湖北省恩施州重点高中2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题（无解析）

这是一份湖北省恩施州重点高中2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题（无解析），共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】D
【详解】由排列数与组合数的计算公式，可得.
故选：D.
2. 计算（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【详解】设，，，
故选：A.
3. 已知函数，则（ ）
A. 极大值为，无极小值B. 极小值为，无极大值
C. 极大值为，无极小值D. 极小值为，无极大值
【答案】A
【详解】，令，解得，
，，单调递增；，，单调递减，
因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值.
故选：A.
4. 已知，，，三个函数图象如图所示，则，，的图象依次为图中的（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【详解】令，可得，，，
因为，可得，，又因为，可得，即，
所以，所以，，的图象依次为图中的.
故选：C.
5. 学校有5名男教师，3名女教师，现在要随机选择3名教师参加会议，下列事件中概率等于的是（ ）
A. 至少有1名女教师B. 有1名或2名女教师
C. 有2名或3名女教师D. 恰有2名女教师
【答案】C
【详解】记选项A、B、C、D对应事件的概率分别为，，，，
可得，，，.
故选：C.
6. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度及测量技术的原因，测得n个数，，，…，（），则使这n个数据的方差最小的x为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由函数，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
故选：D.
7. 已知定义在R上的函数，是其导函数，若是偶函数，是奇函数，当时，关于a的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】因为是偶函数，所以，即，
又因为是奇函数，所以，
即，
联立方程组，解得，
因为，所以，
又由，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
8. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（ ）
A. 144B. 240C. 336D. 456
【答案】C
【详解】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为；
第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为；
所以不同放置方式种数为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式给出，其中M为地球质量，G为引力常量，则（ ）
A. F关于r的瞬时变化率为B. r关于F的瞬时变化率为
C. m关于r的瞬时变化率为D. F关于m的瞬时变化率为
【答案】AD
【详解】对A中，由，可得
由导数的物理意义，可得F对于r的瞬时变化率是，所以A正确；
对于B中，由，可得，所以B错误；
对于C中，由，可得，所以C错误；
对于D中，由，可得，所以D正确.
故选：AD.
10. 已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（ ）
A.
B. 当或3时，最大
C.
D. 两种方案中第三次抽到次品的概率均为
【答案】BCD
【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数，
，，
方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布，
则，.
选项A，，，，A错误；
选项B，，由于，故或3时，最大，B正确；
选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确；
选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为，
方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，
其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为，
“次正次”的概率为，“次次次”的概率为，
故第三次抽到次品的概率为，D正确.
故选：BCD.
11. 已知三次函数，则（ ）
A.
B. 若有三个不同的实数根，则
C 若，则
D. 若有三个不同的正实数根，则的取值范围是
【答案】ACD
【详解】对于A中，由函数
可，所以A正确.
对于B中，由，可得是的一个解，
要使得有三个不同的实数根，
则有两个实数根，则，
即，即，解得或，所以B错误；
对于C中，由，
则，所以C正确；
对于D中，要使得有三个不同的正实数根，其中是的一个解，
则满足，解得，
令，其中，可得，
所以在上单调递减，且时，，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 除以7的余数是______.
【答案】1
【详解】因为，
所以除以7的余数为1.
故答案为：1.
13. 设随机变量，，则实数a的值为______.
【答案】
【详解】由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，解得.
故答案为：
14. 若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【详解】令，要使对恒成立，
则当时，与需同号；当时，与需异号，
由函数，可得，
令，可得；令，可得，
所以函数在单调递增，在单调递减，
且，，，
又由函数，可得，
所以在单调递减，且，
在同一平面直角坐标系中，作出函数与函数在的图象，
且图象交于点，如图所示，
由图象知，当时，不符合题意；
当时，直线在两图象上方或经过两图象交点，所以.
故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中所有二项式系数之和为512.
（1）求n的值；
（2）求展开式中第项的系数与第3项的系数的比值.
【答案】（1）
（2）32
【小问1详解】
解：的展开式中二项式系数之和为，可得，解得.
【小问2详解】
解：由（1）知二项式的展开式的通项为，
可得，
所以第项系数与第3项的系数的比值为.
16. 某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据：
（1）若步频和步长近似为线性相关关系，当时，，，根据表中数据，求出y关于x的回归直线方程.
附：回归直线方程中，
（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，根据表中数据，若得出y关于x的经验回归方程为，且计算出在样本点处的残差为，求实数m的值.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：根据统计表格中的数据，可得，，
又由，，可得，
则，所以回归直线方程为.
【小问2详解】
解：由回归方程为，且计算出在样本点处的残差为，
可得，解得，
因为，，
可得，解得.
17. 已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P.
（1）若为直角，求实数a的值；
（2）求点P到直线的距离.
【答案】（1）
（2）1
【小问1详解】
解：由函数和，
可得和，则，，
由是直角，则，即，
解得，则.
【小问2详解】
解：由（1）知，，
由，知，所以直线与必相交，
又由，
联立方程组，解得，即，
故点P到直线的距离为.
18. 已知函数，其中，e为自然对数的底数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围；
（3）若函数有两个零点，，求证：.
【答案】（1）答案见详解
（2）
（3）证明见详解
【小问1详解】
当时，，
可知的定义域为，且，
设，则，
可知在单调递增，且，
当时，，即；当时，，即；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
由题意可知：的定义域为，且，
设，则，可知在单调递增，
因为函数存在极小值点，所以在存在零点，
即，可得.
则，可得，
设，且，
当，，则；
当，，则.
可得，，
所以实数a的取值范围为.
【小问3详解】
令，可得，
由题意可得：，
构建，则，
不妨设，可得，
令，解得；令，解得；
可知函数在上单调递增，在上单调递减，且，
可得，
构建，，
则，
可知函数在上单调递增，则，即，
则，且，
又因为在上单调递减，所以，即.
19. 甲乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分；平局两人均不计分.按照规则，当一方的得分比另一方多2分时即获胜，比赛结束.已知每局中，甲获胜概率为，乙获胜概率为，平局的概率为，且每局互不影响，相互独立.
（1）求甲在进行了3局后获胜的概率；
（2）若进行n局后，记甲领先1分的概率为，甲乙持平的概率为，求证：存在实数，使得为等比数列；
（3）记甲乙两人进行m局后恰好分出胜负的概率为，求
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），.
【小问1详解】
甲在第3局后胜出的得分情况为，即（甲胜，平局，甲胜）或
（平局，甲胜，甲胜），
概率为；
【小问2详解】
进行第n局后，设乙领先1分的概率为，根据对称性有，
从而，
，
，
所以，解得，
所以当时，是公比为等比数列；
【小问3详解】
由（2）可知，当，，公比为，
所以①，
当，，公比为，
所以②，
②①可得，
要使得m局后恰好分出胜负，那么，
则，
所以，.
步频x（单位：步/s）
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步长y（单位：cm）
90
95
99
m
115