2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-解析几何中的创新问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-解析几何中的创新问题（Word版解析版），共3页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1.(2025·重庆二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1的斜率为1且与C的另一个交点为B，△ABF2的周长为8.
(1)求C的方程及AB的值；
(2)如图，将C沿x轴折起，使得折叠后平面AF1F2⊥平面BF1F2，求F2到平面ABF1的距离.
解：(1)设F1－c，0，F2c，0，A0，b，其中c2＝a2－b2，
因为△ABF2的周长为8，所以4a＝8，故a＝2，
又bc＝1，所以b＝c＝2，
故椭圆方程为x24＋y22＝1，
所以AF1：y＝x＋2，联立方程y＝x＋2，x24＋y22＝1，可得3x2＋42x＝0，
所以xB＝－423，yB＝－23，
故AB＝2×0－(－423)＝83.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(－423，－23，0)，F1(－2，0，0)，F2(2，0，0)，
所以F1A＝2，0，2，F1B＝(－23，－23，0)，F1F2＝(22，0，0)，
设平面ABF1的法向量为n＝(x，y，z)，
则F1A·n＝0，F1B·n＝0，即x＋z＝0，x＋y＝0，取x＝－1，则n＝－1，1，1，
所以F2到平面ABF1的距离d＝｜F1F2·n｜n＝223＝263.
2.(2025·江西九江二模)在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角θ的图形变换叫作旋转变换.定点G叫作旋转中心，定角θ叫作旋转角(规定逆时针方向为正).如果图形上的点Px，y经过旋转变为点P'x',y'，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线xy＝mm≠0绕G顺时针旋转π4后，得到新曲线E，其变换关系为x'＝xcsθ－ysinθ，y'＝xsinθ＋ycsθ，点2，1在曲线E上.
(1)求曲线E的方程并确定点G的位置；
(2)点P1的坐标为1，0，按照如下方式依次构造点Pnn＝2，3，…：过点Pn－1作斜率为2的直线交E于另一点Qn－1，设Pn是点Qn－1关于x轴的对称点.记Pn的坐标为xn，yn.
(ⅰ)求数列xn＋yn的前n项和Sn；
(ⅱ)记M为直线P1Pn＋2与直线QnPn＋1的交点，N为直线P1Qn与直线Qn＋1Pn＋2的交点，R为直线MN与直线Pn＋1Qn＋1的交点，证明：R在定直线上.
解：(1)依题意，得x'＝22x＋22y，y'＝－22x＋22y，即2x＝x'－y',2y＝x'＋y',
所以x'－y'x'＋y'＝2xy＝2m，
故曲线E方程为x2－y2＝2m.
因为点2，1在曲线E上，所以m＝12，
故曲线E方程为x2－y2＝1.
由对称性可知，点G为坐标原点O.
(2)(ⅰ)依题意，得xn2－yn2＝1，xn+12－yn+12＝1，
得xn－xn+1xn＋xn+1＝(yn－yn＋1)(yn＋yn＋1) ①，
因为直线PnQn的斜率为2且Pnxn，yn，Qn(xn＋1，－yn＋1)，
所以yn＋yn＋1＝2xn－xn+1 ②.
将②代入①中，得xn＋xn＋1＝2yn－yn+1 ③，
将②和③相加，得3xn+1＋yn+1＝xn＋yn，
从而xn+1＋yn+1xn＋yn＝13，
所以xn＋yn是首项为1，公比为13的等比数列，
所以Sn＝1×1－13n1－13＝321－13n.
(ⅱ)点R在定直线x＝1上.证明如下：
因为Pn＋1xn+1，yn+1，Qn＋1(xn＋2，－yn＋2)，
所以直线Pn＋1Qn＋1的方程为y－yn＋1＝－yn+2－yn+1xn+2－xn+1x－xn+1，
令x＝1，得y＝xn+2yn+1＋xn+1yn+2－yn+1－yn+2xn+2－xn+1.
直线P1Pn＋2的方程为y＝yn+2xn+2－1x－1，直线QnPn＋1的方程为x＝xn＋1，
联立x＝xn+1，y＝yn+2xn+2－1x－1，解得Mxn+1，yn+2xn+1－1xn+2－1.
直线P1Qn的方程为y＝－yn+1xn+1－1x－1，直线Qn＋1Pn＋2的方程为x＝xn＋2，
联立x＝xn+2，y＝－yn+1xn+1－1x－1，解得N(xn＋2，yn+11－xn+2xn+1－1).
则直线MN的方程为y－yn+2xn+1－1xn+2－1＝yn+11－xn+2xn+1－1－yn+2xn+1－1xn+2－1xn+2－xn+1(x－xn＋1)，
令x＝1，得y＝xn+2yn+1＋xn+1yn+2－yn+1－yn+2xn+2－xn+1，
所以直线Pn＋1Qn＋1与直线MN的交点坐标为(1，xn+2yn+1＋xn+1yn+2－yn+1－yn+2xn+2－xn+1)，
故点R在定直线x＝1上.