2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0截直线x+y+2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8
3．（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，，则这个二面角的度数为（ ）
A．30°B．45°C．90°D．150°
4．（5分）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，且焦距为2，则m的值为（ ）
A．4B．5C．7D．8
5．（5分）若数列{}是等差数列，a1＝l，a3，则a5＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．（5分）已知，若，则x0＝（ ）
A．B．2C．D．e
8．（5分）设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1＝a，（），an+1，若a6，则（ ）
A．0＜S5B．S5＜1C．1＜S5D．S5＜2
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（3，1），直线l经过点C（1，3）且与线段AB相交，则直线l与圆（x﹣6）2+y2＝2的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．不好确定
（多选）10．（5分）已知动点P在左、右焦点分别为F1、F2的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2
B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值
D．双曲线C的渐近线方程为
（多选）11．（5分）已知函数f（x）x3﹣4x+4，则（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．x＝﹣2是f（x）的极大值点
C．f（x）有三个零点
D．f（x）在[0，3]上的最大值是4
（多选）12．（5分）等比数列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列
B．设数列{an}的前n项和为Sn，对∀n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立
C．数列{an}是递增数列
D．数列{lg（﹣an）}是首项和公差都小于0的等差数列
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知空间向量（λ+1，1，λ），（6，μ﹣1，4），若，则λ+μ＝ ．
14．（5分）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2，a5+a6＝12，则S4＝ ．
15．（5分）若曲线y＝lnx在点P（e，1）处的切线也是曲线y＝eax的一条切线，则a＝ ．
16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点P为底面ABCD上一点则•的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．
（1）求直线l的方程；
（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．
18．（12分）已知直线l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直线l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．
（1）当m为何值时，直线l1和l2平行？
（2）当m为何值时，直线l1和l2重合？
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，，M为BC的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥AM；
（Ⅱ）求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．
20．（12分）已知等差数列{an}的公差d＝2，且a1+a3＝8，数列{bn}是首项为的等比数列，且满足b1，2b2，4b3成等差数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足，求证数列{cn}的前n项和Tn＜2．
21．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的长轴长是短轴长的2倍．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A、B两个不同的点，若存在实数λ，使得，求m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnxmx﹣1，m∈R．
（1）若该函数在x＝1处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，求m的值；
（2）若函数g（x）＝xf（x）在其定义域上有两个极值点x1，x2．
①求m的取值范围；
②证明：x1x2＞e2．
2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题(本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，且，
∴，，
∴．
故选：D．
2．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0截直线x+y+2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0 即 （x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣a，
故弦心距d．
再由弦长公式可得 2﹣a＝2+4，∴a＝﹣4，
故选：B．
3．（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，，则这个二面角的度数为（ ）
A．30°B．45°C．90°D．150°
【解答】解：设这个二面角的度数为α，
由题意得，
∴2•cs（π﹣α），
∴（5）2＝25+9+16﹣2×3×4×csα，
解得csα＝0，
∴α＝90°．
∴这个二面角的度数为90°．
故选：C．
4．（5分）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，且焦距为2，则m的值为（ ）
A．4B．5C．7D．8
【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，焦距为2，
∴m﹣2＞5﹣m＞0并且m﹣2﹣5+m＝1，
解得m＝4，
故选：A．
5．（5分）若数列{}是等差数列，a1＝l，a3，则a5＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：数列{}是等差数列，
设其公差为d，则2d，
∴，可得，即a5．
故选：D．
6．（5分）已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解答】解：圆：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4的圆心为C（6，2），半径为2，
过点C作抛物线y2＝16x准线x＝﹣4的垂线，垂足为N，如图所示：
由抛物线的定义可知：|PF|＝|PN|，
当P、A、N经过圆C的圆心时，|PA|+|PF|取得最小值，
圆心（6，2），半径为2，
∴|PA|+|PF|最小值为：10﹣2＝8．
故选：C．
7．（5分）已知，若，则x0＝（ ）
A．B．2C．D．e
【解答】解：，
∴，
∴x0＝2．
故选：B．
8．（5分）设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1＝a，（），an+1，若a6，则（ ）
A．0＜S5B．S5＜1C．1＜S5D．S5＜2
【解答】解：∵an+1，
∴an﹣1，即an﹣1，
∴a1﹣1，a2﹣1，a3﹣1，a4﹣1，a5﹣1，
将以上各式相加得S5﹣5，
∵a6，a1＝a（），
∴S55＝10，
∴﹣9，
∴1＜S5，
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（3，1），直线l经过点C（1，3）且与线段AB相交，则直线l与圆（x﹣6）2+y2＝2的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．不好确定
【解答】解：直线AC的斜率为kAC1，kBC1，
∴直线l经过点C（1，3）且与线段AB相交，
∴直线l的斜率的范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
直线BC的方程为y﹣3＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣4＝0，
由圆（x﹣6）2+y2＝2，可得圆心D（6，0），r，
圆心D的直线BC的方程的距离为dr．
故直线l与圆相切或相离．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知动点P在左、右焦点分别为F1、F2的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2
B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值
D．双曲线C的渐近线方程为
【解答】解：由双曲线，得a2＝1，b2＝3，则，
∴双曲线C的离心率为e2，故A正确；
当P在双曲线左支时，|PF1|≥c﹣a＝1，|PF2|＝2a+|PF1|＝|PF1|+2，
．
当且仅当|PF1|＝2时等号成立，∴的最大值为，故B错误；
设P（x0，y0），则，双曲线的两条渐近线方程为x±，
则点P到两条渐近线的距离乘积为，故C正确；
双曲线的渐近线方程为y，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）x3﹣4x+4，则（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．x＝﹣2是f（x）的极大值点
C．f（x）有三个零点
D．f（x）在[0，3]上的最大值是4
【解答】解：f′（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
令f′（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝2，
f′（x）与f（x）随x的变化情况如下表：
因此函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，故A错误；
x＝﹣2是f（x）的极大值点，故B正确；
因为f（﹣6）＝﹣44＜0，f（﹣2）0，f（2），f（6）＝52，
由函数的单调性及零点存在性定理可知f（x）有三个零点，故C正确；
当f（x）的定义域为[0，3]时，
f（x）在[0，2]上单调递减，在（2，3]上单调递增，
又f（0）＝4，f（3）＝1，
所以f（x）在[0，3]上的最大值是4，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）等比数列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列
B．设数列{an}的前n项和为Sn，对∀n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立
C．数列{an}是递增数列
D．数列{lg（﹣an）}是首项和公差都小于0的等差数列
【解答】解：由q2可知A对；
由a1＜0，公比0＜q＜1，可知an＜0，∴当n＞2，n∈N*时，Sn＝a1+a2+•••+an＜an+a1恒成立，∴B对；
由a1＜0，公比0＜q＜1，可知数列{an}是递增数列，∴C对；
∵﹣an与1无法比较大小，∴数列{lg（﹣an）}是首项无法和0比较，∴D错．
故选：ABC．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知空间向量（λ+1，1，λ），（6，μ﹣1，4），若，则λ+μ＝ 5 ．
【解答】解：空间向量（λ+1，1，λ），（6，μ﹣1，4），若，
则x，x∈R；
即，解得λ＝2，μ＝3，
所以λ+μ＝5．
故答案：5．
14．（5分）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2，a5+a6＝12，则S4＝ ．
【解答】解：因为各项均为正数的等比数列{an}中，S2＝a1+a2，a5+a6＝（a1+a2）q4＝12，
所以q4＝16，
所以q＝2，a1，
则S4．
故答案为：．
15．（5分）若曲线y＝lnx在点P（e，1）处的切线也是曲线y＝eax的一条切线，则a＝ e﹣2 ．
【解答】解：由y＝lnx，得y′，∴，
∴曲线y＝lnx在点P（e，1）处的切线方程为y，即y，
设yx与y＝eax相切于点（），
由y＝eax，得y′＝aeax，
∴，则，a，
解得，∴a＝e﹣2．
故答案为：e﹣2．
16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点P为底面ABCD上一点则•的最小值为 ﹣2 ．
【解答】解：如图，
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点P为底面ABCD上一点，
则••（）cs
≥﹣||||，
当且仅当与反向，且||＝||时取等号，
故答案为：﹣2．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．
（1）求直线l的方程；
（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．
【解答】解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），∴直线l的斜率k，（2分）
∴所求直线的方程为y﹣1（x﹣2），
即直线l的方程为x﹣2y＝0．（5分）
（2）由（1）知，
∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为（2a，a），（6分）
∵圆C与x轴相切于（2，0）点，∴圆心在直线x＝2上，
∴a＝1，（9分）
∴圆心坐标为（2，1），半径r＝1，（11分）
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．（12分）
18．（12分）已知直线l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直线l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．
（1）当m为何值时，直线l1和l2平行？
（2）当m为何值时，直线l1和l2重合？
【解答】解：（1）由题意，，
得，解得m＝3或m＝﹣1
故当m＝3或m＝﹣1时，直线l1和l2平行．
（2）由题意，，
得，解得m＝2，
当m＝2时，直线l1和l2重合．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，，M为BC的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥AM；
（Ⅱ）求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ） 证明：连接AM交BD于点O，，
∴，
∴BD⊥AM，
又PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，
∴PD⊥AM，
又BD∩PD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD，
又PB⊂平面PBD，
∴AM⊥PB；
（Ⅱ）依题意，，，，
∴在△PAM中，由余弦定理可得，，
∴，
∴，
设平面PAM与平面PDC所成的锐二面角为θ，则，
故平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值为．
20．（12分）已知等差数列{an}的公差d＝2，且a1+a3＝8，数列{bn}是首项为的等比数列，且满足b1，2b2，4b3成等差数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足，求证数列{cn}的前n项和Tn＜2．
【解答】解：（1）因为d＝2，a1+a3＝8，
所以2a1+4＝8，解得a1＝2，
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n，
因为{bn}为等比数列，，且b1，2b2，4b3成等差数列，
所以4b2＝b1+4b3，
设公比为q，则4q2﹣4q+1＝0，所以，
所以，
所以an＝2n，．
证明：（2）由（1）得，
所以①，
②，
①﹣②得：，
所以．
21．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的长轴长是短轴长的2倍．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A、B两个不同的点，若存在实数λ，使得，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得F1（0，c），则1，则x＝±，
∴△MNF2的面积S2c，①，
∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，
∴a＝2b，②，
∵a2＝b2+c2，③，
由①②③解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程x21．
（2）当m＝0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，即
∴m＝0时，存在实数λ，使得，
当m≠0时，得，
∵A、B、P三点共线，∴1+λ＝4⇒λ＝3⇒3，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4＝0，
由已知得Δ＝4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0
且x1+x2，x1x2．
由3得x1＝﹣3x2
3（x1+x2）2+4x1x2＝0，
∴0⇒m2k2+m2﹣k2﹣4＝0
显然m2＝1不成立，
∴k2
∵k2﹣m2+4＞0，
∴m2+4＞0，即0．
解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．
综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}
22．（12分）已知函数f（x）＝lnxmx﹣1，m∈R．
（1）若该函数在x＝1处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，求m的值；
（2）若函数g（x）＝xf（x）在其定义域上有两个极值点x1，x2．
①求m的取值范围；
②证明：x1x2＞e2．
【解答】解（1）由已知得，∵，
∴，∴m＝1…（3分）
（2）∴g'（x）＝lnx﹣mx
①由题意可得g′（x）＝xlnx﹣mx＝0有2个正根即m有2个正根，
令h（x），则，
由h'（x）＞0得0＜x＜e，由h'（x）＜0得x＞e，
∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减且h（e），h（1）＝0，
x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→0，
∴（7分）
②由①可设0＜x1＜e＜x2，且h（x1）＝h（x2），
构造函数，
则，
∴φ（x）在（e，+∞）上为增函数，
∵x2＞e，∴ϕ（x2）＞ϕ（e），即，
∴，
∵0＜x1＜e，，且h（x）在（0，e）上单调递增，
∴，
∴（12分）x
（﹣∞，﹣2）
﹣2
（﹣2，2）
2
（2，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗