沪科版数学八年级下册第18章勾股定理及其逆定理 单元学情评估测试卷（含解析）

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沪科版数学八年级下册第18章勾股定理及其逆定理 单元学情评估测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　）A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．1，3，22．下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）A．a＝1，b＝2，c＝2B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝3，b＝4，c＝6D．a＝1，b＝1，c＝23．古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字是（　　)A．12B．13C．14D．154．如图，在四边形OABC中，AB＝BC＝3，∠A＝∠OBC＝90°，∠AOB＝30°，则OC的长为（　　)A．3 2B．3 3C．6D．3 55．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，由七块板组成，这七块板可以拼成许多图形．图①拼成的大正方形的面积为8，将图①中各块板子打乱位置重新拼成图②中的长方形，则图②中A，B两点之间的距离为（　　)A．2B．22C．5D．2 56．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　)A．3 mB．2.5 mC．2 mD．1.5 m7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝5 cm，BC＝10 cm，现将其沿EF折叠，使得点C与点A重合，则AF的长为（　　)A．3 cmB．5 cmC．5 cmD．254 cm8．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE2－CE2等于（　　)A．7B．9C．16D．259．如图，在底面周长约为6 m且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（从点A到点C，B为AC的中点)，每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16 m，则刻在石柱上的雕龙的长度至少为（　　)A．10 mB．12 mC．16 mD．20 m10．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝13AB，AF＝13AC，分别以BE，EF，FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（　　)A．S1＋S3＝2S2B．S1＋S3＝4S2C．S1＋S3＝S2D．S2＝13（S1＋S3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝　 　.12．如图，已知CA＝CB，BD⊥AC于点D，点D在数轴上所表示的数为－1，BD＝1，则数轴上点A所表示的数是　 　.13．如图，在2×3的正方形网格中，∠1＋∠2＝　 　°. 14．如图，在四边形ABCD中，AC和BD是其对角线，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，∠ABC＝135°. （1）BD的长为　 　；（2）若BC＝2，则BD：AC＝　 　．三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分)15．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长．16．小刚准备测量一个泳池中水的深度，他把一根竹竿竖直插到离泳池边1.5 m远的池底，竹竿高出水面0.5 m，水面与池底平行，把竹竿的顶端拉向池边，竿顶和池边的水面刚好相齐，则泳池水的深度为多少米？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分)17．漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图)进行绿化．经测量∠ABC＝90°，AB＝7 m，BC＝24 m，CD＝20 m，AD＝15 m，求空地的面积. 18．在4×4的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫作格点，点A、B、C、D是格点. （1）在网格中找一格点E，使得BE＝5；（2）作格点△BDF，使得BF＝10，DF＝17；（3）在（2）的条件下，∠DBA－∠FBC＝　 　．五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分)19．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°的方向以每小时8 n mile的速度前进，乙渔船沿南偏东30°的方向以每小时15 n mile的速度前进，两艘渔船同时出发，2 h后，甲渔船到达M岛，乙渔船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离. 20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，c为最长边长，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类)．（1）当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为　 　三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为　 　三角形；（2）猜想：当a2＋b2　 　c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2　 　c2时，△ABC为钝角三角形；（3）若a＝2，b＝4，那么当c分别满足什么条件时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？ 六、（本题满分12分)21．对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数：（1）根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数；（2）请你猜想出第n组（n为正整数)，并证明这是一组勾股数．七、（本题满分12分)22．请根据表格所给信息，回答下列问题．（1）直接写出线段MN与AM之间的数量关系；（2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高度．八、（本题满分12分)23．综合与实践（1）【模型建立】如图①，在Rt△ABC与Rt△ADE中，D是边BC上的动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，AD＝AE，连接CE.①求DE的最小值；②判断BD，CD，AE之间的数量关系，并证明．（2）【模型应用】如图②，已知△ABC是等边三角形，∠CDB＝120°，AD＝2，求AB的最小值．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意；B、1.5，2.5这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；C、∵62+82=102，∴6，8，10是勾股数，符合题意；D、3不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；故选：C．【分析】根据勾股数的定义逐项判断解答即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：A、12+22=5≠22，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、22+32=13≠42，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、32+42=25≠62，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、12+12=2=（2）2，此三条线段能构成直角三角形，故此选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可。3．【答案】B【解析】【解答】解：依题意，AB=4-1=3，BC=8-4=4， ∠B=90∘,∴AC=AB2+BC2=5,∴8+5=13,故答案为：B.【分析】先理解题意得AB=3，BC =4,∠B=90∘,结合勾股定理列式计算求出AC长即可作答.4．【答案】D【解析】【解答】解： ∵∠A=90∘,AB=3,∠AOB=30∘,∴OB=2AB=6,又· ∵∠OBC=90∘,BC=3,∴在 Rt△BCO中， OC=OB2+BC2=62+32=35,故答案为：D.【分析】根据30度所对的边是斜边的一半求得OB=6，根据勾股定理即可求得OC的长度.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵ 图①拼成的大正方形的面积为8，∴对角线长为4，如图，连接AB，则AC=2，BC=4，∴AB=AC2+BC2=22+42=25，故答案为：D.【分析】先求出图①的对角线长，即可得到AC=2，BC=4，然后根据勾股定理求出AB长解答即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：如图，已知AE=1.3m，AC=0.7m，BD=0.9m，设CD=x，AB=DE=y，则BC=0.9+x，则在 Rt△ABC中， y2=0.9+x2+0.72,在 Rt△CDE中， y2=x2+1.3+0.72,联立方程组解得：x=1.5m，y=2.5m，故答案为：B.【分析】设CD=x，AB=DE=y，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求BC的长度，在] Rt△ABC中， 根据BC， AC即可求AB.7．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90∘,AD∥BC,由折叠得AE=CE，∵AB=5cm,BC=10cm,∴BE=BC−CE=BC−AE=10−AEcm,∵AB2+BE2=AE2,∴52+10−AE2=AE2,解得 AE=254,∵∠AFE=∠CEF,∠AEF=∠CEF,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=AE=254cm,故答案为：D.【分析】根据矩形的折叠可得AE=CE，然后根据勾股定理求出AE长，然后根据等角对等边得到AF=AE长解答即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中， AE2=AO2+OE2,在Rt△COE中， CE2=CO2+OE2,∴AE2−CE2=AO2−CO2,在Rt△AOB中， AO2=AB2−OB2,在Rt△COB中， CO2=BC2−OB2,∴AO2−CO2=AB2−BC2=52−32=16,∴AE2−CE2=16,故答案为：C.【分析】连接AC， 与BD交于点O， 根据题意可得AC⊥BD， 在在Rt△AOE与Rt△COE中， 利用勾股定理可得 AE2−CE2=AO2−CO2，在在Rt△AOB与Rt△COB中，继续利用勾股定理可得 AO2−CO2=AB2−BC2,求解即可得.9．【答案】D【解析】【解答】解：如图，将圆柱的侧面展开，则AB=6m，AD=16 m,AE=12AD=12×16=8m,∴BE=AB2+AE2=62+82=10m,∴刻在石柱上的雕龙至少为2×10=20(m).故答案为：D.【分析】将圆柱的侧面展开，然后根据勾股定理求出BE长解答即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：设AB=3c，AC=3b则：AE=c，BE=2c，AF=b，FC=2b，∵∠A=90∘∴EF2=AE2+AF2∴EF=AE2+AF2∴EF=c2+b2,12EF=c2+b22,∴S1=12π⋅(BE2)2=πc22,S2=12π⋅EF22=12π⋅c2+b222= πc28+πb28,S3=12π⋅FC2=πb22,∵S1+S3=πc22+πb22=4πc28+πb28=4S2∴S1+S3=4S2故答案为：B.【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理得到结论解答即可.11．【答案】6【解析】【解答】解：设a=3x，则b=4x，由勾股定理得， 3x2+4x2=102,解得，x=2，则a=3x=6，故答案为：6.【分析】设a=3x，则b=4x，根据勾股定理计算即可.12．【答案】1－5【解析】【解答】解：在 Rt△BDC中，∵BD=1, CD=2,∴CB=BD2+CD2=12+22=5.∴CA=CB=5,∴ 数轴上点A 所表示的数是 1−5.故答案为：1−5.【分析】先根据勾股定理求出CB长，然后得到CA长，根据实数的减法解答即可.13．【答案】45【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，所以AB2=12+22=5,BC2=22+12=5,AC2=12+32=10,∠1=∠DAC,∠DAE=90∘.因为 AB2+BC2=AC2,AB=BC,所以 △ABC是等腰直角三角形，所以 ∠BAC=∠BCA=45∘.因为 ∠2+∠BAC+∠DAC=90∘,所以 ∠DAC+∠2=∠1+∠2=90∘− ∠BAC=45∘.故答案为：45.【分析】根据网格特点得到△ABC是等腰直角三角形，即可得到∠BAC=∠BCA=45∘，然后根据平行线的性质和角的和差解答即可.14．【答案】（1）22​​​​​​​（2）2：5【解析】【解答】解： 1∵∠BAD=90∘,AB=AD=2,∴BD=AB2+AD2=22+22=22.故答案为：22.(2)如图， 过点C作( CE⟂AB交AB延长线于点E.∵∠ABC=135∘,∴∠CBE=180∘−∠ABC=180∘−135∘=45∘，∴△BCE是等腰直角三角形.∵BC=2.∴CE=BE=1,AE=AB+BE=3.∴AC=AE2+CE2=32+12=10，∴BD:AC=22:10=2:5.故答案为： 2:5【分析】(1)由勾股定理直接求出BD的长即可；(2)过点C作CE⟂AB交AB延长线于点E.先证明△BCE是等腰直角三角形.求出CE与AC的长，最后求出BD： AC即可.15．【答案】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，CD＝ AC2−AD2 ＝ 132−122 ＝5，∵BC＝14，∴BD＝BC﹣CD＝9【解析】【分析】根据垂直关系在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD，已知BC，再根据线段的和差关系可求BD．16．【答案】解：根据题意画出示意图，如图，则AC＝0.5 m，A'C＝1.5 m，AB＝A'B，∴BC为泳池水的深度，A'B＝BC＋0.5 m，易知A'C⊥AB，∴∠A'CB＝90°，∴A'C2＋BC2＝A'B2，∴1.52＋BC2＝(BC＋0.5)2，解得BC＝2 m.答：泳池水的深度为2 m【解析】【分析】根据河水的深度、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解.17．【答案】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝7 m，BC＝24 m，∴AC2＝AB2＋BC2＝72＋242＝625.∵ CD＝20 m，AD＝15 m，∴AD2＋CD2＝202＋152＝625＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝12AD·CD＋12AB·BC＝12×20×15＋12×7×24＝150＋84＝234（m2）【解析】【分析】由勾股定理得AC=25m，再由勾股定理的逆定理得 △ACD是直角三角形且∠D=90∘，然后由三角形面积公式即可得出结论.18．【答案】（1）解：见解析；如图，点E即为所求．(答案不唯一)（2）解：见解析；如图，△DBF即为所求．（3）45°【解析】【解答】解：(3)如图所示： 连接EF，​​​由网格特点可得： ∠DBA=∠EBC,由勾股定理可得： EF=12+22=5=BE,由勾股定理逆定理可得： BE2+EF2=BF2,则 △BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45∘,∴∠DBA−∠FBC=∠EBC−∠FBC=∠EB F=45∘.故答案为： 45∘.【分析】(1)根据勾股定理求出距离点B为 5的格点即可；(2)根据勾股定理求出距离点B为 10且该点距离点D为 17的格点即可；(3)连接EF，由网格特点可得 ∠DBA=∠EBC,由勾股定理可得EF=12+22=5=BE,证明 △BEF为等腰直角三角形，得出 ∠EBF=45∘,即可得解.19．【答案】解：由题意可知，∠MBP＝180°－60°－30°＝90°，BM＝8×2＝16(n mile)，BP＝15×2＝30(n mile)，∴MP＝BM2−BP2＝34(n mile)．答：P岛与M岛之间的距离为34 n mile【解析】【分析】由题意知， △BMP为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解.20．【答案】（1）锐角；钝角（2）＞；＜（3）解：∵c为最长边长，2＋4＝6，∴4≤c＜6.而a2＋b2＝22＋42＝20.当a2＋b2＞c2时，c2＜20，易得4≤c＜25，∴当4≤c＜25时，△ABC是锐角三角形；当a2＋b2＝c2时，c2＝20，易得c＝25，∴当c＝25时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2＜c2时，c2＞20，易得2 5