湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年高二下学期7月期末试卷数学（含解析）

这是一份湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年高二下学期7月期末试卷数学（含解析），共34页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时量：120分钟 满分150分）
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 在复数范围内方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解：方程，即，开方得，
故选：C．
2. 已知函数，的最小值是：（ ）
A. B. 0C. 4D. 8
【答案】B
【详解】由题意可知，在上单调递增，则最小值为.
故选：B
3. 从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（ ）种
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【详解】根据题意，从中取出2个字母的所有排列，
共有种.
故选：D.
4. 若非零向量与满足，且，则为（ ）
A. 三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形
D. 等边三角形
【答案】D
【详解】因为分别为与同向的单位向量，
因为，可知的角平分线与BC垂直，则，
又因为，即，
且，则，所以是等边三角形.
故选：D.
5. 将一枚质地均匀的硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】每次抛掷硬币都是2种可能，则抛掷10次共有种可能，
其中恰好出现4次正面朝上，6次反面朝上共有种，
则硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是.
故选：C
6. 假如女儿的身高（单位：cm）关于父亲的身高（单位：cm）的经验回归方程，已知父亲的身高175cm，则女儿的身高：（ ）
A. 一定是167.57cmB. 高于167.57cm
C. 低于167.57cmD. 可能是167.57cm
【答案】D
【详解】由题设cm，女儿的身高大约为167.57cm.
故选：D
7. 在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，
轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：

则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确；
对B：的最小正周期为，故B错误；
对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误；
对D：的最小正周期为，故D错误.
故选：A.
8. 银行储蓄卡密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设为“第次按对密码”，
事件为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”，
则，事件互斥，
所以,
故选：C.
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：（ ）
A. 某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B. 从10台冰箱中抽取3台进行质量检查
C. 某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量
D. 从50个零件中抽取5个做质量检验
【答案】ABD
【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法；
选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样；
选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样；
选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法.
故选：ABD
10. 在某次单元测试中，4000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有：（ ）
A. 成绩在分的考生人数最多B. 考生考试成绩的第80百分位数为83.3
C. 考生考试成绩的平均分约为70.5分D. 考生考试成绩的中位数为75分
【答案】ABC
【详解】A：由直方图知对应矩形最高，即频率最大，故成绩在分的考生人数最多，对；
B：由，故成绩的第80百分位数在区间，
设为，则，可得分，对；
C：由图知，平均分为，对；
D：由，
所以中位数位于区间，设为，则，可得分，错.
故选：ABC
11. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，下列判断正确的是（ ）
A. 的周期是4B. 是函数的一个最大值
C. 的图象关于点对称D. 在上单调递减
【答案】BD
【详解】因为是定义在上的奇函数，则 ①，且.
又因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.
再由，得 ②
故函数图象关于直线对称，故函数上单调递减，故D正确；
由①②可得，所以有，
故得8为函数的一个周期，又由，得不到，故A错误；
由上分析，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在一个周期内函数有最大值，即是函数的一个最大值，故B正确.
由对称性可知函数关于对称，不是关于对称，所以C错误.
故选： BD
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方块”，，“抽到红花色”，则____________.
【答案】##
【详解】由题意且为互斥事件，，
则.
故答案为：
13. 展开式中的常数项为____________.
【答案】
【详解】对于，展开式通项为，，
当时，故原式的常数项为.
故答案为：
14. 若将6名高二学生分到3个社团参加活动，一个1名，一个2名，一个3名，则有____________种不同的分法.
【答案】360
【详解】先从6名学生中选取1名，则有种；
再从剩下的5名学生中选取2名，则有种；
最后从剩下的3名学生中选取3名，则有种；
所以共有种分法.
故答案为：360.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 化简计算下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）100；（2）.
解析：原式=
(2)原式=
16. 已知分别是内角的对边， ．
（1）若，求
（2）若，且求的面积．
【答案】（1）；（2）1
解析：（1）由题设及正弦定理可得
又，可得
由余弦定理可得
（2）由（1）知
因为，由勾股定理得
故，得
所以的面积为1
17. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（1）求证：；
（2）若，，为的中点，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）二面角的余弦值为．
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，则，
因平面，且平面，则，
又平面，平面，，因此平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知，两两垂直，以B原点建立空间直角坐标系，如图，
在中，，，则，，
，，
设平面一个法向量，则，令，得，
由（1）知平面，则平面的法向量，
则，显然平面与平面的平面角为锐角，
所以平面与平面的余弦值是.
18. 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和.
（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；
（3）若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.
【答案】（1）1.24
（2）分布列见解析，期望1.44；
（3）粒.
【小问1详解】
种子密度的平均值为：（）
【小问2详解】
由频率分布直方图知优种占比为，
任选一粒种子萌发的概率，
因为这批种子总数远大于2，所以，
，，
，
所以布列为：
期望.
【小问3详解】
因为该品种种子的密度，
所以，，即，
所以20000粒种子中约有优种（粒）
即估计其中优种的数目为粒.
19. 已知函数，若的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点.
（1）求的表达式和的递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1），的递增区间为，.（2）
【详解】（1），
的最小正周期为，∴.
∵的图象过点，∴，∴，
即.
令，，，，
故的递增区间为，.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.
∵，∴，∴，故在区间上的值域为.
若函数在区间上有且只有一个零点，
即函数的图象和直线只有一个公共点，
如图，
根据图象可知，或，即.
故实数的取值范围是.0