2024-2025学年湖南省长沙市宁乡市高二下学期7月期末调研数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市宁乡市高二下学期7月期末调研数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复数范围内方程x2+3=0的解为( )
A. − 3iB. 3iC. ± 3iD. ± 3
2.已知函数f(x)=x2−2x，x∈[2,4]的最小值是：( )
A. −1B. 0C. 4D. 8
3.从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列，共有( )种
A. 6B. 8C. 10D. 12
4.若非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则▵ABC为( )
A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形
5.将一枚质地均匀的硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是：( )
A. 451024B. 15128C. 105512D. 63256
6.假如女儿的身高y(单位：cm)关于父亲的身高x(单位：cm)的经验回归方程y=0.81x+25.82，已知父亲的身高175cm，则女儿的身高：( )
A. 一定是167.57cmB. 高于167.57cmC. 低于167.57cmD. 可能是167.57cm
7.在下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2,π上单调递减的是( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=tanxD. y=csx2
8.银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：( )
A. 110B. 120C. 15D. 45
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：( )
A. 某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1∼40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B. 从10台冰箱中抽取3台进行质量检查
C. 某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量
D. 从50个零件中抽取5个做质量检验
10.在某次单元测试中，4000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有：( )
A. 成绩在[70,80)分的考生人数最多B. 考生考试成绩的第80百分位数为83.3
C. 考生考试成绩的平均分约为70.5分D. 考生考试成绩的中位数为75分
11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2−x)，且在[0,2]上单调递增，下列判断正确的是( )
A. f(x)的周期是4B. f(2)是函数的一个最大值
C. f(x)的图象关于点(−2,0)对称D. f(x)在[2,6]上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方块”，P(A)=P(B)=14，C=“抽到红花色”，则P(C)= ．
13.1x2y2 x− y8展开式中的常数项为 ．
14.若将6名高二学生分到3个社团参加活动，一个1名，一个2名，一个3名，则有 种不同的分法．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
化简计算下列各式：
(1)(279)0.5+0.1−2+(21027)−23−3×π0+3748.
(2)12lg3249−43lg 8+lg 245.
16.(本小题12分)
已知a,b,c分别是ΔABC内角A,B,C的对边，sin2B=2sinAsinC．
(1)若a=b，求csB;
(2)若B=90∘，且a= 2,求ΔABC的面积．
17.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．
(1)求证：BC⊥A1B；
(2)若AD= 3，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P−A1B−C的余弦值．
18.(本小题12分)
盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度(单位：gcm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6．
(1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(2)在(1)的条件下，用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望(各种子的萌发互相独立)；
(3)若该品种种子的密度ρ∼N(1.3,0.01)，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)≈0.6827,P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)≈0.9545．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs2ωx+ 3sin2ωx+t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)．
(1)求f(x)的表达式和f(x)的递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.若函数F(x)=g(x)+k在区间0,π2上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】方程x2+3=0，即x2=−3=3i2，开方即可求解．
【详解】解：方程x2+3=0，即x2=−3=3i2，开方得x=± 3i，
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】利用二次函数的单调性即可．
【详解】由题意可知，f(x)在[2,4]上单调递增，则最小值为f(2)=4−4=0．
故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】根据排列数的计算公式可求得排列种数．
【详解】根据题意，从a,b,c,d中取出2个字母的所有排列，
共有A42=4×3=12种.
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】由已知可得∠A的角平分线与BC垂直，可分析出▵ABC是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断．
【详解】因为ABAB,ACAC分别为与AB,AC同向的单位向量，
因为ABAB+ACAC⋅BC=0，可知∠A的角平分线与BC垂直，则AB=AC，
又因为AB|AB|⋅AC|AC|=1×1×cs∠A=12，即csA=12，
且∠A∈0,π，则∠A=π3，所以▵ABC是等边三角形．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】利用组合知识解决古典概型问题．
【详解】每次抛掷硬币都是2种可能，则抛掷10次共有210=1024种可能，
其中恰好出现4次正面朝上，6次反面朝上共有C104=210种，
则硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是2101024=105512．
故选：C
6.【答案】D
【解析】【分析】根据回归方程估计女儿的身高，结合实际意义即可得答案．
【详解】由题设y=0.81×175+25.82=167.57cm，女儿的身高大约为167.57cm．
故选：D
7.【答案】A
【解析】【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可．
【详解】对A：对A：y=sinx的图象是由y=sinx的图象将x轴下方的图象关于x轴对称上去，
x轴及x轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：

则y=sinx的最小正周期为π，且在π2,π上单调递减，故A正确；
对B：y=csx的最小正周期为2π，故B错误；
对C：y=tanx的最小正周期为π，但是在π2,π上单调递增，故C错误；
对D：y=csx2的最小正周期为2π12=4π，故D错误．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】设Ai为“第i次按对密码”(i=1,2)，事件A为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”，则A=A1∪A1A2，由互斥事件的加法公式和条件概率计算即可．
【详解】设Ai为“第i次按对密码”(i=1,2)，
事件A为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”，
则A=A1∪A1A2，事件A1,A1A2互斥，
所以P(A)=P(A1)+P(A1A2)=P(A1)+P(A1)P(A2|A1)=110+910×19=15，
故选：C．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】根据分层随机抽样的特征和适用的情况对四个选项一一判断，得到答案．
【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法；
选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样；
选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样；
选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法．
故选：ABD
10.【答案】ABC
【解析】【分析】根据直方图及百分位数、平均数、中位数的求法依次判断各项的正误即可．
【详解】A：由直方图知[70,80)对应矩形最高，即频率最大，故成绩在[70,80)分的考生人数最多，对；
B：由0.01×10=0.1