沪科版（2024）数学八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 第4课时 因式分解法（课件）

第17章 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法因式分解法学习目标12正确理解因式分解法的实质，熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程.通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神.3通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想.回顾导入回顾 1：因式分解的方法有哪些？（1）提公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)（2）公式法：a2 – b2 = (a + b)(a – b)a2 ±2ab + b2 = (a ± b)2（3）十字相乘法：x2 + (p + q)x2 + pq = (x + p)(x + q)回顾 2：把下列各式因式分解：（1）2x2 – x；（2）x2 – 16y2；（3）9a2 – 24ab + 16b2；（4）x2 + 3x – 10.x(2x – 1)(x + 4y)(x – 4y)(3a – 4b)2(x + 5)(x – 2)推进新课思 考你会用什么方法解方程 x2 = 9？直接开平方法知识点 用因式分解法解一元二次方程先变形为一般形式x2 – 9 = 0分解因式(x + 3)(x – 3) = 0(x + 3)(x – 3) = 0因此，有 x – 3 = 0 或 x + 3 = 0.x2 = 9解这两个一次方程，得 x1 = 3，x2 = – 3. 这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 方程的一边为 0； 另一边能分解成两个一次因式的积.例 5解方程： x2 – 2x = 0.分析：方程右边为 0，左边有公因式 x，可直接用提公因式法分解因式.解：提取公因式，得因此，有 x = 0 或 x – 2 = 0.所以原方程的根是把左边分解因式 x(ax + b) = 0.x(x – 2) = 0.x1 = 0，x2 = 2.例 6解方程：(x + 4)(x – 1) = 6.分析：方程右边不为 0，左边为两个多项式相乘，先将方程化为一般形式，再尝试因式分解.解：将原方程化为一般形式，得x2 + 3x – 10 = 0.– 10 = (– 2)×5，3 = (– 2) + 5把方程左边分解因式，得 (x + 5)(x – 2) = 0.因此，有 x + 5 = 0 或 x – 2 = 0.所以原方程的根是x1 = – 5，x2 = 2.例 7解方程： x2 = x.分析：方程左右两边都有 x，可先移项，再用提公因式法分解因式.解：移项、提取公因式，得因此，有 x = 0 或 x – 1 = 0.所以原方程的根是x(x – 1) = 0.x1 = 0，x2 = 1.这样做对吗？为什么？方程两边不能除以含有未知数的整式，否则会失根.用因式分解法解一元二次方程的步骤：将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).12因式分解，将方程左边分解为一次因式相乘的形式.3将方程降次为两个一元一次方程的形式 mx + n = 0 (m ≠ 0)4解两个一元一次方程，求出方程的根.练一练解下列方程：【教材P30练习 T1】（3）3(x + 1) = x(x + 1)；（4）x2 – 6x – 7 = 0；解：（1）由题意，得所以原方程的根是（5）t(t + 3) = 28；（6）(x + 1)(x + 3) = 15.（2）提取公因式，得因此，有 x = 0 或 4x – 3 = 0.所以原方程的根是x(4x – 3) = 0.（3）3(x + 1) = x(x + 1)；（4）x2 – 6x – 7 = 0；（3）将原方程化为一般形式，得x2 – 2x – 3 = 0.把方程左边分解因式，得 (x + 1)(x – 3) = 0.因此，有 x + 1 = 0 或 x – 3 = 0.所以原方程的根是x1 = – 1，x2 = 3.（4）把方程左边分解因式，得(x + 1)(x – 7) = 0.因此，有 x + 1 = 0 或 x – 7 = 0.所以原方程的根是x1 = – 1，x2 = 7.（5）t(t + 3) = 28；（6）(x + 1)(x + 3) = 15.（5）将原方程化为一般形式，得t2 + 3t – 28 = 0.把方程左边分解因式，得 (t + 7)(t – 4) = 0.因此，有 t + 7 = 0 或 t – 4 = 0.所以原方程的根是t1 = – 7，t2 = 4.（6）将原方程化为一般形式，得x2 + 4x – 12 = 0.把方程左边分解因式，得 (x + 6)(x – 2) = 0.因此，有 x + 6 = 0 或 x – 2 = 0.所以原方程的根是x1 = – 6，x2 = 2.总 结一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程所有一元二次方程解一元二次方程的方法及适用类型x2 = p或 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p0)所有一元二次方程随堂练习1. 解下列方程：（1）x2 – 7x = – 12；（2）x2 – 2x – 8 = 0；（3）x(x – 4) = x – 4；（4）(x – 2)2 – 5(x – 2) = 0；（5）(x + 2)2 = 3(2 + x) ；（6）3(x2 – 1) = 2(1 – x)2.解：（1）将原方程化为一般形式，得x2 – 7x + 12 = 0.把方程左边分解因式，得 (x – 3)(x – 4) = 0.因此，有 x – 3 = 0 或 x – 4 = 0.所以原方程的根是x1 = 3，x2 = 4.（2）x2 – 2x – 8 = 0；（3）x(x – 4) = x – 4；（2）把方程左边分解因式，得(x + 2)(x – 4) = 0.因此，有 x + 2 = 0 或 x – 4 = 0.所以原方程的根是x1 = – 2，x2 = 4.（3）移项、提取公因式，得(x – 1)(x – 4) = 0.因此，有 x – 1 = 0 或 x – 4 = 0.所以原方程的根是x1 = 1，x2 = 4.（4）(x – 2)2 – 5(x – 2) = 0；（5）(x + 2)2 = 3(2 + x)；（4）提取公因式，得因此，有 x – 2 = 0 或 x – 7 = 0.所以原方程的根是(x – 2)(x – 7) = 0.x1 = 2，x2 = 7.（5）移项、提取公因式，得(x + 2)(x – 1) = 0.因此，有 x + 2 = 0 或 x – 1 = 0.所以原方程的根是x1 = – 2，x2 = 1.（6）3(x2 – 1) = 2(1 – x)2.（6）移项、分解因式，得3(x + 1)(x – 1) – 2(x – 1)2 = 0.提取公因式，得(x – 1)[3(x + 1) – 2(x – 1)] = 0.(x – 1)(x + 5) = 0.因此，有 x + 5 = 0 或 x – 1 = 0.所以原方程的根是x1 = – 5，x2 = 1.2. 分别用公式法和因式分解法解方程x2 – 6x + 9 = (5 – 2x)2.公式法：原方程化为一般形式，得 3x2 – 14x + 16 = 0.代入求根公式，得所以原方程的根是因式分解法：原方程可化为 (x – 3)2 – (5 – 2x)2 = 0.分解因式，得[(x – 3) + (5 – 2x)][(x – 3) – (5 – 2x)] = 0即 (2 – x)(3x – 8) = 0因此，有 2 – x = 0 或 3x – 8 = 03. 若一个三角形的三边长均满足方程 x2 – 7x + 12 = 0，求此三角形的周长.解：把方程左边分解因式，得 (x – 3)(x – 4) = 0.因此，有 x – 3 = 0 或 x – 4 = 0.所以原方程的根是x1 = 3，x2 = 4.∵三角形三边长均为方程的根，所以有以下几种情况：① 三角形三边长为 3、3、3，周长为 9；② 三角形三边长为 4、3、3，周长为 10；③ 三角形三边长为 4、4、3，周长为 11；④ 三角形三边长为 4、4、4，周长为 12.课堂小结因式分解法概念依据步骤用因式分解法解方程提公因式法若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0.公式法十字相乘法