2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知椭圆的焦点为(−1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为
( )
A. x24+y2=1B. x24+y23=1C. y24+x2=1D. y24+x23=1
2.若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n=(−2,1,12)，则平面β的法向量可以是( )
A. (−1,12,14)B. (2,−1,0)C. (1,2,0)D. (12,1,2)
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a17=10，则S19的值是( )
A. 55B. 95C. 100D. 不确定
4.如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量EF与AB、CD的关系是( )
A. EF=12AB+12CDB. EF=−12AB+12CD
C. EF=12AB−12CDD. EF=−12AB−12CD
5.已知P(a,b)在圆x2+y2=4外，则直线ax+by−4=0与圆的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上皆有可能
6.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( )
A. y=± 2xB. y=± 3xC. y=± 22xD. y=± 32x
7.已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线与直线x+y−1=0垂直，则a的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
8.函数f(x)= 3sinx(1+csx)的最大值为( )
A. 32 3B. 54 3C. 58D. 94
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆x2+y2−4x−1=0，则下列说法正确的有( )
A. 关于点(2,0)对称B. 关于直线y=0对称
C. 关于直线x+3y−2=0对称D. 关于直线x−y+2=0对称
10.在平面直角坐标系xOy中，点M(4,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为x=−1B. |MN|=174
C. △OMN的面积为72D. |MF|+|NF|=|MF||NF|
11.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且a1>1，a6a7>1，a6−1a7−1<0，则下列结论正确的是( )
A. 012.对于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的有( )
A. f(x)在x=e处取得最小值1eB. f(x)在x=e处取得最大值1e
C. f(x)有两个不同零点D. f(2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a=(1,2,0),b=(−2,0,1)，若2a+b与ka+3b平行，则k=______．
14.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且a2，a4，a8成等比数列，则a5=______
15.已知直线x=t分别与函数f(x)=ex+x和g(x)=3x−1的图象交于点A，B，则|AB|的最小值为 ．
16.正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P=λA1B1，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，λ的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1：x−2y+3=0与直线l2：2x+3y−8=0的交点为M．
(1)求过点M且与直线l3：x+3y+1=0垂直的直线的方程；
(2)求过点M且与直线l4：3x+4y−5=0平行的直线的方程．
18.(本小题12分)
已知圆C经过A(1,3)，B(−1,1)两点，且圆心在直线y=x上．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线l经过点(2,−2)，且l与圆C相交所得弦长为2 3，求直线l的方程．
19.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB//PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．
(1)求证：AF⊥PC；
(2)求二面角D−PC−E的大小．
20.(本小题12分)
设数列{an}的前n项和为Sn，已知3Sn=4an−4，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=1lg2an⋅lg2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2，离心率等于2 55．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若MA=λ1AF,MB=λ2BF，求证：λ1+λ2为定值．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=alnx,g(x)=12x2．
(1)讨论函数h(x)=f(x)−g(x)的单调性；
(2)若a>0，对任意的x1>x2>0，不等式g(x1)−g(x2)>x1f(x1)−x2f(x2)恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程的求法，属于基础题．
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．
【解答】
解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题意可得c=1，a=2，b= 3，
即有椭圆方程为x24+y23=1．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：因为平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n=(−2,1,12)，
所以平面β的法向量与n垂直，
对于A，因为2+12+18≠0，故选项A错误；
对于B，因为−4−1≠0，故选项B错误；
对于C，因为−2+1=0，故选项C正确；
对于D，因为−1+1+1≠0，故选项D错误．
故选：C．
利用垂直的两个平面的法向量垂直，利用数量积为0依次判断四个选项，即可得到答案．
本题考查了平面的法向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，考查逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．由等差数列的性质，结合a3+a17=10求出a10，代入前19项的和得答案．
【解答】
解：在等差数列{an}中，由a3+a17=10，得2a10=10，∴a10=5．
∴S19=(a1+a19)×192=19a10=19×5=95．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：连接AF，EF=AF−AE=12(AB+AC)−12AD=12AB−12(AD−AC)=12AB−12CD，
故选：C．
根据向量的三角形法则，以及向量的加减几何意义即可求出．
本题考查了向量的三角形法则，以及向量的几何意义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：点P(a,b)在圆x2+y2=4外，则a2+b2>4，
因此，圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线ax+by−4=0的距离d=|0+0−4| a2+b2<4 4=2=r，
所以直线ax+by−4=0与圆x2+y2=4相交．
故选：A．
根据点P在圆外，算出a2+b2>4，从而算出圆心到直线ax+by−4=0的距离小于半径，可得答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、点与圆和直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．
本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
【解答】
解：∵双曲线的离心率为e=ca= 3，
则ba= b2a2= c2−a2a2= (ca)2−1= 3−1= 2，
即双曲线的渐近线方程为y=±bax=± 2x，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：因x+y−1=0的斜率为−1，
则f′(1)=1⇒f′(x)=ax+2x⇒f′(1)=a+2=1⇒a=−1．
故选：B．
由题可得f′(1)=1，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，化归转化思想，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由已知得f(x)=2 3sinx2csx2sin2x2+cs2x2⋅2cs2x2sin2x2+cs2x2=2 3tanx21+tan2x2⋅21+tan2x2，
tanx2=0时，f(x)=0，
当tanx2≠0时，令t=tanx2，则原函数化为g(t)=4 3tt4+2t2+1=4 3t3+2t+1t，t≠0，
显然g(−t)=−g(t)，故g(t)是奇函数，根据g(t)的符号可知，
当t>0时，g(t)>0，所以函数的最大值在t>0范围内，
令h(t)=t3+2t+1t，t>0，
令h′(t)=3t2+2−1t2=0，即3t4+2t2−1=0，解得t2=13或t2=−1(舍)，
解得t=±1 3(负值舍去)，
t∈(0,1 3)时，即t2∈(0,13)，则h′(t)<0，
t∈(1 3,+∞)时，即t2∈(13,+∞)，则h′(t)>0，
易知h(t)的极小值为h(1 3)=(1 3)3+2⋅1 3+ 3=163 3，也是最小值，
所以f(x)max=4 3h(x)min=4 3163 3=94．
故选：D．
由二倍角公式将原函数化为关于tanx2的解析式，再利用换元法结合导数研究函数的最值．
本题考查三角函数的性质的应用，求导的方法求函数的最值问题，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：圆x2+y2−4x−1=0，圆的圆心(2,0)，半径为： 5，
所以关于点(2,0)对称，所以A正确；
直线y=0经过圆的圆心，所以圆关于直线y=0对称，所以B正确；
直线x+3y−2=0经过圆的圆心，圆关于直线x+3y−2=0对称，所以C正确；
直线x−y+2=0不经过圆的圆心，圆不关于直线x−y+2=0对称，所以D不正确；
故选：ABC．
求出圆的圆心与半径，判断直线与圆的位置关系，判断结果即可．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的一般方程的应用，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵点M(4,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，
∴42=2p⋅4⇒p=2，
∴y2=4x，焦点为(1,0)，准线为x=−1，A对，
因为M(4,4)，
故kMF=4−04−1=43，
故直线MF为：y=43(x−1)，
联立y2=4xy=43(x−1)⇒169(x−1)2=4x⇒x=14或x=4，
∴N(14,−1)，
∴|MF|=4+p2=5，|NF|=14+p2=54，
∴|MN|=5+54=254，B错，
|MF|+|NF|=|MN|=254=|MF|⋅|NF|，D对，
△OMN的面积为12|OF|⋅(yM−yN)=12×1×5=52.故C错，
故选：AD．
根据条件求出p，再联立直线与抛物线求出N，进而求出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，以及三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由条件a1>1，a6a7>1，a6−1a7−1<0，
可得1∴a7a6=q∈(0,1)，a7a8∈(0,1)，Sn中没有最大值，Tn的最大值为T6．
故选：ABD．
由条件a1>1，a6a7>1，a6−1a7−1<0，可得1本题考查了等比数列的通项公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：函数的导数f′(x)=1−lnxx2(x>0)，
令f′(x)=0得x=e，则当00，函数为增函数，
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，
则当x=e时，函数取得极大值，极大值为f(e)=1e，即为最大值，故A不正确；
由A知当x=e时，函数取得最大值，最大值为f(e)=1e，故B正确；
由f(x)=0，得lnx=0，得x=1，即函数f(x)只有一个零点，故C错误；
∵f(2)=f(4)=ln44=2ln24=ln22，由x>e时，函数f(x)为减函数，知f(3)>f(π)>f(4)，
故f(2)故选：BD．
求导可知f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，从而可判断ABD，令f(x)=0得x=1，所以函数f(x)只有一个零点，可判断C．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】6
【解析】解：2a+b=2(1,2,0)+(−2,0,1)=(0,4,1)，
ka+3b=k(1,2,0)+3(−2,0,1)=(k−6,2k,3)，
若2a+b与ka+3b平行，则2a+b=λ(ka+3b)=((k−6)λ,2kλ,3λ)，
则(k−6)λ=02kλ=43λ=1，解得k=6，λ=13，
故答案为：6．
利用向量共线可得2a+b=λ(ka+3b)，求解可得．
本题考查向量共线的坐标运算，属基础题．
14.【答案】10
【解析】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．
依题意有a1+a2+a3=12a42=a2a8，即a1+d=4d2−a1d=0，
由d≠0，解得a1=2d=2，
所以a5=a1+4d=10．
故答案为：10．
利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．
本题考查数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力．
15.【答案】3−2ln2
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
当x=t时，|AB|=|f(t)−g(t)|=|et+t−3t+1=|et−2t+1|，令h(t)=et−2t+1，再利用导数研究函数的最值，即可求解．
【解答】
解：当x=t时，|AB|=|f(t)−g(t)|=|et+t−3t+1=|et−2t+1|，
令h(t)=et−2t+1，
求导可得，h′(t)=et−2，
令h′(t)<0，则x∈(−∞,ln2);
令h′(t)>0，则x∈(ln2,+∞)
h(t)在(−∞,ln2)上递减，在(ln2,+∞)上递增，
故h(t)min=h(ln2)=3−2ln2>0，
故|AB|的最小值为3−2ln2．
故答案为3−2ln2．
16.【答案】34
【解析】解：过点P作PQ⊥AB于点Q，连接NQ，
由正三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，所以AA1⊥AB，
所以PQ//AA1，PQ=AA1，
所以PQ⊥平面ABC，
所以∠PNQ是直线PN与平面ABC所成的角，
设AA1=AB=2，
在Rt△PQN中，tan∠PNQ=PQQN=2QN，
要使直线PN与平面ABC所成的角取最大值，则需tan∠PNQ最大，即QN最小，
所以QN⊥AB，
在等边△ABC中，BQ=BNcs∠ABN=1×cs60°=12，AQ=AB−BQ=2−12=32，即AQAB=322=34，
因为A1P=λA1B1，
所以AQ=λAB，所以λ=34．
故答案为：34．
过点P作PQ⊥AB于点Q，连接NQ，先证PQ⊥平面ABC，可知∠PNQ是直线PN与平面ABC所成的角，再将问题转化为求QN的最小值，即可得解．
本题考查空间中线面角的求法，熟练掌握线面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)解方程组x−2y+3=02x+3y−8=0可得x=1y=2，故直线l1：x−2y+3=0与直线l2：2x+3y−8=0的交点为M(1,2)．
与直线l3：x+3y+1=0垂直的直线的斜率为3，故过点M且与直线l3：x+3y+1=0垂直的直线的方程为y−2=3(x−1)，即3x−y−1=0．
(2)与直线l4：3x+4y−5=0平行的直线的直线的斜率为−34，
故过点M(1,2)且与直线l4：3x+4y−5=0平行的直线的方程为y−2=−34(x−1)，即3x+4y−11=0．
【解析】(1)由题意，利用两直线垂直的条件，求出斜率，再用点斜式求直线的方程．
(2)由题意，利用两直线平行的条件，求出斜率，再用点斜式求直线的方程．
本题主要考查两直线平行、垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设圆C的圆心坐标为(a,a)，
依题意，有 (a−1)2+(a−3)2= (a+1)2+(a−1)2，…(2分)
即a2−6a+9=a2+2a+1，解得a=1，…(4分)
所以r2=(1−1)2+(3−1)2=4，
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=4…(6分)．
(2)依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，
所以直线x=2符合题意…(8分)
设直线l方程为y+2=k(x−2)，即kx−y−2k−2=0，
则|k+3| k2+1=1，解得k=−43，
所以直线l的方程为y+2=−43(x−2)，即4x+3y−2=0…(10分)
综上，直线l的方程为x−2=0或4x+3y−2=0…(12分)
【解析】(1)设圆C的圆心坐标为(a,a)，依题意，有 (a−1)2+(a−3)2= (a+1)2+(a−1)2，求出圆心及半径，可得圆C的方程；
(2)设直线l经过点(2,−2)，且l与圆C相交所得弦长为2 3，分斜率是否存在两种情况，可得直线l的方程．
本题考查的知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系，难度中档．
19.【答案】解：(1)依题意，PA⊥平面ABCD，
如图，以A为原点，分别以AD,AB,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意，可得A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(4,4,0)，D(4,0,0)，
P(0,0,4)，E(0,4,2)，F(2,0,2)，
∵AF=(2,0,2),PC=(4,4,−4)，
∴AF⋅PC=8+0+(−8)=0，
∴AF⊥PC，即AF⊥PC；
(2)∵AD=AP，F为PD的中点，
∴AF⊥PD，
∵AF⊥PC，PD∩PC=P，PD，PC⊂平面PCD，
∴AF⊥平面PCD，
故AF=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量．
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，
∵PC=(4,4,−4),PE=(0,4,−2)，
∴n⋅PC=4x+4y−4z=0n⋅PE=4y−2z=0，则可取n=(1,1,2)．
∴cs=AF⋅n|AF|⋅|n|=2+0+42 2⋅ 6= 32，
由图可得二面角D−PC−E为钝角，
∴二面角D−PC−E的余弦值为− 32，
则二面角D−PC−E的大小为56π．
【解析】(1)利用空间向量的坐标运算证明；
(2)利用空间向量的坐标运算求二面角的大小．
本题考查利用空间向量证明线线垂直以及求解二面角的大小，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：(1)3Sn=4an−4，①
∴当n≥2时，3Sn−1=4an−1−4，②
由①−②得3an=4an−4an−1，即an=4an−1(n≥2)，
当n=1时，得3a1=4a1−4，即a1=4．
可得数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，
即有数列{an}的通项公式为an=4n；
(2)bn=1lg2an⋅lg2an+1=1lg24n⋅lg24n+1=12n⋅2(n+1)=14(1n−1n+1)，
可得数列{bn}的前n项和Tn=14(1−12+12−13+…+1n−1n+1)
=14(1−1n+1)=n4n+4．
【解析】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查裂项相消求和方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
(1)由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；
(2)求得bn=1lg2an⋅lg2an+1=1lg24n⋅lg24n+1=12n⋅2(n+1)=14(1n−1n+1)，再由裂项相消求和即可得到所求和．
21.【答案】(1)解：由题意设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则2b=2，b=1，又ca=2 55，可得c2a2=45，
∵a2=b2+c2，∴可得a2=5．
∴椭圆C的方程为x25+y2=1；
(2)证明：设A、B、M点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(0,y0).
又易知F点的坐标为(2,0)．
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k(x−2)．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得(1+5k2)x2−20k2x+20k2−5=0．
∴x1+x2=20k21+5k2，x1x2=20k2−51+5k2．
又∵MA=λ1AF,MB=λ2BF，将各点坐标代入得λ1=x12−x1，λ2=x22−x2．
∴λ1+λ2=x12−x1+x22−x2=2(x1+x2)−2x1x24−2(x1+x2)−x1x2=2⋅20k21+5k2−220k2−51+5k24−2⋅20k21+5k2−20k2−51+5k2=−10．
【解析】(1)由题意设出椭圆方程，并得到b=1，结合椭圆的离心率及隐含条件列式求得a，则椭圆C的方程可求；
(2)设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k(x−2).将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得(1+5k2)x2−20k2x+20k2−5=0.然后利用根与系数的关系证明λ1+λ2为定值．
本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：(1)h(x)=alnx−12x2，所以h′(x)=ax−x=a−x2x(x>0)．
当a≤0时，h′(x)<0，函数h(x)在函数(0,+∞)上单调递减．
当a>0时，若00，若x> a,h′(x)<0，
∴h(x)在(0, a)上单调递增，在( a,+∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，函数h(x)在函数(0,+∞)上单调递减．
当a>0时，h(x)在(0, a)上单调递增，在( a,+∞)上单调递减．
(2)由g(x1)−g(x2)>x1f(x1)−x2f(x2)恒成立，
可得g(x1)−x1f(x1)>g(x2)−x2f(x2)恒成立，
设φ(x)=g(x)−xf(x)=x22−axlnx(x>0)，
由题意知x1>x2>0时，φ(x1)>φ(x2)，
故当x∈(0,+∞)时函数φ(x)单调递增，
所以φ′(x)=x−a(lnx+1)≥0恒成立，即1a≥lnx+1x恒成立，
记t(x)=lnx+1x，得t′(x)=−lnxx2，
当00，当x>1时，t′(x)<0，
∴函数t(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴t(x)max=t(1)=1，故1a≥1，又a>0，则0∴a的取值范围是(0,1]．
【解析】(1)对h(x)求导，由导数与函数单调性的关系判断即可；
(2)构造函数φ(x)=g(x)−xf(x)，由其单调性列不等式，转化为最值问题求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．