沪科版（2024）数学八年级下册 第18章 勾股定理及其逆定理 单元测试（试卷含答案）

这是一份沪科版（2024）数学八年级下册 第18章 勾股定理及其逆定理 单元测试（试卷含答案），文件包含第18章单元测试答案docx、第18章单元测试doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
第18章 单元测试班级：________　　姓名：________　　分数：________　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．下列各组数中，是勾股数的是（D）A．6，9，12 －9，40，41 C．52，122，132 D．7，24，252．一个直角三角形两直角边分别为4，5，它的斜边长的平方的值为（A）A．41 B．9 C．21 D．293．已知平面直角坐标系内点P(1，2)，Q(2，－3)，那么线段PQ的长为（B）A．5 B.eq \r(26) C.eq \r(27) D．2eq \r(7)4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＋∠B＝∠C，则它的三边a，b，c的比可能为（C）A．1∶1∶2 B．1∶2∶3 C．3∶4∶5 D．13∶5∶145．如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（B）A．36 B．4.5π C．9π D．18π6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5 m及5 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如图②所示，一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（B）A．3 m B．4 m C．5 m D．7 m7. 如图，点E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE＝5，CD＝17，则AC的长为（D）A．17 B．15 C．14 D．138．如图，长方体的底面边长分别为3 cm和9 cm，高为7 cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（D）A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．25 cm图9．如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，斜边BD的长是（B）A.eq \f(\r(a2－b2),2) B.eq \r(\f(a2＋b2,2)) C．a＋b D．a－b【解析】设直角三角形的短边长为y，长边长为x，则x＋y＝a，x－y＝b，4xy＝a2－b2.∴BD＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(（x＋y）2－2xy)，即解．10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是（C）A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90°C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°【解析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形，即可求解．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2＋BC2＋AC2＝ 8.12．如图，CD⊥AD于点D，AD＝12，AC＝13.若在直线CD上取一点B，使AB＝15，则△ABC的周长为32.第12题图 　第13题图13．如图，一台笔记本电脑平放在桌面上，屏幕宽BC为25 cm，当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE为 20 cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15 cm，则E处与F处之间的距离EF长为5cm.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.(1)AB边上的高为eq \f(12,5)；(2)若将Rt△ABC扩充为等腰三角形ABD，且比原三角形多出部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为3，2或eq \f(7,6).【解析】(1)由勾股定理求出AB的长，再由三角形面积求出AB边上的高即可；(2)在BC的延长线上取点D，分AD＝AB，BA＝BD，AD＝BD三种情况解答即可．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，AC＝5，求BC的长．解：设BC＝a，则AB＝2a.由题意可知a2＋(2a)2＝52，∴a2＝5.∴a＝eq \r(5)或a＝－eq \r(5)(舍去)．∴BC＝eq \r(5).16．如图，在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点，使组成的三角形满足如下条件．(仅用无刻度的直尺作图)(1)在图①中作一个等腰三角形ABC；(2)在图②中作一个Rt△ABD，使两直角边的长均为无理数．解：(答案不唯一)(1)如图①，△ABC，△ABC1即为所求．(2)如图②，△ABD，△ABD1即为所求．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．已知a，b，c满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－2\r(5)))＋eq \r(b－6)＋(c－2eq \r(14))2＝0.(1)求a，b，c的值；(2)以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．解：(1)∵a，b，c满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－2\r(5)))＋eq \r(b－6)＋(c－2eq \r(14))2＝0，∴a－2eq \r(5)＝0，b－6＝0，c－2eq \r(14)＝0，∴a＝2eq \r(5)，b＝6，c＝2eq \r(14).(2)能，∵a＝2eq \r(5)，b＝6，c＝2eq \r(14)，∴a2＝20，b2＝36，c2＝56，∵20＋36＝56，即a2＋b2＝c2，∴a，b，c为边能构成三角形，此三角形是直角三角形，∴三角形的面积为eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×6＝6eq \r(5).18．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．解：∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝4.①若PB＝PC，设PA＝x，则PB＝4－x，在Rt△APB中，有x2＋32＝(4－x)2，解得x＝eq \f(7,8)，即PA＝eq \f(7,8)；②若PA＝PC，则PA＝2；③若PA＝PB，由图知在Rt△PAB中不存在．综上所述，PA的长为2或eq \f(7,8).五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港，求A，C两港之间的距离．(结果保留到0.1 km，参考数据：eq \r(2)≈1.414)解：由题意可得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，∴∠ABQ＝30°，∴∠ABC＝90°.∵AB＝BC＝10 km，∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝10eq \r(2)≈14.1(km)．答：A，C两港之间的距离为14.1 km.20．如图所示的赵爽弦图由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成．连接AG，BG，若AE＝4，BE＝3.(1)求线段BG的长度；(2)判断△AGB是否为直角三角形，并说明理由．解：(1)由题意得CG＝BF＝AE＝4，CF＝BE＝3，∴FG＝CG－CF＝1，∴在Rt△BFG中，BG＝eq \r(BF2＋GF2)＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).(2)△AGB不是直角三角形，理由：∵在Rt△AHG中，AH＝3，GH＝1，∴AG2＝10，∵在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝3，∴AB2＝25，∵AG2＋BG2＝10＋17＝27，∴AG2＋BG2≠AB2，∴△AGB不是直角三角形．六、(本题满分12分)21．如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，记△OA1A2面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3……，细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：①(eq \r(1))2＋1＝2，S1＝eq \f(\r(1),2)；②(eq \r(2))2＋1＝3，S2＝eq \f(\r(2),2)；③(eq \r(3))2＋1＝4，S3＝eq \f(\r(3),2)；…(1)请写出第n个等式：(eq \r(n))2＋1＝n＋1，Sn＝eq \f(\r(n),2)；(2)根据式子规律，线段OA10＝eq \r(10)；(3)求出Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)＋Seq \o\al(2,3)＋…＋Seq \o\al(2,1)0的值．解：(3)由(1)中规律可得Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)＋Seq \o\al(2,3)＋…＋Seq \o\al(2,1)0＝eq \f(1,4)×(1＋2＋…＋10)＝eq \f(55,4).七、(本题满分12分)22．如图，有一台风中心沿我国沿海东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，又AB＝500 km，经测量，距离台风中心260 km及以内的地区会受到影响．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为28 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？解：(1)海港C受台风影响，理由：∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240 km，∵以台风中心为圆心周围260 km及以内为受影响区域，∴海港C受台风影响．(2)当EC＝260 km，FC＝260 km时，正好影响C港口，∵ED＝eq \r(EC2－CD2)＝eq \r(2602－2402)＝100(km)，∴EF＝2ED＝200 km，∵台风的速度为28 km/h，∴200÷28＝eq \f(50,7)(h)．答：台风影响该海港持续的时间为eq \f(50,7) h.八、(本题满分14分)23．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋eq \r(3)，PA＝eq \r(2)，则：Ⅰ)线段PB＝eq \r(6)，PC＝2；Ⅱ)猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2＋PB2＝PQ2；(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请利用图②给出证明过程．解：(2)成立．证明：过点C作CD⊥AB于点D.∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD＝AD＝DB.∵PA2＝(AD＋PD)2＝(DC＋PD)2＝DC2＋2DC·PD＋PD2，PB2＝(PD－BD)2＝(PD－DC)2＝DC2－2DC·PD＋PD2，∴PA2＋PB2＝2DC2＋2PD2.∵在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2＝DC2＋PD2，∴PA2＋PB2＝2PC2.∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2＝PQ2，∴PA2＋PB2＝PQ2