2023高考数学二轮复习专题16 极值与最值（解析版）

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专题16极值与最值
【考点预测】
知识点一：极值与最值
1．函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
2．函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【方法技巧与总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．

【题型归纳目录】
题型一：求函数的极值与极值点
题型二：根据极值、极值点求参数
题型三：求函数的最值（不含参）
题型四：求函数的最值（含参）
题型五：根据最值求参数
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
题型七：不等式恒成立与存在性问题

【典例例题】
题型一：求函数的极值与极值点
例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数．
当时，求函数的极值；
【解析】
由题知，当时，，
∴，令，．
∴时，，单调递减；
时，，单调递增．
∴是的极小值点，∴的极小值为，无极大值．
例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设.
(1)求在上的极值；
(2)若对，，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，极大值为
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接求导计算即可．
（2）将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．
(1)
由，
得的单调减区间是，，
同理，的单调增区间是.
故的极小值为，极大值为.
(2)
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
方法一：（含参讨论）
设，
则，，解得.
，，.
①当时，，
故，当时，，递增；
当时，，递减；
此时，，在上单调递增，故，符合条件.
②当时，同①，当时，递增；当时，递减；
∵，，
∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，.
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵，，∴，符合条件.
综上，实数的取值范围是.
方法二：（参变分离）
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
∵，∴在上恒成立
，.
设，，则，.
设，，
则，.
由，，得在，上单调递增；
由，，得在，上单调递减.
故时；
时.
从而，，，
又时，，故，，
，单调递减，，.
于是，.综上，实数的取值范围是.
例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）.
(1)当时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当时，
（i）证明：存在唯一的极值点：
（ii）证明：
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见详解
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数判断函数单调性；（2）利用导数判断单调性，利用零点存在性定理判断零点，进而确定极值点，利用零点代换结合函数最值处理极值的范围．
(1)
，构建
当时，则在上单调递减，且
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
（i）由（1）可知：当时，在上单调递减

∴在内存在唯一的零点
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
∴存在唯一的极值点
（ii）由（i）可知：
∵，即
，且
∵在单调递减
则
构建，则当时恒成立
则在上单调递增，则
则，即
∴
例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．
(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
(2)求证：函数在区间上只有两个零点．
【答案】(1)存在；极小值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果；
（2）当时，利用单调性得恒成立，此时无零点；当时，；
当时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得在上只有一个零点.由此可证结论正确.
(1)
由，可得，
则，
令，其中，可得，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以存在，使得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，函数取得极小值．
(2)
由，当时，，所以，
所以在上为增函数，所以，
此时函数在上没有零点；
当时，可得，所以是函数的一个零点；               
当时，由 ，
令，
可得，令
则，
当，可得；
当，可得，
即在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
当时，；当时，，
又因为，
所以存在使得，即是函数的一个零点．
综上可得，函数在上有且仅有两个零点．
【点睛】
关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键.
例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．
(1)求函数在上的极值；
(2)证明：有两个零点．
【答案】(1)极大值，；极小值，；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，进而可得；
（2）当时，利用导数可得函数的最小值，进而可得函数有两个零点，当，时，利用导数可得，即得.
(1)
∵，
∴，，
由，可得，或，
∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，
∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；
(2)
∵，
∴，
∴，
当时，单调递增，即单调递增，
又，
故存在，，
所以单调递减，单调递增，
∴时，函数，，，
故时，有两个零点，
当时，，
对于函数，则，又，
∴，，即，此时函数没有零点，
当时，，
由上可知，故当时，函数没有零点，
综上，函数有两个零点．
【点睛】
利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.
【方法技巧与总结】
1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数
例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数在处有极值10，则（       ）
A．6 B． C．或15 D．6或
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出函数的导函数 ，然后根据在 时 有极值10，得到 ，求出满足条件的 ，然后验证在 时是否有极值，即可求出
【详解】
，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.
【详解】
解：，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.
故选：B
例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.
【详解】
，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的极值为，则（       ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求导得到导函数，考虑和两种情况，根据函数的单调性得到极值，计算得到答案.
【详解】
函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，解得．
故选：C.
例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【详解】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
例11．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数在处取得极值0，则（       ）
A．2 B．7 C．2或7 D．3或9
【答案】B
【解析】
【分析】
求导得到导函数，根据题意得到且，解得答案并验证即可.
【详解】
，，
根据题意：，，
解得或，
当时，，函数单调递增，无极值点，舍去.
当时，，
在和时，，函数单调递增；
在时，，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件.
综上所述：.
故选：B.
例12．（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数
的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】
由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】
结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
例13．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导函数的正负，对分类讨论，判断极值点，即可求解.
【详解】
由得，令，
若，则 ，此时在单调递增，在 单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.
若，可知是的极大值点，故不符合题意.
若，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.
当 ，，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极小值点，符合题意.
若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.
综上可知：
故选：B
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把题意转化为在内应有两个不同的异号实数根，利用零点存在定理列不等式组即可求得.
【详解】
函数，导函数.
因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．
，解得：，实数a的取值范围.
故选：C．
例15．（2022·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】
把题意转化为在上恒有，对m分类讨论，求出m的范围.
【详解】
函数在上无极值即导函数在上无根．
在上恒有 ①；
而，
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
故答案为：3．
例16．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．
(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；
(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为得到，代入极值再构造函数，求导分析单调性与取值范围即可
(1)
由题，当时，，，
设切点为，则，
故切线方程为，
又切线过，故，即，
设，，则，
故为增函数.又，
故有唯一解，
故切点为，斜率为1，故切线方程为，即；
(2)
因为，为减函数，故若函数存在极值，
则在区间上有唯一零点设为，
则，即，
故极值，
设，，则，
故为增函数，故，故，即，
故极值的取值范围
【点睛】
本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题
例17．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)减区间为，增区间为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）求得，设，得到，求得的单调性，结合，根据题意，列出不等式组或，即可求解.
(1)
解：当时，函数，其定义域为 ，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由，
可得，
设，则，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，
且，
显然，
若在上存在极值，则满足或，解得，
综上可得，当时，在上存在极值，
所以实数的取值范围为.
例18．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；
（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
例19．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出得出，根据的单调性得，可得答案；
（2）求出，分、、讨论单调性可得答案.
(1)
由题意得，则，当时，，
在上是减函数，∴，设，在上是增函数，
∴，∴当时，．
(2)
，且，
令，得或a，
①当时，则，单调递减，函数没有极值；
②当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴在取得极大值，在取得极小值，则；
③当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴在取得极大值，在取得极小值，由得：，
综上，函数在区间上存在极大值时，a的取值范围为．
题型三：求函数的最值（不含参）
例20．（2022·江苏徐州·模拟预测）函数的最小值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可知为偶函数，当时，去绝对值，讨论的取值范围，利用导数求解函数的最值
【详解】
由题可知，函数为偶函数，时，，
当时，，在单调递增，此时；
当时，，即恒成立.
∴
故答案为：-1.
例21．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先证明出成立，对原函数进行同构构造后直接求解.
【详解】
记.
因为.令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增，所以.
所以，即.
所以，当且仅当时等号成立．
记.
因为在上单增，在上单增，所以在上单增.
又，，
所以有且只有一个实根.
而存在唯一一个使得.
即存在唯一一个使得.
所以函数的最小值为1.
故答案为：1
例22．（2022·四川·模拟预测（文））对任意，存在，使得，则的最小值为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意得到，利用导数法求解.
【详解】
解：因为，
所以使得，
所以，
则，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最小值为，
故答案为：1
例23．（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
例24．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值
【详解】
解：由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
因为，
所以函数的最大值为，
故选：B
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义得出切线方程；
（2）由导数得出，令，利用导数得出在恒成立，再讨论时函数的单调性，进而得出最值.
【详解】
解：（1）当时，，∴，
又得切点，∴，
所以切线方程为，即；
（2），∴，
令，∴
由，得，所以在上为单调增函数
又，
所以在上恒成立
即在恒成立
当时，，知在上为减函数，从而
当时，，知在上为增函数，从而；
综上，当时，；当时.
【点睛】
关键点睛：解决问题二的关键在于利用导数得出其单调性，进而得出最值.
例26．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）已知函数是的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对求导，是的一个极值点，所以 ，解方程即可
（2）先利用导数求出的单调区间，再根据函数的单调性求的最大值
(1)
，
∵是的一个极值点，∴
解得．经检验，满足题意．
(2)
由（1）知：，则．
令，解得或
x




1

2


+
0
-
0
+



递增

递减

递增


∵，
∴函数的最大值为
题型四：求函数的最值（含参）
例27．（2022·北京通州·高二期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)在，上递增，在递减
(2)当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）通过解判断的单调区间；
（2）结合（1）中函数的单调区间，讨论、两种情况，确定在区间上的单调性，可得函数在区间上的最小值．
(1)
则
令，则或
∴在，上递增，在递减
(2)
由（1）可知：在上递增，在递减
当时，在递减
∴函数在区间上的最小值为；
当时，在上递增，在递减
∴函数在区间上的最小值为．
综上所述：当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
例28．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
(1)
函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
(2)
由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.
例29．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到函数单调性；
（2）分别在、和三种情况下，得到在上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.
【详解】
（1）由题意得：定义域为，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令得：，
列表如下：





＋

－

递增
极大值
递减

在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）知：
①当，即时，在上单调递减，则；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
③当，即时，在上单调递增，则；
综上所述：.
题型五：根据最值求参数
例30．（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
求函数的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，确定函数的最小值，令其等于1，即可求得答案.
【详解】
由题意得，
当，即时，，在上递增，
故，解得；
当，即时，当 时，，递减，
当 时，，递增，
故，解得，不符合，舍去，
综上，.
故答案为：1
例31．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.
【详解】
，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
例32．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，可知当时，函数在上单调递增，无最小值；当时，有两个不等实根，由此可知函数的单调性，再根据函数图象趋势，结合极小值情况，进而确定最小值，由此即可求出结果.
【详解】
因为函数，所以，
当时，， ，又，
所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；
当时，则有两个不等实根，
设两个不等实根，
则，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
所以是函数的极小值点，
又时，，所以，
所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，
即，所以，
即，解得，所以.
故答案为：.
例33．（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．
【详解】
，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．
故答案为：．
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
例34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f（x）＝ex＋ax·sinx．
(1)求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
(2)当a＝－2时，设函数g（x）＝，若x0是g（x）在（0，π）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（0，π）上的唯一极小值点，且e－2 【答案】(1)x－y＋1＝0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导得在x＝0处的导数值，进而得切线的斜率，根据点斜式即可求切线方程.
（2）求导，通过导函数的正负，确定原函数的单调性，然后确定极值.根据不等式，即可求解.
(1)
由已知得 ＝ex＋a（sin x＋xcos x），而，f（0）＝1，
故在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．
(2)
当a＝－2时，由题意得 ，，则，
令φ（x）＝g′（x），则，当时， ∴g′（x）在（0，π）上单调递增，
∵g′（1）＝－2cos 1<0，∴，使g′（x0）＝0，
∴当时，g′（x）<0，即在上单调递减，
当时，g′（x）>0，即在上单调递增，
∴在（0，π）上有唯一极小值点x0且，∴g（x0） 设 ，时，，则在上单调递增，
∴h（x0）＝>h（1）＝e，
又∵－2sin x0∈（－2，－2sin 1），∴g（x0）＝－2sin x0>e－2，
综上，e－2 例35．（2022·四川泸州·三模（文））已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有且只有一个极值点，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2），，因为有且只有一个极值点，即图象只穿过轴一次，即为单调减函数或者的极值同号，分别讨论这两种情况即可求出a的取值范围.
(1)
由题意知：，
当时，因为，所以在上恒成立，所以在上是减函数；
当时，由得：，所以，所以在
上是增函数，在上是减函数.
(2)
，，因为有且只有一个极值点，即图象只穿过轴一次，即为单调减函数或者的极值同号；
（i）为单调减函数，在上恒成立，则，解得；
（ii）的极值同号时，设为极值点，则，有两个不同的解，则，且有，
所以，同理，
所以，化简得：，即；
当，，，有且只有一个极值点.
综上：a的取值范围是.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
例36．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的极值点；
(2)当时，试讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)有个零点
【解析】
【分析】
（1）当时求出，令求得，分、讨论可得单调性和极值点；
（2）由，设，得到，分，和三种情况讨论，分别求得函数的单调性与极值，进而求得结论.
(1)
当时，，则，
令 ，则.
当时，，，
在上单调递增，
，
在上单调递增.
当时，可得，
，
在单调递减；
综上，函数的极值点为.
(2)
当时，，是的一个零点，
令，可得.
因为，
①当时，，，在单调递增，，
在单调递增，，此时在无零点.
②当时，，有， 此时在无零点.
③当时，，，在单调递增，又，，
由零点存在性定理知，存在唯一，使得.
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又，，所以在上有个零点.
综上，当时，有个零点.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
例37．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的极值点的个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)综上：当或时，无极值点；当或或时，有两个极值点.
【解析】
【分析】
（1）分别求出和，即可求出切线方程；
（2）分、、和这几种情况，分别讨论单调性，即可得到对应的极值点的情况.
(1)
当时，，定义域为，.
因为，所以.
所以在点处的切线方程为：，
即.
(2)
函数定义域为，
.
①当时，，显然无极值点；
②当时，，
所以在上单调递增，故此时无极值点.
③当时，令，解得或，
或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故此时有两个极值点.
④当时，令，解得或，
或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故此时有两个极值点.
⑤当时，令，解得或，
或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故此时有两个极值点.
综上：当或时，无极值点；
当或或时，有两个极值点.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键一是切线与导数的关系，二是分类标准的划分，三是通过导函数的正负对原函数单调性的研究.
例38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：存在唯一极大值点，且．
【答案】(1)；
(2)证明见解析﹒
【解析】
【分析】
(1)求出f(x)的导数，求出f(1)和，根据导数几何意义和直线的点斜式方程即可求解；
(2)讨论的正负，判断f(x)的单调性，从而可证明f(x)有唯一极大值点，并可求出的范围，结合和即可求出的范围．
(1)
，
，，
∴曲线在点处的切线方程为，
即；
(2)
，
令，得或，
设，∵在上单调递增，
且，，
∴存在唯一，使得，即，
故时，x-2<0，，，f(x)单调递增，
时，x-2<0，，，f(x)单调递减，
时，x-2>0，，，f(x)单调递增，
∴是函数的唯一极大值点；
∵，∴；
又，即，
∴，
令，，
则，故在上单调递增，
故，
综上所述：．
【点睛】
本题关键是对因式分解，构造函数，求出g(x)的零点，由此判断f(x)单调性和极值点，利用将和转化为幂函数，从而可对范围进行研究．
例39．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数．
(1)证明：存在唯一的极值点；
(2)m为整数，，求m的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，判断导函数的单调性，然后利用零点存在定理证明导函数在定义域内有唯一变号零点，从而证明函数存在唯一的极值点；
（2）先将命题转化为，然后计算的取值范围，据此求出整数的最大值.
(1)

显然在上单调递增，
又
所以使得
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上存在唯一的极小值点.
(2)
等价于
由（1）知，
且
又因为函数在上单调递增，所以
又因为，所以，整数的最大值为.
题型七：不等式恒成立与存在性问题
例40．（2022·辽宁·二模）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.
【答案】[1，+∞）
【解析】
【分析】
参变分离后构造函数，求导后求解单调性和最值，求解参数的取值范围.
【详解】
，其中，
分离参数为，
令，定义域为
有.
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，，
故存在，使得，
可得函数f（x）的递增区间为（0，m），递减区间为 ，
有，
可得：，
故实数a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】
对于求解参数的取值范围问题，参变分离是一种常用方法，使用参变分离的题意，一是参变容易分离，二是分离后构造的新函数，求导后简单.
例41．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值是，无极大值.
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，根据的符号研究的单调性，进而确定极值.
（2）对任意的恒成立，转化为：对任意的恒成立，令，通过求导求的单调性进而求得的最大值，即可求出实数a
的取值范围.
(1)
当时，，的定义域为，
，则.
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得极小值且为，无极大值.
(2)
对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
令，，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则.
实数a的取值范围为：.
例42．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求函数的单调递增区间，即解不等式；
（2）参变分离得，即求的最小值.
(1)
定义域为，
即
解得
所以在单调递增
(2)
对任意，不等式恒成立，即恒成立，
分离参数得.
令，则．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，
即，
故a的取值范围是.
例43．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二次求导可得函数的单调区间；
（2）将对、，使恒成立，转化为成立.然后利用（1）中的单调性求出最大、最小值代入即可得解.
(1)
的定义域为，，
设，则，，
所以在上为增函数，
所以当时，，即，所以在上单调递增；
当时，，即，所以在上为减函数.
综上可得，的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)
对，使恒成立，即对，
成立.
由（1）知在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以，
为和中的较大者，
∵，，，
又∵，得.
∴，即.
∴在[0，2]上
∴，即，
解之，得或，
∴对，使恒成立时，a的取值范围为.
例44.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，利用导数求函数在定义域上的最值即可；
（2）由原不等式恒成立分离参数后得，构造函数，利用导数求最小值即可.
(1)
由已知得，
令，得.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
故.
(2)
，即，
因为，所以在上恒成立.
令，则，
令，得或（舍去）.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
故，所以，即实数的取值范围为.

【方法技巧与总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知是函数的一个极值点，则的值是（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以.
【详解】
，
∴，∴，
∴
故选：D
2．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.
【详解】
对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满足条件；
对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；
对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
，当时，，当时，，
所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.
故选：D.
3．（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求导后分析函数单调性，根据极小值求解
【详解】
，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．
故选：C
4．（2022·内蒙古包头·一模（理））设 ，若为函数的极小值点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数 求导后，根据导数的性质判断即可.
【详解】
，
若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，
必有 ，即 ，
若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，
必有，即；
故选：C.
5．（2022·河南·模拟预测（文））当时，函数取得最小值，则（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导函数，令，可得增区间，令，可得减区间，从而根据单调性即可求解.
【详解】
解：，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值．
故选：A.
6．（2022·四川凉山·三模（理））函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A.

7．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出函数的导函数，根据代入求出的值，即可得到函数解析式，从而求出函数的导函数，得到函数的单调区间与极值，再计算出区间端点函数值，即可得解；
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
令，则或，
当或时，，即函数在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，
故函数在区间上的最大值为，
故选：A．
8．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得，根据在区间上存在最小值，得到且，，设，根据且，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由函数，可得，
且在区间上存在最小值，
即在区间上存在，
使得且，，
设，即满足，且，
可得，解得，
即实数的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·重庆·三模）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（       ）
A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求定义域，再求导，求出单调区间和极值，最值情况，判断BCD，A可以证明出函数值恒正，A错误.
【详解】
定义域为R，，
令得：或1，
当时，，当时，，
如下表：


0

1


-
0
+
0
-

递减
极小值1
递增
极大值
递减

从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，
BC正确，
由于恒成立，所以函数无零点，A错误，
当时，，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
10．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知．则下列说法正确的有（       ）
A．函数有唯一零点
B．函数的单调递减区间为
C．函数有极大值
D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据零点的定义判断A，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断其余选项.
【详解】
由得：，即，故函数有唯一零点
由题可知：
设，，则，
由得：；由得；；
故在上单调递增﹐在上单调递减，
作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下：

观察图象可得函数的单调递减区间为，，B错，
函数在时有极大值，C对，
方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对，
故选：ACD.
11．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（       ）
A．， B．是的极大值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对A. 是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；
对B. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；
对C. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；
对D. 相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.
故选：BD.
12．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（       ）
A． B．在上单调递增
C．为的极小值点 D．仅有两个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由函数的图象关于直线对称，得到，解得，可判定A正确；
求得，得到在上单调递增，可判定B正确；根据函数的单调性，得到为的极小值点，可判定C正确；结合函数的单调性，求得，可判定D不正确．
【详解】
由题意，函数的定义域为，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
所以，解得，故选项A正确；
由，得，所以，当时，，
此时，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；
又由的图象关于直线对称，所以在上单调递减，
所以为的极小值点，故选项C正确；
由在上单调递增，且的图象关于直线对称，
所以，所以没有零点，故选项D不正确．
故选：ABC.
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】
把题意转化为在上恒有，对m分类讨论，求出m的范围.
【详解】
函数在上无极值即导函数在上无根．
在上恒有 ①；
而，
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
故答案为：3．
14．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得，解得，再检验满足题意，进而求解即可.
【详解】
解：，
因为函数在处取得极值，
所以，，解得，
此时，，
故当时，，单调递减；
当和时，，单调递增；
所以，函数在处取得极小值，满足题意，
所以，
所以
故答案为：
15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数的极值点为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
去掉绝对值，当时，，当时，，分别求导判断即可.
【详解】
当时，，，令，解得，
令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，
易知为极小值点；
当时，，恒成立，
所以函数在单调递减，所以无极值点，综上所述，的极值点为.
故答案为：.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则下列命题正确的有：___________.
①若有两个极值点，则或
②若有极小值点，则
③若有极大值点，则
④使连续的a有3个取值
【答案】③④
【解析】
【分析】
同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.
【详解】
解：在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

①若有两个极值点，则或，故错误；
②当时，是的极小值点，故错误；
③若有极大值点，由图象知：，故正确；
④使连续的a有3个取值-1,0,1故正确；
故答案为：③④
四、解答题
17．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数在与时，都取得极值．
(1)求，的值；
(2)若，求的单调增区间和极值．
【答案】(1)，
(2)函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.
【解析】
【分析】
（1）利用导数与极值点的关系，求得后，再检验；
（2）首先求，再利用导数和函数单调性，极值的关系，即可求解.
(1)
，由条件可知和，
即，解得：，，
所以，
检验：













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；
(2)
，解得：，
所以














单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是
，函数的极大值是，函数的极小值是.
18．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．
【答案】(1)；
(2)的单调递增区间为，，单调递减区间为；最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程；（2）根据极值点求出，进而求出单调区间和最值.
(1)
当时，定义域为，，
，，故在点处的切线方程为：，即；
(2)
由题意得：，，故，此时，经检验，符合要求，
，令时，，，令得：或
，令得：，的单调递增区间为，，单调递减区间为；又当时，恒成立，当时，恒成立，故，，即最大值为，最小值为.
19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三期末（文））已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若函数在上单调递增，求a的取值范围.
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出导函数，令导函数为零，然后列表判断函数的极值即可，
（2）先求出导函数，然后分和求解函数的单调区间，再根据函数在
上单调递增，可求得结果
(1)
当时，，则，
令，得，
，和的变化情况如下表


3



0


递减
极小值
递增

所以当时，取得极小值，无极大值
(2)
由（），得（），
当时，，所以在上单调递增，所以在上单调递增，
当时，由，得，
，和的变化情况如下表






0


递减
极小值
递增

因为在上单调递增，
所以，得，
综上，a的取值范围为
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意得方程在上有两不等实根，进而结合二次函数零点分布求解即可；
（2）根据题意得，进而得，再构造函数，研究单调性得在单调递增，进而.
(1)
解：∵，
∴，
∵函数在上有两个极值点，且
∴由题意知方程在上有两不等实根，
设，其图像的对称轴为直线，
故有 ，解得
所以，实数a的取值范围是.
(2)
证明：由题意知是方程的较大的根，故，
由于，∴，
∴．
设，，，
∴在单调递增，
∴，即成立．
∴不等式成立,证毕.
21．（2022·北京·人大附中三模）设函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(2)若在处取得极大值，求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，利用即可求得；
（2）求出导函数，对a进行分类讨论：若时，不合题意，舍去；在时， 时和时,分别判断单调性，得到在x=2处取得极大值，符合题意.
(1)
定义域为R， .
由题设知,即(1-a)e=0,解得：a=1此时f(1)=3e≠0.
所以a的值为1
(2)
由(1)得.
若时,则当时,;当时, ，所以在上单减，在上单增，所以在x=2处取得极小值，不合题意，舍去；
若时,则恒成立，所以在R上单增，所以在x=2处不能取得极值，不合题意，舍去；
若时,则当时,;当时, ，所以在上单增，在上单减，所以在x=2处取得极大值，符合题意；
若时,则当时,;当时, ，所以在上单增，在上单减，所以在x=2处取得极大值，符合题意；
若时,则当时,;当时, ，所以在上单减，在上单增，所以在x=2处取得极大值，符合题意.
综上所述：.即实数a的范围为 .
22．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程；（2）讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；（3）要使取到最小值，则，分析可得结合零点代换处理．
(1)
当时，，故，
故在点处的切线方程为，化简得．
(2)
由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，,
设，故，
故在上为增函数，故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：．
(3)
由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．
当时，，故，所以的最小值为e；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，因，所以代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为．