2026年云南省中考数学专题练习二十四四边形综合题专题练习

这是一份2026年云南省中考数学专题练习二十四四边形综合题专题练习，共40页。试卷主要包含了24等内容，欢迎下载使用。
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若l2﹣l1＝2，l3＝28，求AC的长．
2．（8分）（2025•五华区校级模拟）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形内部框架AECF为菱形．
（2）若AE⊥AD，F为DE的中点，AB=63，求四边形AECF的周长．
3．（8分）（2025•五华区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD至点F，使DF＝CE，连接AF．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）连接OE，若BD＝BC，AB＝8，平行四边形ABCD的面积为40，求OE的长度．
4．（2025•玉溪一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E，延长BC到点F，使CF＝AD，连接CE，DF．
（1）求证：四边形DFCE是平行四边形．
（2）若∠DCE＝30°，AC＝2，求FC的长．
5．（8分）（2025•玉溪二模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE并延长至点F，使得EF＝OE，连接CF，DF，点G在线段OC上，连接EG，∠OFC＝∠GOE+∠GEC．
（1）求证：四边形OCFD是矩形；
（2）若AC＝16，CD＝10，求点G到OF的距离．
6．（8分）（2025•文山州二模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
（2）当CD＝4时，求EG的长．
7．24．（8分）（2025•西山区校级模拟）如图，平行四边形ABCD的周长为28，∠ABC的平分线交边AD于点E，交对角线AC于点G，点F在BC上，BF＝EF，过点G作GH⊥BC于点H，GH＝3．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB：BC＝3：5，求四边形ABFE的面积．
8．（8分）（2025•麒麟区三模）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连接DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝3，ED＝4，BF＝5，求AE的长．
9．（8分）（2025•云南校级模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使EF＝BC，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝18，DF＝6，求CD的长．
10．（8分）（2025•西山区一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是线段BE，CE的中点．
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若tan∠ABE=34，菱形MENF的面积为24，求菱形MENF的周长．
参考答案
1．（8分）（2025•云南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD．记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若l2﹣l1＝2，l3＝28，求AC的长．
（1）证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，
∴l2﹣l1＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l3＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28，
∴b−a=2b+a=14，
∴a=6b=8，
∴AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=10．
2．（8分）（2025•五华区校级模拟）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形内部框架AECF为菱形．
（2）若AE⊥AD，F为DE的中点，AB=63，求四边形AECF的周长．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC．
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵AE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，
∵F为DE的中点，
∴AF＝EF＝DF．
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝AF，
∴AE＝EF＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
又∵AE⊥AD．
∴∠EAD＝90°．
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2AE．
∵四边形ABCD为菱形．
∴AD=AB=63．
在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，
∴AE2+(63)2=(2AE)2
∴AE＝6（负值舍去）．
∵四边形AECF为菱形，
∴菱形AECF的周长为4×6＝24．
3．（8分）（2025•五华区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD至点F，使DF＝CE，连接AF．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）连接OE，若BD＝BC，AB＝8，平行四边形ABCD的面积为40，求OE的长度．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠BCE＝∠ADF．
又∵CE＝DF，
∴△BCE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF，∠BEC＝∠F，
∴BE∥AF．
∴BE⊥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF＝90°，
∴四边形ABEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝8，
∴CD＝8．
∵BD＝BC，BE⊥CD，
∴CE＝DE=12CD＝4，
由题意可知CD•BE＝40，
∴8BE＝40，
∴BE＝5，
在Rt△BEC中，BC=BE2+CE2=52+42=41，
∵在平行四边形ABCD中，CE＝DE，
∴OE为△BDC的中位线，
∴OE=12BD=412．
4．（2025•玉溪一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E，延长BC到点F，使CF＝AD，连接CE，DF．
（1）求证：四边形DFCE是平行四边形．
（2）若∠DCE＝30°，AC＝2，求FC的长．
（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE，
∵CF＝AD，
∴DE＝CF，
又∵DE∥FC，
∴四边形DFCE是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形DFCE是平行四边形，
∴FC＝DE，
设AD＝DE＝FC＝x，则DC＝AC﹣AD＝2﹣x，
由（1）可知，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝2x，
由勾股定理得：DE2+CD2＝CE2，
即x2+（2﹣x）2＝（2x）2，
解得：x=3−1，x2=−3−1（不符合题意，舍去），
∴FC=3−1．
5．（8分）（2025•玉溪二模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE并延长至点F，使得EF＝OE，连接CF，DF，点G在线段OC上，连接EG，∠OFC＝∠GOE+∠GEC．
（1）求证：四边形OCFD是矩形；
（2）若AC＝16，CD＝10，求点G到OF的距离．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°．
∵点E是CD中点，
∴CE＝DE．
由条件可知四边形OCFD是平行四边形．
又∵∠COD＝90°．
∴四边形OCFD是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=12AC=12×16=8，
在Rt△COD中，OD=CD2−OC2=102−82=6．
由条件可知四边形OCFD是矩形，
∴∠OCF＝90°，CF＝OD＝6，OF＝CD＝10，
∴EO=EC=12CD=12×10=5，
∴∠GOE＝∠GCE，
∴∠OGE＝∠GCE+∠GEC，
∴∠OGE＝∠GOE+∠GEC．
∵∠OFC＝∠GOE+∠GEC，
∴∠OGE＝∠OFC．
又∵∠GOE＝∠FOC，
∴△GEO∽△FCO，
∴EGOE=CFOC，即EG5=68，
解得：EG=154，
∴点G到OF的距离为154．
6．（8分）（2025•文山州二模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
（2）当CD＝4时，求EG的长．
解：（1）四边形OCDE是菱形，理由如下：
∵CD∥OE，
∴∠FDC＝∠FOE，
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，
在△FDC和△FOE中，
∠FDC=∠FOEFD=FO∠DFC=∠CFE，
∴△FDC≌△FOE（ASA），
∴CD＝OE，
又ED＝OE，CD＝CO，
∴ED＝OE＝CD＝CO，
∴四边形OCDE是菱形．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴CD＝CO，
∴CD＝CO＝DO，
∴△ODC为等边三角形，
∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，
∴DF=12DO=2，
在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，
由勾股定理得：CF=CD2−DF2=23，
由（1）可知：四边形OCDE是菱形，
∴EF=CF=23，
∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，
∴tan∠GDF=GFDF，
∴GF=DF⋅tan∠GDF=2tan30°=233，
∴EG=EF−GF=23−233=433．
7．（8分）（2025•西山区校级模拟）如图，平行四边形ABCD的周长为28，∠ABC的平分线交边AD于点E，交对角线AC于点G，点F在BC上，BF＝EF，过点G作GH⊥BC于点H，GH＝3．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB：BC＝3：5，求四边形ABFE的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵EF＝BF，
∴∠FEB＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠FBE＝∠FEB，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△BFE（ASA），
∴AB＝BF，
∴AB＝BF＝EF＝AE，
∴四边形ABFE是菱形；
（2）解：如图，延长HG交AD于点T．
∵AB：BC＝3：5，AB＝AE，
∴AE：BC＝3：5，
∵AE∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∵GH⊥BC，BC∥AD，
∴GT⊥AD，
TGGH=AEBC=35，
∵GH＝3，
∴TG=95，
∴TH＝3+95=245，
∵2（AB+BC）＝28，
∴AB=214，
∴菱形ABFE的面积＝BF•TH=214×245=1265．
8．（8分）（2025•麒麟区三模）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连接DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝3，ED＝4，BF＝5，求AE的长．
（1）证明：在▱ABCD，AD∥BC，
AD＝BC，CD＝AB，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
∴EF＝BC，
∴EF＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：设AD＝x，
∵四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝x，∠AEB＝∠DAE＝90°，
∴BE＝BF＝EF＝5﹣x，AE2＝AB2﹣BE2＝DE2﹣AD2，
∴32﹣（5﹣x）2＝42﹣x2，
解得x=165，
∴AE2＝42﹣（165）=14425，
∴AE=125．
9．（8分）（2025•云南校级模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使EF＝BC，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝18，DF＝6，求CD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∵延长BC至点F，使EF＝BC，
∴EF∥AD，且EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：∵BF＝18，DF＝6，且BC＝CD，
∴CF＝18﹣BC＝18﹣CD，
∵四边形AEFD是矩形，
∴∠F＝90°，
∴DF2+CF2＝CD2，
∴62+（18﹣CD）2＝CD2，
解得CD＝10，
∴CD的长为10．
10．（8分）（2025•西山区一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是线段BE，CE的中点．
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若tan∠ABE=34，菱形MENF的面积为24，求菱形MENF的周长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE＝CE，
∵M，N分别是线段BE，CE的中点，点F是BC的中点，
∴MF∥EC，EC＝2MF，NF∥BE，BE＝2NF，
∴四边形NFME是平行四边形，MF＝NF，
∴四边形MENF是菱形；
（2）解：如图，连接EF，
∵菱形MENF的面积为24，
∴S△MEF＝12，
∵点M是BE的中点，
∴S△BEF＝24，
∵点F是BC的中点，
∴S△BCE＝48，
∴S矩形ABCD＝96，
∵tan∠ABE=34=AEAB，
∴设AE＝DE＝3x，BA＝4x，
∴AD＝6x，BE=AE2+AB2=5x，
∴4x•6x＝96，
∴x＝2，
∴BE＝10，
∴ME＝5，
∴菱形MENF的周长＝4×5＝20．