2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-立体几何中的动态问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-立体几何中的动态问题（Word版解析版），共3页。
1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P为正方形A1B1C1D1内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为( )
A.33B.36π
C.3D.32π
解析：选B.直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面A1B1C1D1所成角，
连接B1P，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PB1⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥PB1，故∠BPB1为直线BP与上底面A1B1C1D1所成角，则∠BPB1＝60°，
因为BB1＝1，所以PB1＝BB1tan60°＝33，
故点P的轨迹为以B1为圆心，33为半径，位于平面A1B1C1D1内的圆的14，
故轨迹长度为14×2π×33＝36π.
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面 PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )
解析：选A.以D为原点，DA，DC分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，
设M(x，y，0)，正方形边长为a，则P(a2，0，32a)，C(0，a，0)，
则｜MC｜＝x2＋(y－a)2，｜MP｜＝(x－a2)2＋y2＋(－32a)2，
由｜MC｜＝｜MP｜，即x2＋(y－a)2＝(x－a2)2＋y2＋(－32a)2，整理得x＝2y，
所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线y＝12x的一部分.
3.如图，在等腰梯形ABCD中，CD＝2AB＝2EF＝2a，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起使得平面BEFC⊥平面ADFE.若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0).若θ1＝θ2，则动点P的轨迹围成的图形的面积为( )
A.14a2B.49a2
C.14πa2D.49πa2
解析：选D.连接PE，PF，∵平面BCFE⊥平面ADFE，交线为EF，BE，CF在平面 BCFE中，且BE，CF都垂直于交线EF，由面面垂直的性质定理得BE⊥平面ADFE，CF⊥平面ADFE，∴∠BPE，∠CPF分别为直线PB，PC与平面ADFE所成的角，∠BPE＝θ1，∠CPF＝θ2.
∵PE，PF⊂平面ADFE，∴BE⊥PE，CF⊥PF，
∴PEtan θ1＝BE，PFtan θ2＝CF，∵BE＝12CF，θ1＝θ2，∴PE＝12PF.
以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，如图所示：
设E(－a2，0)，F(a2，0)，P(x，y)，则(x＋a2)2＋y2＝14［(x－a2)2＋y2］，
∴3x2＋3y2＋5ax＋34a2＝0，即(x＋56a)2＋y2＝49a2，轨迹为圆，面积为49πa2.
4.已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥A-BCD，则在折叠过程中，不可能出现( )
A.AB⊥CD
B.AC⊥BD
C.三棱锥A-BCD的体积为23
D.平面ABD ⊥平面BCD
解析：选A.对于A，若AB⊥CD，因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥面ABC，所以CD⊥AC，而CD＝2，AD＝2，即直角边长与斜边长相等，显然不对，故A错误；
对于B，取BD中点O，因为AO⊥BD，CO ⊥BD，AO∩CO＝O，所以BD⊥面AOC，所以BD⊥AC，故B正确；
对于C，当折叠所成的二面角∠AOC＝150°时，顶点A到底面BCD的距离为22，此时VA-BCD＝13Sh＝13×2×22＝23，故C正确；
对于D，当沿对角线BD折叠成直二面角时，有平面ABD⊥平面BCD，故D正确.
5.在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，M是AD边上一点，将矩形ABCD沿BM折叠，使平面ABM与平面BMDC互相垂直，则折叠后A，C两点之间距离的最小值是( )
A.1 654169B.10－10
C.10D.7
解析：选D.作示意图如下，在平面ABM中，作AH⊥BM，连接CH，
因为平面ABM⊥平面BMDC，平面ABM∩平面BMDC＝BM，AH⊥BM，AH⊂平面ABM，
所以AH⊥平面BMDC，又CH⊂平面BMDC，所以AH⊥CH，
设∠ABM＝α，sin α∈(0，31010)，
所以｜BH｜＝｜AB｜cs α＝cs α，｜AH｜＝｜AB｜sin α＝sin α，∠HBC＝π2－α，
在△BHC中，由余弦定理得｜CH｜2＝｜BH｜2＋｜BC｜2－2｜BH｜·｜BC｜cs(π2－α)，
所以｜CH｜2＝cs2α＋9－6cs αcs(π2－α)＝cs2α＋9－3sin 2α，
所以｜AC｜2＝｜AH｜2＋｜CH｜2＝sin2α＋cs2α＋9－3sin 2α＝10－3sin 2α，
若｜AC｜最小，则｜AC｜2最小，当sin 2α＝1时，｜AC｜min2＝7，｜AC｜min＝7，
此时α＝π4，sin α＝22可以取到.
6.已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体.已知当AB上一点F满足｜AF｜＝λ｜AB｜(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为( )
A.12B.23
C.35D.45
解析：选C.由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
所以C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，F(4λ，0，0)，
则PE＝(4，0，－2)，PC＝(4，4，－4)，EF＝(4(λ－1)，0，－2)，DE＝(4，－4，2)，
若m＝(x，y，z)是平面DEF一个法向量，
则m⊥EF，m⊥DE，即m·EF＝0，m·DE＝0，得4(λ－1)x－2z＝0，4x－4y＋2z＝0，z
可得m＝(1λ－1，λλ－1，2)，
若n＝(a，b，c)是平面PCE一个法向量，
则n⊥PE，n⊥PC，即n·PE＝0，n·PC＝0，得4a－2c＝0，4a＋4b－4c＝0，可得n＝(1，1，2)，
由面DEF⊥面PCE，所以有1λ－1＋λλ－1＋4＝0，解得λ＝35.
7.(多选)如图，正方形ABCD的边长为2，现将正方形沿其对角线AC进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是( )
A.B，D两点间的距离d满足0＜d＜22
B.异面直线AC，BD所成的角为定值
C.对应三棱锥D-ABC的体积的最大值为22
D.当且仅当AC＝2BD时，二面角D-AC-B为60°
解析：选ABD.对于A中，如图所示，取AC的中点O，连接OB，OD，
则OB⊥AC，OD⊥AC，且OB＝OD＝2，
设∠BOD＝θ，其中θ∈(0，π)，则cs θ ∈(－1，1)，
在△BOD中，可得BD＝OB2＋OD2－2OB·ODcsθ＝4－4csθ∈(0，22)，
即B，D两点间的距离d满足0＜d＜22，所以A正确；
对于B中，由OB⊥AC，OD⊥AC，且OB∩OD＝O，OB，OD⊂平面BOD，
所以AC⊥平面BOD，因为BD⊂平面BOD，所以AC⊥BD，
即异面直线AC与BD所成的角为90°(定值)，所以B正确；
对于C中，因为△ABC的面积S＝12AB·BC＝12×2×2＝2(定值)，
则只有当点D到底面ABC的距离最远时，三棱锥D-ABC的体积取得最大值，
当且仅当平面ACD⊥平面ABC时，
因为OD⊥AC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，OD⊂平面ACD，
所以OD⊥平面ABC，且OD＝2，
所以三棱锥D-ABC体积的最大值为Vmax＝13×2×2＝223，所以C错误；
对于D中，因为OB⊥AC，OD⊥AC，所以∠BOD为二面角D-AC-B的平面角，
当二面角D-AC-B为60°时，可得BD＝OB＝OD＝2，
又因为AC＝22，所以AC＝2BD，
即当且仅当AC＝2BD时，二面角D-AC-B为60°，所以D正确.
8.(多选)设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为定值2a，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，如图，则下列说法正确的是( )
A.矩形ABCD的面积有最大值
B.△APD的周长为定值
C.△APD的面积有最大值
D.线段PC有最小值
解析：选BCD.对于选项A：设AB＝x，则BC＝a－x，
因为AB＞BC，所以x∈(a2，a)，
矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝x(a－x)＜(x＋a－x2)2＝a24，
因为x≠a2，所以无最大值，故A错误.
对于选项B：根据图形折叠可知△APD与△CPB1全等，
所以△APD周长为AP＋PD＋DA＝AP＋PB1＋DA＝AB1＋DA＝a，故B正确.
对于选项C：设DP＝m，则AP＝PC＝x－m，有DP2＋DA2＝AP2，
即m2＋(a－x)2＝(x－m)2，得m＝a－a22x，
S△ADP＝12(a－a22x)(a－x)＝3a24－12(ax＋a32x)≤3－224a2，当x＝22a时，取最大值，故C正确.
对于选项D：因为PC＝x＋a22x－a，
可知函数y＝x＋a22x－a在(0，22a)上单调递减，在(2a2，＋∞)上单调递增，
因为x∈(a2，a)，所以当x＝22a时函数有最小值，无最大值，故D正确.
9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝23，M是B1C1的中点，点N是线段A1M上的动点，过BC且与AN垂直的截面α与AN交于点E，则三棱锥E-ABC的体积的最大值为 .
解析：如图1，设BC的中点为F，连接EF，如图2，AF＝3，S△ABC＝12×23×3＝33.
因为AN⊥平面α，EF⊂平面α，则AE⊥EF，则点E在以AF为直径的圆上.
当点E在弧AF的中点时，此时点E到底面ABC的距离最大，且最大值为h＝12AF＝12×3＝32，
所以三棱锥E-ABC的体积的最大值为V＝13S△ABC·h＝13×33×32＝332.
答案：332
10.如图所示，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，∠ADB＝π2，则平面ABD与平面ACD夹角的最大值是 .
解析：以B为坐标原点，在平面BCD内作直线垂直于BD为x轴，BD为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设等边△BCD的边长为1，因为∠ADB＝π2，所以设A(m，1，n)，
因为当A(m，1，0)时，A，B，C，D四点共面，不能构成空间四边形，所以n≠0，
可得B(0，0，0)，C(32，12，0)，D(0，1，0)，
则BD＝(0，1，0)，DA＝(m，0，n)，DC＝(32，－12，0)，
设平面ABD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则m·DA＝mx＋nz＝0，m·BD＝y＝0，令x＝1，则y＝0，z＝－mn，
所以平面ABD的一个法向量为m＝(1，0，－mn)，
设平面ACD的一个法向量为n＝(a，b，c)，
则n·DC＝32a－12b＝0，n·DA＝ma＋nc＝0，令a＝1，则b＝3，c＝－mn，
所以平面ACD的一个法向量为n＝(1，3，－mn)，
设平面ABD与平面ACD的夹角为α，
所以cs α＝｜cs〈n，m〉｜＝｜n·m｜｜n｜·｜m｜＝
1+m2n21+m2n2·1+3+m2n2＝1+m2n24+m2n2＝1+m2n24+m2n2＝1－34+m2n2，
因为m2n2≥0，所以m2n2＋4≥4，所以0＜34+m2n2≤34，所以12≤1－34+m2n2＜1，
即12≤cs α＜1，结合0＜α≤π2，所以0＜α≤π3，
所以平面ABD与平面ACD夹角的最大值是π3.
答案：π3