湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A. =1B. +y2=1
C. =1D. +x2=1
【答案】A
【解析】由焦点为(-1，0)和(1，0)，可得：c=1，
由点P(2，0)在椭圆上，可得为椭圆右顶点，故，
所以,
所以椭圆的方程为=1.
答案：A.
2. 若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A. B.
C. ，2，D.
【答案】C
【解析】A，，错误.
B，，错误.
C，，正确.
D，，错误.
故选：C
3. 等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】由等差数列性质可得，
，
故选：B.
4. 如图，在三棱锥中，､分别是棱､的中点，则向量与的关系是( )

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】取的中点，连结，

分别是的中点，，，
.
故选：C.
5. 已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切
C. 相离D. 以上皆有可能
【答案】A
【解析】由题意圆的圆心，半径，
由在圆外，得，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
故选：A.
6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
7. 已知函数在处的切线与直线垂直，则a的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因的斜率为，
则．故选：B．
8. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】法一：不妨设，则，
整理得到: ,
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，
故的最大值为.
法二：由万能公式得，，
代入原式并化简得，
令，因为题设中欲求最大值，故可设,
故原式转化为
，
当且仅当时取等，显然最大值为.
故选：D
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 圆（ ）
A. 关于点对称
B. 关于直线对称
C. 关于直线对称
D. 关于直线对称
【答案】ABC
【解析】由圆的方程为，
即，
即圆心的坐标为，
A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确；
B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确；
C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确；
D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确；
故选：ABC.
10. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为B.
C. 的面积为D.
【答案】AD
【解析】点在抛物线上，
，
，焦点为，准线为，对，
因为，
故，
故直线为：，
联立或，
，，
，，
，错，
，对，
的面积为．故错，
故选：AD．
11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】A项，且，而和异号.
由于知，，即，，，故A项正确；
B项，从前面的求解过程知，，说明是单调递减的正项等比数列，
且，所以，那么，故B项正确；
C项，是正项数列，没有最大值，故C项错误；
D项，从前面的分析过程可知前6项均大于1.从起全部在上.
所以的最大值为，故D项正确，
故选：ABD
12. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 在处取得最小值B. 在处取得最大值
C. 有两个不同零点D.
【答案】BD
【解析】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确，
令，解得，可得只有一个零点，故C错误，
易知，且结合单调性知，
即成立，故D正确.
故选：BD
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，若与平行，则___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，，
因为与平行，
所以有，
故答案为：
14. 设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则_______.
【答案】10
【解析】，成等比数列，
即，
解得或（舍去），故
故答案为：
15. 已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为________．
【答案】
【解析】当时，
令，
上递减，上递增，
∴最小值为．
故答案为：
16. 正三棱柱中，，是中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为__________．
【答案】
【解析】如图，正三棱柱中，取中点，连接，
则，
则平面，不妨设，
以为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
于是，
则，
，
取平面ABC的一个法向量为，
设直线PN与平面ABC所成的角为，
，
当时，，此时角最大．
故答案为：．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知直线与直线的交点为．
（1）求过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线方程．
解：（1）联立方程与，解得，，故，
而的斜率为，故所求直线斜率为，
则所求直线方程为，化简得.
（2）易知斜率为，故所求直线斜率为，
则所求直线方程为，
化简得.
18. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.
解：（1）设圆的圆心坐标为，
依题意，有，
解得，所以，
所以圆的标准方程为.
（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则，符合题意，此时直线的方程为.
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，解得.
此时直线的方程为
综上，直线的方程为或.
19. 如图,四边形是正方形,平面,,，，为的中点.
（1）求证:;
（2）求二面角的大小.
解：（1）依题意，平面，如图，以原点，
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意，可得,，
，，
即；
（2）∵，为的中点，∴
，平面,
平面，故为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
，
即，
令，得，故.
，
由图可得二面角为钝角，
二面角的余弦值为，则二面角的大小为.
20. 设数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
解：（1）∵，①
当时，，∴
当时，，②
由①-②得：
∴,∴是以为首项，公比为的等比数列
∴
（2）由（1）得
∴
21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为2，离心率等于.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于,两点,交轴于点，若，，求证：为定值.
解：（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以，
，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设、、的点的坐标分别为，，，点的坐标为，
显然直线的斜率存在，设直线的方程是，
联立，消去并整理得，
∴，，
又由，，得，，
∴.
22. 设函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
解：（1），所以.
当时，，函数在函数上单调递减.
当时，若，若，
在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，
即恒成立，
设，
由题意知时，，
故当时函数单调递增，
所以恒成立，即恒成立，
记，得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，故，又，则，
的取值范围是．