北师大版（2024）九年级上册用因式分解法求解一元二次方程教学ppt课件

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1.理解用因式分解法解方程的依据；2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程；(重点)3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.(难点)
1.我们已经学过哪些一元二次方程的解法？
直接开平方法、配方法、公式法.
2.因式分解的主要方法有哪些？
①提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c).
②公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b), 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 .
③十字相乘法：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
思考：你能根据上边的正确结论解一元二次方程(x+1)(x－1)=0吗？
探究一：因式分解法解一元二次方程
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意,可得方程 x2 = 3x.但他们的解法各有不同.
依据：如果a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0.
小亮的方法更简单，但是小颖的方法是万能的.
小颖和小亮的解法都是正确的，小明的解法是错误的。小颖应用了公式法解方程，是正确的。小明的解法是错误的，约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0的情况。小亮的方法是利用了方程一边为0,另一边分解成两个一次因式乘积的形式。
（2）对比小颖和小亮的方法，你有什么发现？
因式分解法解一元二次方程
通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
适用范围：一元二次方程为一般形式，方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积.依据：若a·b＝0，则a＝0或b=0.
1.解下列方程：（1）5x2 = 4x ; （2）x – 2 = x (x - 2).
解：(x - 2) – x (x - 2) = 0, (x - 2) (1 - x) = 0. ∴x – 2 = 0 或 1 – x = 0. ∴ x1 = 2 , x2=1.
原来的一元二次方程化成了两个一元一次方程.
1.移项：将方程的右边化为0;
2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积;
3.转化：方程转化为两个一元一次方程;
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解.
因式分解法解一元二次方程的步骤：
探究二：选用适当的方法解一元二次方程
解： (x+2)(x-2)=0,
∴ x+2=0 或 x-2=0.
∴ x1=-2， x2=2.
解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴ x+6=0 或 x-4=0.
∴ x1=-6，x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解?
还可以用直接开平方法解方程.
例 用适当的方法解方程：（1）3x(x + 5)= 5(x + 5)； （2）(5x + 1)2 = 1。
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
一元二次方程的解法及适用类型:
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
一元二次方程的解法选择思路：
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
2.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( )A．(x－2)(x＋5)＝2 B．(x－2)2＝ x 2－4C． x 2＋5 x －2＝0 D．12(2－ x)2＝3
分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法.
解：整理，得（x-1）2＝ 9. 开平方，得x-1 ＝ ±3， 即x-1 ＝ 3 或x-1 ＝ -3， ∴ x1＝4，x2＝-2.
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
（3）9（x+1）2＝（2x-5）2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1， ∴ Δ＝ b2-4ac＝（-12）2-4×9×（-1）＝ 144+36 ＝180>0，
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：设这个数为x,根据题意,得
∴x=0,或2x-7=0.
x(2x-7) =0,
1.一元二次方程x(x －3)＋3－ x ＝0的根是( )A．1 B．3 C．1和3 D．1和2
2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4 x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( )A．5 B ．7 C．5或7 D．10
3.经计算，整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4=0的根为(　　)A. x1=-1，x2=-4　  B. x1=-1，x2=4C. x1=1，x2=4　   D. x1=1，x2=-4
6．若正数a是一元二次方程x 2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是 ．
4．方程x 2＝| x |的根是 ．
5．如果x 2－ x －1＝(x ＋1)0，那么x的值为 ．
7.小华在解一元二次方程x2－8x＝0时，只得出一个根是x＝8，则被她漏掉的一个根是x＝______.
8.用因式分解法解下列方程：(1)2(x －3)2＝x2－9； (2)(3x＋2)2－4x2＝0； (3)5x(2x－3)＝10x－15.
解：(1)2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.解得x1＝3，x2＝9.
9.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0， (x－7)(x－10)＝0 得 x1＝7，x2＝10.当x＝10时，3＋7＝10，∴x2＝10不合题意，舍去．∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
1.必做题：习题2.7第1-2题。2.探究性作业：习题2.7第3题。