第18章 勾股定理 拔尖检测卷（含答案）2025-2026学年沪科版数学八年级下册

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第18章 拔尖检测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．若一个三角形的三边长分别是7，24，25，则它的面积是(　　)A．84 B．87.5 C．168 D．3002．在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是(　　)A．∠A＋∠B＝2∠C B．AB∶AC∶BC＝1∶1∶2C．(AC＋BC)(AC－BC)＝AB2 D．∠A－∠B＝90°3．如图，木门的对角线长度(　　)A．在2.2 m～2.3 m之间 B．在2.3 m～2.4 m之间C．在2.4 m～2.5 m之间 D．在2.5 m～2.6 m之间4．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足eq \r(a－1)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－\r(2)))＋(c－eq \r(3))2＝0，则△ABC是(　　)A．以c为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形C．以a为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形5． 如图所示，有一块直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AB＝10 cm，点D在BC边上，将纸片沿AD翻折，使得点B恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，则BD的长为(　　)A．2 cm B．eq \f(10,3) cm C．eq \f(8,3) cm D．5 cm6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(　　)7．如图，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，AC＝BC＝5，点A，B的坐标分别为(－4，0)，(2，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝x－4上时，线段BC扫过的面积为(　　)A．18 B．24 C．27 D．368．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y分别表示直角三角形的两条直角边长(x>y)，下列四个说法：①x＋y＝9；②y－x＝2；③2xy＋4＝49；④x2＋y2＝49.其中正确的是(　　)A．①② B．②④ C．③④ D．①②③9．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于eq \f(1,2)MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AC＝4，BC＝3，则△ABD的面积为(　　)A．eq \f(15,4) B．eq \f(15,2) C．eq \f(9,4) D．eq \f(3,2)10．如图，AD是等边三角形ABC的边BC上的高，在AD，AC上分别取一点E，F，使AE＝CF，连接BE，BF.若AD＝eq \r(3)，设m＝BE＋BF，则m的最小值为(　　)A．2eq \r(3) B．2eq \r(2) C．2 D．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，将一副三角尺ABC，ADE叠放在一起，顶点C在边AE上，边AD与边BC交于点F，若AB＝2 cm，则AF的长为________cm.12.七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图①所示的七巧板，并设计了一幅作品放入长方形ABCD中(如图②)，则AB的长为________．13．如图，在△ABC中，高AD，BE相交于点H，连接DE，若BD＝AD，BE＝5，AE＝2，则DE＝________．14．如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，分别连接AD，EB，延长EB，交AD于点F，连接CF.(1)∠ADC＋∠DEF＝________；(2)若eq \f(DF,DE)＝eq \f(1,3)，则eq \f(CF,DF)的值为________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝4，求AC的长．请你解答这个问题．16．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙脚的距离OC为2米，顶端B距墙顶的距离AB为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙脚的距离OF为3米，顶端E距墙顶的距离DE为2米，点A，B，C在一条直线上，点D，E，F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF.求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3 m，AD＝4 m，CD＝12 m，BC＝13 m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？18．图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．(1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；(2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；(3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的“中高距”．(1)若BC边上的“中高距”为0，则△ABC的形状是________三角形；(2)若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，求BC边上的“中高距”DE.20．如图，在平面直角坐标系中，OA2＝A2A4＝A4A6＝A6A8＝A8A10＝A10A12＝…＝2，△OA1A2，△A4A5A6，△A8A9A10，…都是等边三角形；△A2A3A4，△A6A7A8，△A10A11A12，△A14A15A16，…都是等腰直角三角形．(1)直接写出点A19，A20，A2 027，A2 028的坐标；(2)n是正整数，用含n的式子表示下列坐标：An的横坐标为________；A4n＋3的坐标为____________．六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，P，D，E三点分别在AB，AC，BC边上，∠DPE＝90°.(1)若CD＝4，PD＝5，CE＝8，则PE＝________；(2)若AP＝AD，求证：∠A＝2∠BPE；(3)若P为AB的中点．求证：AD2＋BE2＝DE2.七、(本题满分12分)22．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．(1)请补全上表中的勾股数．(2)根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？八、(本题满分14分)23．用一副三角尺摆放三种不同图形．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB；在△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°.(1)如图①，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，请在图①中找出一对全等三角形，并说明理由；(2)如图②，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想线段AE，PE，CP之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当顶点A在线段DE上，且顶点B在线段EF上时，若AE＝5，BE＝2，连接CE，则△AEC的面积为________．答案一、1. A2. C　【点拨】A.∵∠A＋∠B＝2∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠C＋∠C＝180°，∴∠C＝60°，∴∠A＋∠B＝120°，∴不能确定△ABC是直角三角形，∴A不符合题意；B．∵AB∶AC∶BC＝1∶1∶2，∴设AB＝AC＝x，则BC＝2x，∴AB2＋AC2＝x2＋x2＝2x2，BC2＝4x2，∴AB2＋AC2≠BC2，∴不能确定△ABC是直角三角形，∴B不符合题意；C．∵(AC＋BC)(AC－BC)＝AB2，∴AC2－BC2＝AB2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴C符合题意；D．由∠A－∠B＝90°不能确定△ABC是直角三角形，∴D不符合题意．3. A　4. A5. B　【点拨】∵∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AB＝10 cm，∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(102－62)＝8(cm)．设BD＝x cm，则CD＝BC－BD＝(6－x)cm.由折叠的性质可得DE＝BD＝x cm，AE＝AB＝10 cm，∴CE＝AE－AC＝10－8＝2(cm)．在Rt△DCE中，由勾股定理得CD2＋CE2＝DE2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得x＝eq \f(10,3)，即BD＝eq \f(10,3) cm.6. C　【点拨】A.大正方形的面积为(a＋b)2，也可看作是由4个直角三角形和一个小正方形组成的，则其面积为eq \f(1,2)ab×4＋c2＝2ab＋c2，∴(a＋b)2＝2ab＋c2，∴a2＋b2＝c2.∴本选项不符合题意；B．梯形的面积为eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq \f(1,2)(a2＋b2)＋ab，也可看作是由2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成的，则其面积为eq \f(1,2)ab×2＋eq \f(1,2)c2＝ab＋eq \f(1,2)c2，∴ab＋eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)(a2＋b2)＋ab，∴a2＋b2＝c2，∴本选项不符合题意；C．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；D．图中最大图形的面积等于边长为c的正方形面积加上两个直角边分别为a，b的直角三角形的面积，即其面积为c2＋ab，也可看作是由一个梯形和一个等腰直角三角形组成的(如图)，则其面积为eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＋eq \f(1,2)c2，∴eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＋eq \f(1,2)c2＝ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.∴本选项不符合题意．7. D　【点拨】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，CC′∥x轴交直线y＝x－4于点C′，∵点A，B的坐标分别为(－4，0)，(2，0)，∴AB＝2＋4＝6，∵AC＝BC＝5，CD⊥AB，∴AD＝DB＝3，在Rt△ACD中，CD＝eq \r(AC2－AD2)＝4.∴C(－1，4)，将y＝4代入y＝x－4，即4＝x－4，解得x＝8，∴CC′＝8－(－1)＝9，即平移距离为9，∴线段BC扫过的面积为CC′×CD＝9×4＝36.8. C　【点拨】根据题意，由勾股定理得，x2＋y2＝49，x－y＝eq \r(4)＝2，∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意；由x－y＝2得，(x－y)2＝4，整理得x2－2xy＋y2＝4，∴2xy＋4＝x2＋y2＝49，∴选项③正确，符合题意(或由图形面积来证明)；由③得，2xy＝49－4＝45，∴(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2xy＝49＋45＝94，∴x＋y＝eq \r(94)，∴选项①错误，不符合题意．故选C.9. A　【点拨】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5.如图，过点D作DE⊥AB于E，由作图方法可得BD平分∠ABC，∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，∴eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)CD·BC＋eq \f(1,2)AB·DE，∴eq \f(1,2)×3×4＝eq \f(3,2)DE＋eq \f(5,2)DE，∴DE＝eq \f(3,2)，∴S△ABD＝eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)×5×eq \f(3,2)＝eq \f(15,4).10. B　【点拨】如图，过点C作CB′⊥BC，且CB′＝CB，连接B′F.∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝BC.∵AD⊥BC，CB′⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CB′，∴∠B′CF＝∠CAD＝∠BAD＝30°.又∵AE＝CF，AB＝BC＝CB′，∴△ABE≌△CB′F(SAS)，∴BE＝B′F，∴m＝BE＋BF＝B′F＋BF.连接BB′，则m＝B′F＋BF≥BB′，∴B，F，B′共线时，m的值最小，最小值为BB′的长．∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)AB.在Rt△ABD中，∵AD2＋BD2＝AB2，∴(eq \r(3))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))eq \s\up12(2)＝AB2，∴AB＝2，∴B′C＝BC＝AB＝2，∴在Rt△BCB′中，BB′＝eq \r(BC2＋B′C2)＝2eq \r(2)，即m的最小值为2eq \r(2).二、11.eq \r(2)12. 3eq \r(2)＋3　【点拨】如图，作右上角小等腰三角形的高MN.∵正方形纸片的边长为4，∴其对角线长为eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).由七巧板的切割方法可知，EF＝eq \r(2)，HI＝2，∴易得AE＝MN＝1，GH＝2eq \r(2)，∴AB＝AE＋EF＋GH＋HI＝3eq \r(2)＋3.13. eq \f(3\r(2),2)　【点拨】如图，过点D作DN⊥DE，交BE于点N，则∠EDN＝90°.∵AD，BE是△ABC的高，∴∠BDH＝∠AEB＝90°＝∠EDN，∴∠ADE＝∠BDN.∵∠AHE＝∠BHD，∴∠DAE＝∠DBN.又∵BD＝AD，∴△ADE≌△BDN，∴DN＝DE，BN＝AE＝2.∵BE＝5，∴NE＝3.在Rt△NDE中，∵NE2＝DN2＋DE2＝2DE2，∴DE＝eq \f(3\r(2),2)(负值已舍去)．14. (1)45°　(2)eq \f(4－\r(2),2)　【点拨】(1)∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠BCD＝∠DCE－∠BCD，即∠ACD＝∠BCE.又∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC.∵CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠ADC＋∠DEF＝∠BEC＋∠DEF＝∠CED＝45°.(2)如图，过点C作CG⊥CF，交BE于点G，则易得∠ECG＝∠DCF.又∵∠CEG＝∠CDF，CE＝CD，∴△CEG≌△CDF(ASA)，∴EG＝DF，CG＝CF，∴FG＝eq \r(2)CF.∵EF＝EG＋FG，∴EF＝DF＋eq \r(2)CF.∵∠CDF＋∠DEF＝45°，∠CDE＝45°，∴∠FDE＋∠DEF＝∠CDF＋∠CDE＋∠DEF＝90°，∴∠DFE＝90°.∵eq \f(DF,DE)＝eq \f(1,3)，∴设DF＝x，则DE＝3x，∴EF＝eq \r(DE2－DF2)＝eq \r((3x)2－x2)＝2eq \r(2)x.∵DF＋eq \r(2)CF＝EF，∴x＋eq \r(2)CF＝2eq \r(2)x，∴CF＝eq \f(4－\r(2),2)x，∴eq \f(CF,DF)＝eq \f(4－\r(2),2).三、15. 【解】∵AC＋AB＝10，∴AB＝10－AC.∵在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，BC＝4，∴AC2＋42＝(10－AC)2，解得AC＝4.2.16. 【解】(1)设墙的高度为x米，则BC＝(x－1)米，EF＝(x－2)米．在Rt△BCO中，BO2＝BC2＋CO2＝(x－1)2＋22，在Rt△EFO中，EO2＝EF2＋FO2＝(x－2)2＋32，由题意可知BO＝EO，∴(x－1)2＋22＝(x－2)2＋32，解得x＝4.∴墙的高度为4米．(2)BO＝eq \r((4－1)2＋22)＝eq \r(13)(米)．∴竹竿的长度为eq \r(13)米．四、17.【解】如图，连接BD.∵∠A＝90°，AB＝3 m，AD＝4 m，∴在Rt△ABD中，BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝5 m.又∵CD＝12 m，BC＝13 m，∴BD2＋CD2＝52＋122＝132＝BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝eq \f(1,2)AB×AD＋eq \f(1,2)BD×CD＝eq \f(1,2)×3×4＋eq \f(1,2)×5×12＝36(m2)．36×200＝7 200(元)，∴学校需要投入7 200元买草皮．18.【解】(1)如图①，△ABC即为所求．(答案不唯一)(2)如图②，△ABC即为所求．(答案不唯一)(3)如图③，△ABC即为所求．(答案不唯一)五、19【解】(1)等腰(2)在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝4，∴AE＝eq \f(1,2)AB＝2，∴BE＝eq \r(AB2－AE2)＝2eq \r(3).在Rt△ACE中，∠C＝45°，AE＝2，∴易得CE＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2eq \r(3)＋2.∵点D为BC的中点，∴CD＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(3)＋1，∴DE＝CD－CE＝eq \r(3)－1.20【解】(1)A19(19，－1)，A20(20，0)，A2 027(2 027，－1)，A2 028(2 028，0)．【点拨】∵OA2＝A2A4＝A4A6＝A6A8＝A8A10＝A10A12＝…＝2，∴A2n＝(2n，0)，n是正整数，∴A20(20，0)，A2 028(2 028，0)．∵△A2A3A4，△A6A7A8，△A10A11A12，△A14A15A16，…都是等腰直角三角形，∴A3，A7，A11，A15，…的纵坐标均为－1.∴A4n＋3(4n＋3，－1)，n是自然数．∵19＝4×4＋3，2 027＝4×506＋3，∴A19(19，－1)，A2 027＝(2 027，－1)．(2)n；(4n＋3，－1)六、21. (1)eq \r(55)　【点拨】∵在△CDE中，∠C＝90°，CD＝4，CE＝8，∴DE2＝CD2＋CE2＝80.又∵在△DPE中，∠DPE＝90°，PD＝5，∴PE2＝DE2－PD2＝80－25＝55，∴PE＝eq \r(55).(2)【证明】∵AD＝AP，∴∠APD＝∠ADP.∴∠APD＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq \f(1,2)∠A.∵PE⊥PD，∴∠BPE＝180°－90°－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(1,2)∠A))＝eq \f(1,2)∠A.∴∠A＝2∠BPE.(3)【证明】如图，过A作AF∥BC，交EP的延长线于F，连接DF，则∠PAF＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠DAF＝90°.∵P为AB的中点，∴AP＝BP.又∵∠APF＝∠BPE，∴△AFP≌△BEP(ASA)，∴PF＝PE，AF＝BE.又∵∠DPE＝90°，∴DE＝DF.∵在Rt△ADF中，AD2＋AF2＝DF2，∴AD2＋BE2＝DE2.七、22.【解】(1)24(2)由题意，a＝k(m2－n2)，b＝2kmn，c＝k(m2＋n2)，其中k，m，n都是正整数，m＞n，证明过程如下：∵a＝k(m2－n2)，b＝2kmn，c＝k(m2＋n2)，∴a2＝k2(m2－n2)2＝k2(m4－2m2n2＋n4)＝k2m4－2k2m2n2＋k2n4，b2＝4k2m2n2，c2＝k2(m2＋n2)2＝k2(m4＋2m2n2＋n4)＝k2m4＋2k2m2n2＋k2n4，∵a2＋b2＝k2m4－2k2m2n2＋k2n4＋4k2m2n2＝k2m4＋2k2m2n2＋k2n4，∴a2＋b2＝c2.(3)由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示：设AC＜BC，即直角三角形中最短边为AC，由题意可知，AC＝20 m，BC最小为21 m，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(202＋212)＝29(m)，∴这块绿地最少需要种植(20＋21＋29)×4＝280(株)花．八、23.【解】(1)△ABM≌△BCN.理由如下：∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB＋∠MBA＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠MBA＋∠NBC＝90°，∴∠MAB＝∠NBC.在△ABM和△BCN中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AMB＝∠BNC，,∠MAB＝∠NBC，,AB＝BC，))∴△ABM≌△BCN(AAS)．(2)猜想PE＝CP－AE.理由如下：∵CP⊥DE，∴∠CPB＝90°，∴∠PCB＋∠PBC＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠EBA＋∠PBC＝90°，∴∠PCB＝∠EBA.在△CPB和△BEA中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CPB＝∠BEA＝90°，,∠PCB＝∠EBA，,CB＝BA，))∴△CPB≌△BEA(AAS)，∴CP＝BE，BP＝AE.∵PE＝BE－BP，∴PE＝CP－AE.(3)7.5　【点拨】作CP⊥BE，交BE的延长线于点P，如图．∵CP⊥BP，∴∠CPB＝90°＝∠BEA，∴∠CBP＋∠BCP＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠CBP＋∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠BCP.在△ABE和△BCP中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEA＝∠CPB，,∠ABE＝∠BCP，,AB＝BC，))∴△ABE≌△BCP(AAS)，∴CP＝BE＝2.∵在Rt△ABE中，AE＝5，BE＝2，∴AB＝eq \r(AE2＋BE2)＝eq \r(52＋22)＝eq \r(29).∴BC＝eq \r(29)，　∴S△AEC＝S△ABC－S△ABE－S△BEC＝eq \f(1,2)AB·BC－eq \f(1,2)BE·AE－eq \f(1,2)BE·CP＝eq \f(29,2)－5－2＝7.5.3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，18112，16，208，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，____，2614，48，5018，80，8222，120，122