河北省石家庄市重点高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试 数学（无解析）

这是一份河北省石家庄市重点高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试 数学（无解析），共23页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
【答案】C
【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得
指数函数过定点，则函数过定点，即
因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即
综上分析，可得
故选：C.
2. 将个相同的球放入三个不同的盒中，每盒至少一个球，有（ ）种不同的方法.
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】将个相同的球放入三个不同的盒中，只需将个小球排成一列，在中间的个空中，插入两个隔板，分成三部分，每个盒子中放一部分即可,所有共有种方法.
故选：A.
3. 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ）
A. 0.025B. 0.050C. 0.950D. 0.975
【答案】C
【详解】由正态分布曲线的对称性可知，.
故选：C.
4. 在的展开式中，则的系数为（ ）
A. 10B. 21C. 30D. 9
【答案】D
【详解】依题意，，
展开式中含的项为，
所以的系数为9.
故选：D
5. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】令，则，
因为函数在上单调递减，
所以当时函数的值域为，
则函数值域为，
故选：B.
6. 函数零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】函数的定义域为，
因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
所以有唯一零点在上，
故选：C
7. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由于，且互不相同，故可得个三位数.若，则“凹数”有：.共6个；若，则“凹数”有：.共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有.
8. 定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为，
所以，
由，可得，
又，所以，即，
所以，，
作出函数的图象如下图所示：
因为方程有四个不同的实根，
则或或，解得，
所以a的取值范围是.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ）
A. 为奇函数B. 为奇函数
C. 为偶函数D. 为偶函数
【答案】BCD
【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误；
由，得，所以为奇函数，B项正确；
因为，所以为偶函数，C项正确；
因为，所以为偶函数，D项正确.
故选：BCD.
10. 将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（ ）
A. “至少出现一个1点”所包含的样本点数为
B. “三个点数都不相同”所包含的样本点数为
C.
D.
【答案】ABC
【详解】将3枚骰子各掷一次，三个点数都不同的事件含有的基本事件数为，B正确；
至少出现一个1点的事件含有的基本事件数为，A正确；
事件含有的基本事件数为，于是，，C正确，D错误.
故选：ABC
11. 已知函数满足对任意，均有，且，设，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，则在上为奇函数
D. 若，则
【答案】BCD
【详解】对于A，取，得，则，A错误；
对于B，取，得，取，
则，即，
，B正确；
对于C，若，则，取，得，
则，在上为奇函数，C正确；
对于D，取，得，即，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【答案】
【详解】由解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
13. 某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有__________种（用数字作答）
【答案】65
【详解】在一号食堂就餐的同学有1个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛3，0｝，｛1，2｝，
就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有2个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1｝，｛2，0｝，
就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有3个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1，0｝，
就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有4个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛0｝，
就餐情况共有有种
综上所述，他们在三个食堂就餐的情况总共有：种.
故答案为：65.
14. 已知实数与满足，且，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】由于，故，且，
故
，
当且仅当，结合，故当时等号取到，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中，前两项的二项式系数之和是9.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的系数.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
依题意，即，解得，
所以展开式的通项为（且），
则展开式中二项式系数最大的项为.
【小问2详解】
令，解得，
所以，所以展开式中的系数为.
16. 为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换．
（1）两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望；
（2）两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为．
①求；
②求．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；
（2）①；②；
【小问1详解】
由题意知X的可能取值为0，1，2
，
，
所以．
【小问2详解】
①若两次都交换玩具车，则概率为，
若两次都交换玩偶，则概率为，
若一次交换玩具车，一次交换玩偶，
情况1：每次互换的玩具相同，则概率为，
情况2：每次互换的玩具不同，则概率为，
则.
②重复n复这样的操作后，记小明手中恰有0个玩具车的概率为，
则小明手中恰有2个玩具车的概率为，
根据全概率公式可得，当时，，
∴，
由（1）是，∴，
所以数列是首项为，公比为等比数列，故，
所以，即 ．
17. 已知定义在上的奇函数.
（1）求的值；
（2）证明：上单调递增；
（3）若对任意的，都有，求的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）4
【小问1详解】
题意可得，解得.
因为，所以，解得.
经验证，符合题意.
【小问2详解】
证明：由（1）可知.
任取，则.
因为，所以，则，即.
故在上单调递增.
【小问3详解】
不等式等价于.
因为为奇函数，所以.
因为在上单调递增，所以，即.
因为，所以，
解得，即的最大值为4.
18. 某小型企业在开春后前半年的利润情况如下表所示：
设第个月的利润为万元．
（1）根据表中数据，求关于的回归方程(系数精确到)；
（2）由（1）中的回归方程预测该企业第个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如万元万元)
（3）已知关于的线性相关系数为．从相关系数的角度看，与的拟合关系式更适合用还是，说明你的理由．
参考数据：，，取．
附：样本（，2，，）的相关系数，
线性回归方程中的系数，.
【答案】（1）；（2）万元；（3）与的拟合关系式更适合用；理由见解析．
【详解】（1）设，，
，
则，
所以，
故关于的回归方程为；
（2）当时，，
故可预测第个月的利润约为万元．
（3）由（1）知，关于的线性相关系数：
，
因为，
所以与的拟合关系式更适合用．
19. 某医院已知5名病人中有一人患有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病.院方设计了两种化验方案：
方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止；
方案乙：先将3人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外2人中选取1人化验.
（1）求方案甲化验次数的分布列；
（2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率.
【答案】（1）分布列见解析；（2）.
【详解】解：（1）依题知的可能取值为1，2，3，4
，，，.
故方案甲化验次数的分布列为：
（2）若乙验两次时，有两种可能：
①验3人结果阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中
②先验3人结果为阴性，再从其他两人中验出阳性
故乙用两次的概率为
若乙验三次时，只有一种可能：先验3人结果为阳性，再从中逐个验时，第一次为阴性，第二次为阴性或阳性，其概率为
故甲方案的次数不少于乙次数的概率为
X
0
1
2
P
第个月
第个月
第个月
第个月
第个月
第个月
利润(单位：万元)
1
2
3
4