
把代入得：，
∴方程组的解为：．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法．
（1）首先根据完全平方公式将原式整理为，再利用平方差公式进行因式分解；
（2）将原式整理为，然后提公因式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．，
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项进行化简，然后将，代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
故答案为：．
23．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题：
（1）根据题意可得满足方程②，满足方程①，据此可得，，解之即可得到答案；
（2）根据（1）所求得到原方程组为，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，
∴满足方程②，
∴，
∴；
∵乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
∴满足方程①，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得原方程组为
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
24．(1)种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元
(2)共有2种购买方案，方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；方案2：购买种口罩3个，种口罩4个．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，根据“该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案；
（2）设小雅在该药店购买种口罩个，种口罩个，利用“总价单价数量”，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，
根据题意，可得，
解得，
答：种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元；
（2）根据题意，种口罩的售价元，
种口罩的进价是元，
设小雅在该药店购买种口罩个，种口罩个，
则有，
解得，
又∵，均为正整数，
∴或，
∴小雅共有2种购买方案，
方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；
方案2：购买种口罩3个，种口罩4个．
25．（1）4；（2）2；（3）14；（4）36
【分析】本题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式得几何背景，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
（1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出；
（2）把已知等式同时平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值；
（3）把和各看做一个整体，利用完全平方公式化简，代入已知式子计算即可；
（4）阴影部分面积相等，都为大小两个正方形边长乘积的一半，求出即可．
【详解】解：（1）把两边平方，得，
即，
将，代入得
解得．
（2）把两边平方，得，
即，
即可得到．
（3），
又，
将代入，得，
（4）四边形和四边形都是正方形，且两正方形面积和为，，
设，，则有，，
把两边平方，得，
即，
将代入得，
解得，则，
阴影部分的面积为36．
26．（1）①an﹣bn②22﹣1；③23﹣1；④24﹣1；⑤2n﹣1；（2）5；（3）342
【分析】（1）根据结果的规律得出答案；
（2）将22019+22018+22017+…+2+1写成（2﹣1）（22019+22018+22017+…+2+1）＝22020﹣1，通过求出22020的个位数字得出22020﹣1的个位数字；
（3）利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】解：（1）①由上式的规律可得，an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
由题干中提供的等式的规律可得，
②（2+1）（2﹣1）＝22﹣1；
③（2﹣1）（22+2+1）＝23﹣1；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝24﹣1；
⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝2n﹣1；
（2）22019+22018+22017+…+2+1
＝（2﹣1）（22019+22018+22017+…+2+1）
＝22020﹣1，
又∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……
∴22020的个位数字为6，
∴22020﹣1的个位数字为6﹣1＝5，
答：22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是5．
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝28（2﹣1）+26（2﹣1）+24（2﹣1）+22（2﹣1）+2
＝28+26+24+22+2
＝256+64+16+4+2
＝342．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式、平方差公式、数字的变化规律等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．